《2018版高中数学第二章平面向量2.2.1向量加法运算及其几何意义学案新人教A版必修42017072.wps》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学第二章平面向量2.2.1向量加法运算及其几何意义学案新人教A版必修42017072.wps（10页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2.2.12.2.1 向量加法运算及其几何意义 1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的几何意义及其运算律.(难点) 2.掌握向量加法运算法则，能熟练地进行加法运算.(重点) 3.数的加法与向量的加法的联系与区别.(易混点) 基础初探 教材整理 1 向量加法的定义及其运算法则 阅读教材 P80P81“例 1”以上内容，完成下列问题. 1.向量加法的定义 定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 对于零向量与任一向量 a a，规定0 0 a a a a0 0a a. 2.向量求和的法则 已知非零向量 a a，b b，在平面内任取一点 A，作 A Ba a，B Cb b，则向量 三角形法则
2、A C叫做 a a 与 b b 的和，记作 a ab b，即 a ab bA BB CA C 已知两个不共线向量 a a，b b，作 A Ba a，A Db b，以 A B，A D为邻边作 ABCD， 平行四边形法则 则对角线上的向量 A Ca ab b. 对于任意一个四边形 ABCD，下列式子不能化简为BC的是_. (1)BAADDC；(2)BDDAAC； 1 (3)ABBDDC. 【解析】 在(1)中，BAADDCBDDCBC；在(2)中，BDDAACBAACBC；在 (3)中，ABBDDCADDCAC. 【答案】 (3) 教材整理 2 向量加法的运算律 阅读教材 P82P83例 2 以上
3、内容，完成下列问题. 交换律 结合律 a ab bb ba a (a ab b)c ca a(b bc c) 判断(“正确的打”“，错误的打 ”) (1)a a0 0 a a.( ) (2)a ab bb ba a.( ) (3)a a(b bc c)(a ab b)c c.( ) (4)ABBA2AB.( ) 【解析】 根据运算律知，(1)(2)(3)显然正确，对于(4)，应为ABBA0 0.故(4)错误. 【答案】 (1) (2) (3) (4) 小组合作型 向量加法运算法则的应用 (1)如图 221，在ABC中，D，E分别是 AB，AC上的点，F为线段 DE延长线上 一点，DEBC，AB
4、CF，连接 CD，那么(在横线上只填上一个向量)： 图 221 ABDF_； 2 ADFC_； ADBCFC_. (2)若正方形 ABCD 的边长为 1，ABa a，ADb b，ACc.c.试作出向量 a ab bc c，并求出其模 的大小. 【精彩点拨】 利用向量加法的三角形法则或平行四边形法则求和及作图. 【自主解答】 (1)如题图，由已知得四边形 DFCB 为平行四边形，由向量加法的运算法则 可知： ABDFABBCAC. ADFCADDBAB. ADBCFCADDFFCAC. 【答案】 (1)AC AB AC (2)根据平行四边形法则可知，a ab bABADAC. 根据三角形法则，延
5、长 AC，在 AC 的延长线上作CEAC，则 a ab bc cACACACCEAE (如图所示). 所以|a ab bc|c|AE|2 12122 2. 1.向量求和的注意点： (1)三角形法则对于两个向量共线时也适用. (2)两个向量的和向量仍是一个向量. (3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用. 2.利用三角形法则时，要注意两向量“首尾顺次相连”，其和向量为“起点指向终点”的 “向量；利用平行四边形法则要注意两向量 共起点”“”，其和向量为共起点的 对角线 向量. 3 再练一题 1.如图 222 所示，设 O 为正六边形 ABCDEF 的中心，求下列向量： 图 222 (1)OAO
6、C； (2)BCFE. 【解】 (1)由图可知，四边形 OABC 为平行四边形.由向量加法的平行四边形法则，得OAOC OB. (2)由图可知，BCFEODAO， BCFEAOODAD. 向量加法运算律的应用 (1)下列等式不正确的是( ) a a(b bc c)(a ac c)b b；ABBA0；ACDCABBD. A. B. C. D. (2)设 A，B，C，D 是平面上任意四点，试化简： ABCDBC； DBACBDCA. 【精彩点拨】 可利用向量加法的交换律使求和的各向量首尾相接，然后再利用加法法则 求和. 【自主解答】 (1)由向量的加法满足结合律知正确；因为ABBA0 0，故不正确
7、；DC ABBDABBDDCAC成立，故正确. 4 【答案】 B (2)ABCDBC(ABBC)CDACCDAD. DBACBDCA(DBBD)(ACCA)0 0 0 0 0 0. 向量加法运算律的意义和应用原则： (1)意义： 向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的. 实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次 序、任意的组合来进行. (2)应用原则： 利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调 整向量相加的顺序. 再练一题 2.化简：(1)(MABN)(ACCB)； (2)AB(
8、BDCA)DC. 【解】 (1)(MABN)(ACCB) (MAAC)(CBBN) MCCNMN. (2)AB(BDCA)DC ABBDDCCA0 0. 向量加法的实际应用 如图 223 所示，一架飞机从 A 地按北偏东 35的方向飞行 800 km 到达 B 地接到 受伤人员，然后又从 B 地按南偏东 55的方向飞行 800 km送往 C 地医院，求这架飞机飞行的 路程及两次位移的和. 【导学号：00680036】 5 图 223 【精彩点拨】 解答本题先明确飞行路程与两次位移和的含义，再解 RtABC，求出|AC| 和BAC，最后结合图形作答. 【自主解答】 设AB，BC分别表示飞机从 A
9、 地按北偏东 35的方向飞行 800 km，从 B 地按 南偏东 55的方向飞行 800 km，则飞机飞行的路程指的是|AB|BC|； 两次飞行的位移的和指的是ABBCAC. 依题意，有|AB|BC|8008001 600(km)， 又 35，55，ABC355590， 所以|AC| |AB|2|BC|2 80028002800 2(km). 其中BAC45，所以方向为北偏东 354580. 从而飞机飞行的路程是 1 600 km，两次飞行的位移和的大小为 800 2 km，方向为北偏东 80. 向量加法的实际问题的解题步骤如下： 1用向量表示相应问题中既有大小又有方向的量； 2利用平行四边形
10、法则或三角形法则求向量的和； 3利用直角三角形知识解决问题. 再练一题 3.为了调运急需物资，如图 224 所示，一艘船从江南岸 A 点出发，以 5 3 km/h 的速度 向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东 5 km/h. 图 224 (1)试用向量表示江水的速度、船速以及船实际航行的速度； (2)求船实际航行的速度的大小与方向.(用与江水的速度方向间的夹角表示) 【解】 (1)如图所示，AD表示船速，AB表示水速. 6 易知 ADAB，以 AD，AB 为邻边作矩形 ABCD， 则AC表示船实际航行的速度. (2)在 RtABC 中，|AB|5，|BC|5 3， 所以|AC| |AB
11、|2|BC|2 525 32 10010. |BC| 因为 tanCAB 3，所以CAB60. |AB| 因此，船实际航行的速度大小为 10 km/h，方向与江水的速度方向间的夹角为 60. 探究共研型 向量加法的多边形法则 探究 1 在ABC 中，若ABa a，BCb b，CAc c，那么 a ab bc c0 0 一定成立吗？ 【提示】 一定成立.因为在ABC 中，由向量加法的三角形法则ABBCAC，所以ABBC CA0 0，那么 a ab bc c0 0. 探究 2 如果任意三个向量 a a，b b，c c 满足条件 a ab bc c0 0，那么表示它们的有向线段是否 一定构成三角形？
12、 【提示】 若任意三个向量 a a，b b，c c 满足 a ab bc c0 0，则表示它们的有向线段不一定构 成三角形，因为当这三个向量为共线向量时，同样有可能满足 a ab bc c0 0，此时，表示它们的 有向线段肯定不能构成三角形，所以任意三个向量 a a，b b，c c 满足 a ab bc c0 0 时，表示它们 的有向线段不一定构成三角形. 探究 3 设 A1，A2，A3，An(nN N，且 n3)是平面内的点，则一般情况下，A1AnA1A2 A2A3A3A4An1An.当 A1与 An 重合时，A1A2A2A3A3A4An1An满足什么关系？ 【提示】 当 A1与 An 重合
13、时，有A1A2A2A3A3A4An1An0 0. 如图 225，正六边形 ABCDEF 中，BACDEF( ) 7 【导学号：70512024】 图 225 A.0 B.BE C.AD D.CF 【精彩点拨】 用向量加法的运算律可以实现简化运算的目的，将BACDEF变形为CD DEEF就可以利用向量加法的多边形法则求和向量. 【自主解答】 因为 ABCDEF 是正六边形，所以 BADE，BADE，所以BADE，所以BACD EFDECDEFCDDEEFCF. 【答案】 D 三个关键：一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系；二是熟练找出图形中的相等向量； 三是能根据多边形法则作出向量的和向量.
14、再练一题 4.如图 226，E，F，G，H 分别是梯形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 的中点，化简下列各式： 图 226 (1)DGEACB； (2)EGCGDAEB. 【解】 (1)DGEACBGCBECBGCCBBEGBBEGE. (2)EGCGDAEBEGGDDAAEEDDAAEEAAE0 0. 8 1.化简OPPQPSSP的结果等于( ) A.QP B.OQ C.SP D.SQ 【解析】 OPPQPSSPOQ0 0 OQ. 【答案】 B 2.下列命题中正确的个数为( )【导学号：00680037】 (1)如果非零向量 a a 与 b b 的方向相同或相反，那么(a ab b)
15、a a； (2)在平行四边形 ABCD 中，必有BCAD； (3)若BCAD，则 A，B，C，D 为平行四边形的四个顶点； (4)若 a a，b b 均为非零向量，则|a ab b|a a|b b|. A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】 (1)正 确；(2)在平行四边形ABCD中，BCAD，且BCAD，所以BCAD，正 确；(3)A， B，C，D 可能共线，所以错误；(4)为向量的三角不等式，所以正确. 【答案】 D 3.在四边形 ABCD 中，ACABAD，则一定有( ) A.四边形 ABCD 是矩形 B.四边形 ABCD 是菱形 C.四边形 ABCD 是正方形 D.四边形 ABCD
16、是平行四边形 【解析】 由ACABAD得ADBC，即 ADBC，且 ADBC，所以四边形 ABCD 一组对边平 行且相等，故为平行四边形. 【答案】 D 4.若 a a 表示“向东走 8 km”，b b 表示“向北走 8 km”，则|a ab b|_，a ab b 的方向是 _. 【解析】 如图所示，作OAa a，ABb b， 9 则 a ab bOAABOB. 所以|a ab b|OB| 82828 2(km)， 因为AOB45， 所以 a ab b 的方向是东北方向. 【答案】 8 2 km 东北方向 5.已知向量 a a，b b，c c，如图 227，求作 a ab bc c. 图 227 【解】 在平面内任取一点 O，作OAa a，ABb b，BCc c，如图， 则由向量加法的三角形法则，得OBa ab b，OCa ab bc c， OC即为所作向量. 10