《2018版高中数学第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理学案新人教A版必修420170724114.wps》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理学案新人教A版必修420170724114.wps（15页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2.3.12.3.1 平面向量基本定理 1.了解基底的含义，理解并掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面内任一向量.(重点) 2.掌握两个向量夹角的定义以及两向量垂直的定义.(难点) 3.两个向量的夹角与两条直线所成的角.(易混点) 基础初探 教材整理 1 平面向量基本定理 阅读教材 P93至 P94第六行以上内容，完成下列问题. 1.定理：如果 e e1，e e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a a，有且只有一对实数 1，2，使 a a1e e12e e2. 2.基底：不共线的向量 e e1，e e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 判断(“正确的打”“，
2、错误的打 ”) (1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底.( ) (2)若 e e1，e e2是同一平面内两个不共线向量，则 1e e12e e2(1，2为实数)可以表示该 平面内所有向量.( ) (3)若 ae e1be e2ce e1de e2(a，b，c，dR R)，则 ac，bd.( ) (4)基底向量可以是零向量.( ) 【解析】 (1)错误.根据基底的概念可知，平面内不共线的向量都可以作为该平面内向量 的基底. (2)正确.根据平面向量基本定理知对平面内任意向量都可以由向量 e e1，e e2线性表示. (3)错误.当 e e1与 e e2共线时，结论不
3、一定成立. (4)基底向量是不共线的，一定是非零向量. 【答案】 (1) (2) (3) (4) 教材整理 2 两向量的夹角与垂直 阅读教材 P94第六行以下至例 1 内容，完成下列问题. 1.夹角：已知两个非零向量 a a 和 b b，作OAa a，OBb b，则AOB 叫做向量 a a 与 b b 的夹 角(如图 231 所示). 1 图 231 (1)范围：向量 a a 与 b b 的夹角的范围是 0180. (2)当 0时，a a 与 b b 同向；当 180时，a a 与 b b 反向 . 2.垂直：如果 a a 与 b b 的夹角是 90， 我们说 a a 与 b b 垂直，记作
4、a ab b. 如图 232，在ABC 中，AC，AB的夹角与CA，AB的夹角的关系为_. 图 232 【解析】 根据向量夹角定义可知向量AB，AC的夹角为BAC，而向量CA，AB夹角为 BAC.故二者互补. 【答案】 互补 小组合作型 用基底表示向量 (1)已知 AD 是ABC 的 BC 边上的中线，若ABa a，ACb b，则AD( ) 1 1 A. (a ab b) B. (a ab b) 2 2 1 1 C. (a ab b) D. (a ab b) 2 2 (2)如图 233，设点 P，Q 是线段 AB 的三等分点，若OAa a，OBb b，则OP_，OQ _.(用 a a，b b
5、表示) 2 图 233 【精彩点拨】 用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四 边形法则. 【自主解答】 (1)如图所示， 因为AEABAC2AD， 1 所以AD (a ab b). 2 1 (2)OPAPAO ABOA 3 1 (OBOA)OA 3 2 1 2 1 OA OB a a b b， 3 3 3 3 2 2 OQAQAO ABOA (OBOA)OA 3 3 1 2 1 2 2 OA OB a a b b. 3 3 3 3 3 2 1 1 2 【答案】 (1)D (2) a a b b a a b b 3 3 3 3 平面向量基本定理的作用以及注意点： (1)
6、根据平面向量基本定理，任何一组基底都可以表示任意向量.用基底表示向量，实质上 主要是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的加减法运算. (2)要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形，利用已知向量表示未知向量，或找 到已知向量与未知向量的关系，用方程的观点求出未知向量. 再练一题 1.已知ABC 中，D 为 BC 的中点，E，F 为 BC 的三等分点，若ABa a，ACb b，用 a a，b b 表示 3 AD，AE，AF. 图 234 1 【解】 ADABBDAB BC 2 1 1 1 a a (b ba a) a a b b； 2 2 2 1 2 1 AEABBEAB (b ba a
7、) a a b b； 3 3 3 2 2 1 2 AFABBFAB BCa a (b ba a) a a b b. 3 3 3 3 向量的夹角问题 (1)已知向量 a a，b b，c c 满足|a|a|1 1，|b|b|2 2，c ca ab b，c ca a，则 a a，b b 的夹角等 于_. (2)若 aa0 0，bb0 0，且|a|a|b|b|a|ab|b|，求 a a 与 a ab b 的夹角. 【精彩点拨】 可作出平面图形利用向量夹角定义及平面几何知识来解决. 【自主解答】 (1)作BCa a，CAb b，则 c ca ab bBA(如图所示)， 则 a a，b b 夹角为 180
8、C. |a|a|1 1，|b|b|2 2，caca， C60， a a，b b 的夹角为 120. 【答案】 120 (2)由向量运算的几何意义知 a ab b，a ab b 是以 a a，b b 为邻边的平行四边形两条对角线. 如图，|a a|b b|a ab b|， 4 BOA60. 又OCa ab b，且在菱形 OACB 中，对角线 OC 平分BOA， a a 与 a ab b 的夹角是 30. 两向量夹角的实质与求解方法： (1)两向量夹角的实质：从同一起点出发的两个非零向量构成的不大于平角的角，结合平 面几何知识加以解决. (2)求解方法：利用平移的方法使两个向量起点重合，作出两个向
9、量的夹角，按照“一作 ”二证三算 的步骤求出. 再练一题 2.已知|a a|b b|2，且 a a 与 b b 的夹角为 60，则 a ab b 与 a a 的夹角是_，a ab b 与 a a 的夹角是_. 【导学号：00680045】 【解析】 如图所示，作OAa a，OBb b，则AOB60，以 OA，OB 为邻边作OACB，则 OCOAOBa ab b，BAOAOBa ab b，BCOAa a.因为|a a|b b|2，所以OAB 为正三角 形，所以OAB60ABC，即 a ab b 与 a a 的夹角为 60.因为|a a|b b|，所以平行四边形 OACB 为菱形，所以 OCAB，
10、所以COA906030，即 a ab b 与 a a 的夹角为 30. 【答案】 30 60 探究共研型 平面向量基本定理的综合应用 探究 1 若存在实数 1，2，1，2及不共线的向量 e e1，e e2，使向量 a a1e e12e e2， a a1e e12e e2，则 1，2，1，2有怎样的大小关系？ 【提示】 由题意 1e e12e e21e e12e e2，即(11)e e1(22)e e2，由于 e e1， e e2不共线，故 11，22. 探究 2 在向量等式OPxOAy OB中，若 xy1，则三点 P，A，B 具有什么样的位置关 系？ 【提示】 三点 P，A，B 在同一直线上.
11、在向量等式OPxOAy OB中，若 xy1，则 P， 5 A，B三点共线；若 P，A，B三点共线，则 xy1. 如图 235 所示，在OAB中，OAa a，OBb b，点 M是 AB的靠近 B的一个三等分 点，点 N是 OA的靠近 A的一个四等分点.若 OM与 BN相交于点 P，求OP. 【导学号：70512030】 图 235 【精彩点拨】 可利用OPt OM及OPONNPONs NB两种形式来表示OP，并都转化为 以 a a，b b 为基底的表达式.根据任一向量基底表示的唯一性求得 s，t，进而求得OP. 2 【自主解答】 OMOAA MOA AB 3 2 1 2 OA (OBOA) a
12、a b b. 3 3 3 因为OP与OM共线， t 2t 故可设OPtOM a a b b. 3 3 3 3 又NP与NB共线，可设NPsNB，OPONsNB OAs(OBON) (1s)a asb b， 4 4 所以Error!解得Error! 3 2 所以OP a a b b. 10 5 1.任意一向量基底表示的唯一性的理解： 条件一 平面内任一向量 a a 和同一平面内两个不共线向量 e e1，e e2 条件二 a a1e e11e e2且 a a2e e12e e2 结论 Error! 2.任意一向量基底表示的唯一性的应用： 平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两
13、个不共线向量 e e1，e e2 的线性组合 1e e12e e2.在具体求 1，2时有两种方法： (1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理. (2)利用待定系数法，即利用定理中 1，2的唯一性列方程组求解. 再练一题 6 1 3.如图 236 所示，在ABC 中，点 M 是 AB 的中点，且AN NC，BN 与 CM 相交于 E，设AB 2 a a，ACb b，试用基底 a a，b b 表示向量AE. 图 236 1 1 1 1 【解】 易得AN AC b b，AM AB a a， 3 3 2 2 由 N，E，B 三点共线，设存在实数 m， 1 满足AEmAN(1m)AB mb
14、 b(1m)a a. 3 1 由 C，E，M 三点共线，设存在实数 n 满足：AEnAM(1n)AC na a(1n)b b. 2 1 1 所以 mb b(1m)a a na a(1n)b b， 3 2 由于 a a，b b 为基底，所以Error! 解之得Error! 2 1 所以AE a a b b. 5 5 1.已知平行四边形 ABCD，则下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是( ) A.AB，DC B.AD，BC C.BC，CB D.AB，DA 【解析】 由于AB，DA不共线，所以是一组基底. 【答案】 D 2.已知向量 a ae e12e e2，b b2e e1e e2，其中 e
15、 e1，e e2不共线，则 a ab b 与 c c6e e12e e2的关系 是( ) A.不共线 B.共线 C.相等 D.不确定 【解析】 a ab b3e e1e e2， c c2(a ab b)， 7 a ab b 与 c c 共线. 【答案】 B 3.如图 237，在矩形 ABCD 中，若BC5e e1，DC3e e2，则OC( ) 图 237 1 1 A. (5e e13e e2) B. (5e e13e e2) 2 2 1 1 C. (3e e25e e1) D. (5e e23e e1) 2 2 1 1 【解析】 OC AC (BCAB) 2 2 1 1 (BCDC) (5e
16、e13e e2). 2 2 【答案】 A 4.在锐角ABC 中，下列说法正确的是( ) A.AB与BC的夹角是锐角 B.AB与AC的夹角是锐角 C.AC与BC的夹角是钝角 D.AC与CB的夹角是锐角 【解析】 由两向量夹角定义知，AB与BC的夹角是 180B，AB与AC的夹角是A，AC 与BC的夹角是C，AC与CB的夹角是 180C，只有 B 正确. 【答案】 B 5.已知 e e1，e e2是平面内两个不共线的向量，a a3e e12e e2，b b2e e1e e2，c c7e e14e e2，试 用向量 a a 和 b b 表示 c c. 【解】 a a，b b 不共线， 可设 c cxa ayb b， 则 xa ayb bx(3e e12e e2)y(2e e1e e2) (3x2y)e e1(2xy)e e27e e14e e2. 又e e1，e e2不共线， Error!解得Error! 8 c ca a2b b. 9