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1、2.3.42.3.4 平面向量共线的坐标表示 1.理解用坐标表示两向量共线的条件.(难点) 2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线；并掌握三点共线的判断方法.(重点) 3.两直线平行与两向量共线的判定.(易混点) 基础初探 教材整理 平面向量共线的坐标表示 阅读教材 P98“”“思考 以下至 例 6”以上内容，完成下列问题. 1.设 a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，其中 b0b0，a a，b b 共线，当且仅当存在实数 ，使 a a b b. 2.如果用坐标表示，可写为(x1，y1)(x2，y2)， 当且仅当 x1y2x2y10 时，向量 a a，b b(b0b0)共线. 注意
2、：对于 2 的形式极易写错，如写成 x1y1x2y20 或 x1x2y1y20 都是不对的，因此 要理解并记熟这一公式，可简记为：纵横交错积相减. 判断(“正确的打”“，错误的打 ”) (1)向量(1,2)与向量(4,8)共线.( ) (2)向量(2,3)与向量(4，6)反向.( ) 【解析】 (1)正确.因为(4,8)4(1,2)，所以向量(1,2)与向量(4,8)共线. (2)正确.因为(4，6)2(2,3)，所以向量(2,3)与向量(4，6)反向. 【答案】 (1) (2) 小组合作型 判定直线平行、三点共线 1 (1)已知 A(1，3)，B(8，2 )，且 A，B，C 三点共线，则 C
3、 的坐标可以是( ) 1 A.(9,1) B.(9，1) C.(9,1) D.(9，1) (2)已知四点坐标 A(1,1)，B(1,5)，C(2，1)，D(4,11)，请判断直线 AB 与 CD 是否 平行？ 【精彩点拨】 (1)利用向量的平行条件 x1y2x2y10，可证明有公共点的两个平行向量 共线，从而可证明三点共线. (2)判定两直线平行，先判定两向量平行，再说明两向量上的相关点不共线. 【自主解答】 (1)设点 C 的坐标是(x，y)， 因为 A，B，C 三点共线， 所以ABAC. 1 7 因为AB (1，3) ， (8，2 ) (7，2 ) AC(x，y)(1，3)(x1，y3)，
4、 7 所以 7(y3) (x1)0，整理得 x2y7， 2 经检验可知点(9,1)符合要求，故选 C. 【答案】 C (2)因为AB(1,5)(1,1)(2,4)，AD(4,11)(1，1)(5,10)，AC(2，1) (1,1)(1，2)， 所以AB2AC，AD5AC. 所以ABACAD. 由于AB与AC，AD有共同的起点 A， 所以 A，B，C，D 四点共线， 因此直线 AB 与 CD 重合. 三点共线的条件以及判断方法： 若已知三点的坐标，判断其 是否共线可采用以下两种方法： 1直接利用上述条件，计算x2x1y3y1x3x1y2y1 是否为0； 2任取两点构成向量，计算出两向量如AB，A
5、C，再通过两向量共线的条件进行判断. 再练一题 1.已知 A(1，1)，B(1,3)，C(1,5)，D(2,7)，向量AB与CD平行吗？直线 AB 平行于直线 CD 2 吗？ 【解】 因为AB(1(1)，3(1)(2,4)， CD(21,75)(1,2). 又因为 22410， 所以ABCD. 又因为AC(1(1)，5(1)(2,6)，AB(2,4)， 所以 24260， 所以 A，B，C不共线， 所以 AB与 CD不重合， 所以 ABCD. 已知平面向量共线求参数 (1)已知向量 a a(x,3)，b b(3，x)，则 存在实数 x，使 abab； 存在实数 x，使(a ab b)aa； 存
6、在实数 x，m，使(ma ab b)aa； 存在实数 x，m，使(ma ab b)bb. 其中，所有叙述正确的序号为_. (2)已知 a a(1,21,2)，b b(3,23,2)，当 k为何值时，ka ab b 与 a a3b3b 平行？平行时它们是同 向还是反向？ 【精彩点拨】 (1)可利用向量共线定理列方程判断方程解的情况来解决. (2)方法一：可利用 b b 与非零向量 a a 共线等价于 b ba a(0，b b 与 a a 同向；0，b b 与 a a 反向)求解； 方法二：可先利用坐标形式的等价条件求 k，再利用 b ba a 判定同向还是反向. 【自主解答】 (1)由 abab
7、x29 无实数解，故不对； 又 a ab b(x3,3x)，由(a ab b)aa 得 3(x3)x(3x)0，即 x29 无实数解，故 不对； 因为 ma ab b(mx3,3mx)， 由(ma ab b)a a 得(3mx)x3(mx3)0. 即 x29 无实数解，故不对； 由(ma ab b)bb 得3(3mx)x(mx3)0， 即 m(x29)0，所以 m0，xR R，故正确. 3 【答案】 (2)法一：ka ab bk(1,2)(3,2)(k3,2k2)， a a3b3b(1,2)3(3,2)(10，4)， 当 ka ab b 与 a a3b3b 平行时，存在唯一实数 ， 使 ka
8、ab b(a a3b3b). 由(k3,2k2)(10，4)， 所以Error! 1 解得 k . 3 1 1 1 1 1 当 k 时，ka ab b 与 a a3b3b 平行，这时 ka ab b a ab b (a a3b3b)， 3 3 3 3 3 1 因 为 0， 3 所以 ka ab b 与 a a3b3b 反向. 法二：由题知 ka ab b(k3,2k2)， a a3b3b(10，4)， 因为 ka ab b 与 a a3b3b 平行， 所以(k3)(4)10(2k2)0， 1 解得 k . 3 1 2 1 这时 ka ab b( 2) (a a3b3b). 3， 3 3 3 1
9、 所以当 k 时，ka ab b 与 a a3b3b 平行，并且反向. 3 利用向量平行的条件处理求值问题的思路： (1)利用共线向量定理 a ab b(b b0)列方程组求解. (2)利用向量平行的坐标表达式 x1y2x2y10 直接求解. 再练一题 2.(1)已知向量 a a(1,2)，b b(2,3)，若向量 a ab b 与向量 c c(4，7)共线，则 _. (2)已知向量 a a(1，2)，b b(3,4)，若(3a ab b)(a akb b)，求实数 k 的值. 【解析】 (1)a a(1,2)，b b(2,3)， a ab b(，2)(2,3)(2,23). 向量 a ab
10、b 与向量 c c(4，7)共线， 4 7(2)4(23)0， 2. 【答案】 2 (2)3a ab b(0，10)，a akb b(13k，24k)， (3a ab b)(a akb b)， 0(1030k)0， 1 k . 3 向量共线的综合应用 如图 2317 所示，已知点 A(4,0)，B(4,4)，C(2，6)，求 AC 与 OB 的交点 P 的坐 标. 图 2317 【精彩点拨】 要求点 P 的坐标，只需求出向量OP的坐标，由OP与OB共线得到OPOB， 利用AP与AC共线的坐标表示求出 即可；也可设 P(x，y)，由OPOB及APAC，列出关于 x，y 的方程组求解. 【自主解答
11、】 法一：由 O，P，B 三点共线，可设OPOB(4，4)，则APOPOA (44,4)，ACOCOA(2,6). 3 3 由AP与AC共线得(44)64(2)0，解得 ，所以OP OB(3,3)，所以 P 4 4 点的坐标为(3,3). x y 法二：设 P(x，y)，则OP(x，y)，因为OB(4,4)，且OP与OB共线，所以 ，即 xy. 4 4 又AP(x4，y)，AC(2,6)，且AP与AC共线，则得(x4)6y(2)0，解得 x y3，所以 P 点的坐标为(3,3). 5 1.关于解决两线段的交点问题可以用解析几何的知识联立两直线方程求交点的坐标；也可 以使用对应向量共线列等式，再
12、列方程组求解. 2.本例利用了向量共线定理，已知四边形四个顶点坐标求对角线交点坐标的向量解法，为 我们展示了向量的坐标运算在解决平面几何、平面解析几何问题中的应用，在以后学习中应加 以体会运用. 再练一题 3.如图 2318，已知 A(4,5)，B(1,2)，C(12,1)，D(11,6)，求 AC 与 BD 的交点 P 的坐标. 图 2318 【解】 设BPBD(111,62)(10，4). 易得CB(11,1)， CPCBBP(1011,41). 又CA(8,4)，而CP与CA共线， 4(1011)8(41)0， 1 解得 . 2 设点 P 的坐标为(xP，yP)， BP(5,2)(xP1
13、，yP2)， Error! 即Error! 故点 P 的坐标为(6,4). 探究共研型 共线向量与中点坐标公式 探究 1 设 P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，如何求线段 P1P2的中点 P 的坐标？ 【提示】 6 如图所示，P 为 P1P2的中点， P1PPP2， OPOP1OP2OP， 1 OP (OP1OP2) 2 x1x2 y1y2 ( 2 )， ， 2 x1x2 y1y2 线段 P1P2的中点坐标是( 2 ). ， 2 探究 2 设 P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，点 P 是线段 P1P2的一个三等分点， 则 P 点坐标是什么？ 【提示】 点
14、 P 是线段 P1P2的一个三等分点，分两种情况： 1 1 1 2 1 当P1P P1P2时，OPOP1P1POP1 P1P2OP1 (OP2OP1) OP1 OP2 3 3 3 3 3 2x1x2 2y1y2 ( 3 )； ， 3 2 当P1P P1P2时， 3 2 OPOP1P1POP1 P1P2 3 2 OP1 (OP2OP1) 3 1 2 OP1 OP2 3 3 x12x2 y12y2 ( . ， 3 ) 3 探究 3 当P1P PP2时，点 P 的坐标是什么？ 【提示】 OPOP1P1POP1PP2OP1(OP2OP)OP1OP2OP， 7 OP1OP2 OP 1 1 (x1，y1)
15、 (x2，y2) 1 1 1 1 ( x1， y 2) y 1) ( x2， 1 1 1 1 x1x2 y1y2 ( 1 )， ， 1 x1x2 y1y2 P( 1 ). ， 1 已知点 A(3，4)与点 B(1,2)，点 P 在直线 AB 上，且|AP|2|PB|，求点 P 的 坐标. 【精彩点拨】 点 P 在直线 AB 上，包括点 P 在线段 AB 内和在线段 AB 的延长线上，因此 应分类讨论. 【自主解答】 设 P 点坐标为(x，y)， |AP|2|PB|. 当 P 在线段 AB 上时，AP2PB， (x3，y4)2(1x,2y)， Error!解得Error! 1 P 点 坐标为(，
16、0 ). 3 当 P 在线段 AB 延长线上时，AP2PB， (x3，y4)2(1x,2y)， Error!解得Error! P 点坐标为(5,8). 1 综上所述，点 P 的 坐标为(，0 )或(5,8). 3 在求有向线段分点坐标时，不必过分强调公式记忆，可以转化为向量问题后解方程组求解， 同时应注意分类讨论. 再练一题 4.已知ABC 的三个顶点坐标依次为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，求ABC 的重心 G 的坐标. 8 【解】 延长 AG 交 BC 于点 D， G 为ABC 的重心， D 为 BC 的中点， 2 2 1 1 1 1 AG AD AB AC AB
17、AC， 3( ) 3 2 2 3 3 1 1 1 1 OGOAAGOA AB ACOA (OBOA) (OCOA) 3 3 3 3 1 x1x2x3 y1y2y3 OA ， ( OBOC) 3 ). ( 3 3 x1x2x3 y1y2y3 综上所述，G 的坐标为( . ， 3 ) 3 1.下列满足平行的一组向量是( ) A.a a(1，4)，b b(504，2 016) B.a a(2,3)，b b(4，6) C.a a(1,2)，b b(1 008,2 016) D.a a(1,4)，b b(3,12) 【解析】 A 中，x1y2x2y11(2 016)504(4)0，abab；B 中，x1
18、y2 x2y12(6)43240，a a 与 b b 不平行；C 中，x1y2x2y112 016(1 008)24 0320，a a 与 b b 不平行；D 中，x1y2x2y111234240，a a 与 b b 不平行. 【答案】 A 2.设 kR R，下列向量中，与向量 a a(1，1)一定不平行的向量是( ) 【导学号：00680052】 A.b b(k，k) B.c c(k，k) C.d d(k21，k21) D.e e(k21，k21) 【解析】 由向量共线的判定条件，当 k0 时，向量 b b，c c 分别与 a a 平 行；当 k1时， 向量 e e 与 a a 平行. 对任
19、意 kR,R,1(k21)1(k21)0，a a 与 d d 不平行. 【答案】 C 9 3.已知 a a(6,2)，b b(m，3)，且 abab，则 m( ) A.9 B.9 C.3 D.3 【解析】 因为 a a(6,2)，b b(m，3)， 若 abab，则6(3)2m0，解得 m9. 【答案】 B 4.与向量 a a(1,2)平行，且模等于 5 的向量为_. 【解析】 因为所求向量与向量 a a(1,2)平行，所以可设所求向量为 x(1,2)，又因为其 模为 5，所以 x2(2x)25，解得 x1. 因此所求向量为(1,2)或(1，2). 【答案】 (1,2)或(1，2) 5.设 O 是坐标原点，OA(k,12)，OB(4,5)，OC(10，k)，当 k 为何值时，A，B，C 三 点共线？ 【导学号：00680051】 【解】 ABOBOA(4k，7)， ACOCOA(10k，k12)， 又 A，B，C 三点共线， 由两向量平行的充要条件，得(4k)(k12)7(10k)0， 解得 k2 或 k11. 当 k2 或 k11时，A，B，C 三点共线. 10