北京市怀柔区2016_2017学年高二数学上学期期末考试试题理201708150229.wps

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1、怀柔区 2016201720162017学年度第一学期期末考试高二数学理试卷 本试卷分第 卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分，第 卷 1 至 2页，第 卷 3 至 8 页，共 150 分考试时间 120 分钟考试结束，将本试卷和答题卡一并交回 第 卷（选择题 共 40 分） 注意事项： 1答第 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其它答案，不能答在试卷上 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40分在每小题列出的四个选项中，选出符 合题目要求的一项 1在空间，

2、可以确定一个平面的条件是 A两条直线 B一点和一条直线 C三个点 D一个三角形 2直线 x y 1 0 的倾斜角是 A 6 B 4 C 3 D 2 x 2 2 y 3. 若椭圆 1上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为3，则 P 到另一焦点的距离为 25 16 A 7 B5 C3 D2 4在空间，下列结论正确的是 A平行直线的平行投影重合 B平行于同一直线的两个平面平行 C垂直于同一平面的两个平面平行 D垂直于同一平面的两条直线平行 x y 2 2 的离心率为 5 5已知双曲线 1 , 则 m 16 m 4 A 7 B 6 C9 D8 6已知 A(2, 0) ， B(2, 0) ，动点 P(x,

3、 y) 满足 PA PB x2 ，则动点 P 的轨迹为 A椭圆 B双曲线 C抛物线 D两条平行直线 7某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的侧面积为 A8 B16 2 2 主视图 左视图 1 4 C10 D 6 2 8设点 ，若在圆 上存在点 ，使得 ，则 的取值范 M (x ,1) O : x2 y2 1 N OMN 45 x 0 0 围是 A1, 1 B 1 , 1 C 2, 2 D 2 , 2 2 2 2 2 第 卷（非选择题 共 110 分）注意事项： 1用钢笔或圆珠笔将答案直接写在答题纸上 2答卷前将密封线内的项目填写清楚 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分把

4、答案填在题中横线上 9原点到直线 4x 3y 1 0的距离为_ 10抛物线 y2 2x 的准线方程是_ 11已知 a (1, 2, 3)， b (1, 3,0)，则 a b b _ 12过点（1,0）且与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程是_ 13大圆周长为 4的球的表面积为_ 14九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下 “问题： 今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米 ”“几何？ 其意思为： 在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个 圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺， ”米堆的体积和堆放的米各为多少？ 已知 1 斛米的体积约为 1.62立

5、方尺，圆周率约为 3，则堆放的米约有_斛（结果精确到个位） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 2 15（本题满分 13分） 如 图 ， 在 四 棱 锥 P ABCD 中 ， PD 底 面 ABCD ， 底 面 ABCD 为 正 方 形 ， PD DC ，G ， F 分别是 AD, PB 的中点 2 （ ）求证：CD PA ； （ ）证明：GF 平面 PBC . 16（本题满分 13分） 已知直线 l 经过直线 3x 4y 2 0与直线 2x y 2 0 的交点 P ，并且垂直于直线 x 2y 1 0 （ ）求交点 P 的坐标； （ ）求直线l

6、的方程 17（本小题满分 13 分） 如图，正方体ABCD A B C D 的棱长为 1，E、F 分别是 BB 1和 CD 的中点 1和 CD 的中点 1 1 1 1 （ ）求 AE 与 A1F 所成角的大小； A1 D1 （ ）求 AE 与平面 ABCD 所成角的正切值 C1 B1 E 3 A D F B C 18（本小题共 13分） 已知直线l 经过点 (2,1) 和点 (4, 3) （ ）求直线l 的方程； （ ）若圆C 的圆心在直线l 上，并且与 y 轴相切于 (0,3)点，求圆C 的方程 19（本小题满分 14 分） 如图， PD 垂直于梯形 ABCD 所在的平面， ADC BAD

7、90 F 为 PA 中点， 4 PD 1 1 2 AB AD CD PDCE PC DE ， 四边形 为矩形，线段 交 于点 N 2 （ ）求证： AC / 平面 DEF ； （ ）求二面角 A BC P 的大小； PE （）在线段 EF 上是否存在一点Q ，使得 BQ 与 N 平面 BCP 所成角的大小为 ？ 若存在，求出 6 F C D Q 点所在的位置；若不存在，请说明理由 A B 20（本小题满分 14 分） 已知圆O : x2 y2 1的切线l 与椭圆C : x2 3y2 4相交于 A ， B 两点 （ ）求椭圆C 的离心率； （ ）求证：OA OB ； （）求 OAB 面积的最大值

8、 高二数学理科参考答案及评分标准 2017.1 5 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B A D C D B A 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 1 1 9. ； 10. ； 11. ； x 2 3 1 5 2 12. x-2y-1=0； 13. 16 ； 14. 22 三、解答题：本 大题共 6 小题，共 80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15（本题满分 13分） 如 图 ， 在 四 棱 锥 P ABCD 中 ， PD 底 面 ABCD ， 底 面 ABCD 为 正 方 形

9、， PD DC ，G ， F 分别是 AD, PB 的中点 2 （ ）求证：CD PA ； （ ）证明：GF 平面 PBC . 解法一： （ ）证明： 因为 ABCD 是正方形， 所以 CD AD . 又 PD 底面 ABCD ， 所以 PD CD .又 AD PD D , 所以CD 平面 PAD .而 PA 平面 PAD , 所以CD PA . -6 分 1 （ ）取 PC 的中点 M ，连结 DM, FM ,所以 FM BC ， FM BC ， 2 1 GD BC ，所以四边形 FMDG 为平行四边形， 所以GF DM . 因为GD BC ， 2 又易证 BC 平面 PDC ，所以 DM

10、BC ,又 PD DC ,M 为 PC 的中点， 所以 DM PC .则GF BC 且GF PC . 又 BC PC C , 所以GF 平面 PCB -13 分 解法二： （ ）证明： 以 D 为原点建立如图空间直角坐标系 则 A(2, 0, 0) B(2, 2, 0) C(0, 2, 0) P(0, 0, 2) F(1, 1, 1) 所以 PA (2, 0,2) ,DC (0, 2, 0) . 则 PA DC 0 ，所以 PA CD . -6 分 （ ）设G(1, 0, 0) 则 FG (0,1,1) ，CB (2, 0, 0) ， PC (0, 2,2). 又 FG CB FG PC FG

11、 PC 0, 0, 故GF 平面 PCB . -13 分 16.（本题满分 13 分） 已知直线 l 经过直线 3x 4y 2 0与直线 2x y 2 0 的交点 P ，并且垂直于直线 x 2y 1 0. （ ）求交点 P 的坐标； （ ）求直线l 的方 程. 解：（ ）由 3x 4y 2 0 ， 2x y 2 0， x 2， 得 y 2， 所以 P ( 2 ， 2 ). -5 分 （ ）因为直线l 与直线 x 2y 1 0垂直， 所以 k 2 ， l 7 所以直线l 的方程为 2x y 2 0.-13 分 17.（本小题满分 13 分） 如图，正方体ABCD A B C D 的棱长为 1，E

12、、F 分别是 BB 1和 CD 的中点. 1和 CD 的中点. 1 1 1 1 （ ）求 AE与 A1F 所成角的大小； A1 D1 （ ）求 AE 与平面 ABCD 所成角的正切值. C1 B1 （ ）如图，建立坐标系 A-xyz, E A 则 A(0，0，0)， D E（1，0， 1 2 ）， B C F A1（0，0，1） 1 F（ ，1，0） 2 1 AE =(1，0， ), 2 1 A F ，1，-1) 1 =( 2 AE A F =0 1 所以 AE A F 1 所 以 AE与 A1F 所 成 角 为 90 - -6 分 （ ）解法 1：ABCD A B C D 是正方体， 1 1

13、 1 1 BB1平面 ABCD EAB就是 AE 与平面 ABCD 所成角，又 E 是 BB1中点， 在直角三角形 EBA 中，tanEAB = 1 2 .-13 分 解法 2：设 AE 与平面 ABCD 所成角为 平面 ABCD 的一个法向量为 n =(0,0,1) 则 sin =cos= AE AE n n = 1 5 , 可得 tan = 1 2 AE 与平面 ABCD 所成角的正切等于 1 2 . -13 8 分 18（本小题共 13分） 已知直线l 经过点 (2,1) 和点 (4, 3) . （ ）求直线l 的方程； （ ）若圆C 的圆心在直线l 上，并且与 y 轴相切于 (0,3)

14、点，求圆C 的方程. 解：（ ）由已知，直线l 的斜率 k 31 1 ， 4 2 所以，直线l 的方程为 x y 1 0. -6 分 （ ）因为圆C 的圆心在直线l 上，可设圆心坐标为 (a,a 1)， 因为圆C 与 y 轴相切于 (0,3)点，所以圆心在直线 y 3上. 所以 a 4 . 所以圆心坐标为 (4, 3) ，半径为 4. 所以，圆C 的方程为 (x 4)2 (y 3)2 16. -13 分 19.（本小题满分 14 分） 如图， PD 垂直于梯形 ABCD 所在的平面， ADC BAD 90 . F 为 PA 中点， PD ， 1 1. 2 AB AD CD 四边形 PDCE 为

15、矩形，线段 PC 交 DE 于点 N . 2 P (I) 求证： AC / 平面 DEF ； E (II) 求二面角 A BC P 的大小； F (III)在线段 EF 上是否存在一点Q ，使得 BQ 与 N C D 平面 BCP 所成角的大小为 6 ？ 若存在，求Q 点 A B 所在的位置；若不存在，请说明理由. 解：()连接 FN, 在 PAC 中， F, N 分别为 PA, PC 中点，所以 FN / /AC, 因为 FN 平面DEF, AC 平面DEF, 所以 AC / /平面DEF -5 分 ()如图以 D 为原点，分别以 DA, DC, DP 所在直线为 x,y,z 轴，建立空间直

16、角坐标系 z D xyz. P E N F C y D 9 A B x 则 P(0, 0, 2), B(1,1, 0),C(0, 2, 0),所以 PB (1,1, 2), BC (1,1, 0). 设平面 PBC 的法向量为 m (x, y, z),则 m PB x y z ( , , ) (1, 1, 2) 0 , ( , , )(1,1, 0) 0 m BC x y z 即 x y 2z 0 , x y 0 x x 解得 , 2 2 令 x 1，得 x 1 y 1 , z 2 所以 m (1, 1, 2). 因为平面ABC 的法向量 n (0, 0,1), 所以 cos n,m nm 2

17、 ， n m 2 由图可知二面角 A BC P 为锐二面角， 所以二面角 A BC P 的大小为 . 4 -10 分 () 设存在点 Q 满足条件，且Q 点与 E 点重合. 由 1 2 F( ,0, ), E(0, 2, 2). 设 FQ FE(0 1) ， 2 2 整理得 1 2(1 ) Q( ,2 , ) 2 2 ， BQ 1 2(1 ) ( ,2 1, ), 2 2 因为直线 BQ 与平面 BCP 所成角的大小为 6 ， 所以 BQ m | 5 1| 1 sin | cos BQ,m | | | ， 6 BQ m 2 19 10 7 2 2 则 2 1,由0 1知 1，即Q 点与 E 点

18、重合. -14 分 20（本小题满分 14 分） 10 已知圆O : x2 y2 1的切线l 与椭圆C : x2 3y2 4相交于 A ， B 两点 （ ）求椭圆C 的离心率； （ ）求证：OA OB ； （）求 OAB 面积的最大值. 解：（ ）由题意可知 a2 4，b2 4 ，所以 2 2 2 8 c a b 3 3 所 以e c 6 所 以 椭 圆 C 的 离 心 率 为 a 3 6 3 -5 分 （ ）若切线l 的斜率不存在，则l : x 1 在 x2 3y2 中令 x 1得 y 1 1 4 4 不妨设 A(1, 1), B(1,1) ，则OAOB 11 0 所以OA OB 同理，当l

19、 : x 1 时，也有OA OB 若切线l 的斜率存在，设l : y kx m ，依题意 m k 2 1 1，即 k 2 1 m2 由 y kx m ，得 (3k 2 1)x2 6kmx 3m2 4 0显然 0 x2 3y2 4 设A(x , y ) ， 1 1 B(x , y ),则 2 2 6km x x ， 1 2 2 3k 1 3m 4 2 x x 1 2 2 3k 1 所以 y1 y2 (kx1 m)(kx2 m) k2 x1x2 km(x1 x2 ) m2 . 所以 OAOB x x y y (k2 1)x x km(x x ) m2 1 2 1 2 1 2 1 2 3m 4 6k

20、m 2 (k 1) km m 2 2 3k2 1 3k 2 1 (k 2 1)(3m2 4) 6k2m2 (3k2 1)m2 3k 1 2 4m2 4k 2 4 3k 1 2 11 4(k 1) 4k 4 2 2 3k 1 2 0 所以OA OB 综 上 所 述 ， 总 有 OA OB 成 立 -10 分 （）因为直线 AB 与圆O 相切，则圆O 半径即为 OAB 的高， 当l 的斜率不存在时，由（ ）可知 AB 2 则 1 S . OAB 当 l 的斜率存在时，由（ ）可知， AB (1 k )(x x ) 4x x 2 2 1 2 1 2 6km 3m 4 2 1 k ( ) 4 2 2

21、3k 1 3k 1 2 2 2 1 k 2 9k m (3m 4)(3k 1) 2 2 2 2 3k 1 2 2 1 k 2 1 k 2 2 12k 3m 4 12k 3(k 1) 4 2 2 2 2 3k 1 3k 1 2 2 2 1 k 2 9k 1 2 3k 1 2 所以AB 24(1 k )(9k 1) 4(9k 10k 1) 4k 2 2 4 2 2 4(1 ) (3k 1) 9k 6k 1 9k 6k 1 2 2 4 2 4 2 k 16 4 16 2 4 16 4 4 9k 6k 1 9k 6 3 3 4 2 1 2 k 2 （ 当 且 仅 当k 3 3 时，等号成立）所以 4 3 AB 此时, 3 2 3 (S ) . OAB max 3 综上所述，当且仅当 k 时， OAB 面积的最大值为 2 3 3 3 3 -14 分 12 13