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1、9.9. 数列的通项公式、递推关系和单调性问题研究 【教学 建构】 探究 1 数列 9, 99, 999, 9999,的通项公式为_. 变式 1 数列 5, 55, 555, 5555,的通项公式为_. 变式 2 数列 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999,的通项公式为_. 进一步思考 n 思考 1 已知数列 n ），写出数列 a 中， a 1， an a N 1 a 的前 5 项， * n （ 1 n n n 1 并猜想数列 a 的通项公式. n 2a 思考 2 已知数列 a （ n N * ），写出数列 a 中， 1 1 a 的前 5 项， a ， n n 1 n n a 2
2、n 并猜想数列 a 的通项公式. n 思考 3 已知数列 a 中， a1 1， a a n n n n 1 （ n ），写出数列 N a 的前 5 项，并 * n 猜想数列 a 的通项公式. n x ，数列 n 思考 4 设函数 f (x) log2 log 4(0 1) x x a 满足 f (2a ) 2n n （ n N * ），求数列 a 的通项公式. n 1 探究 2 斐波那契数列的数学美、自然界与生活中的斐波那契数列 思考 1 将正整数数列1,2,3,4,5,的各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形 数表： 1 2 3 4 5 6 . （1）写出数表中第 4 行、第 5
3、行的各数； （2）写出数表中第 10 行的第 5 个数； （3）数表中每行的第 1 个数依次构成数列 a ，数表中每行的最后一个数依次构成数列 n b ，试分别写出数列a ， b 的递推公式. n n n 思考 2 平面内有 n(n 2) 条直线，其中任意两条直线都相交，任意三条直线不过同一点， 设这 n 条直线的交点个数为 a . n （1）求a2,a ,a ； 3 4 （2）写出从a 到 n1 a 的递推关系式； n （3）对于符合条件的 10 条直线，其交点个数是多少？ 2 探究 3 求以下数列中的最小项. （1） an n2 8n 5 ；（2） n2 7n 6 a n 思考 1 判断下
4、列无穷数列的增减性. 1 2 3 n （1） 2,1,0,1,2,3 n, ；（2） , , , , 2 3 4 n 1 思考2 已知函数 f (x) x 1 ，设 a f (n)(n N*) a 是递增数列还是递减数列？ n ，数列 n x 为什么？ 1 2x 变式 已知函数 f (x) (x 1) ，构造数列 a f (n)(n N*) a 是递增数 n ，数列 x 1 n 列还是递减数列？为什么？ 进一步思考 思考 1 如果提出原命题的逆向命题，怎么解决？ 若 an n2 n 3（其中 为实常数），n ，且数列 N a 为单调递增数列，求 * n 实数 的取值范围. 3 思考 2 如果将
5、二次项系数变成参数，怎么解决？ 数列 n ，且数列 a 满足 a n2 5n 3 N a 为单调递增 n n n （ 为实常数），其中 * 数列，求实数 的取值范围. 思考 3 变单调为不单调，怎么解决？ 已知通项公式为 a an2 n 的数列 a a 对 a ，若满足 a a a a a ，且 n n 1 2 3 4 5 n n 1 n 8恒成立，求实数 a 的取值范围. 思考 4 变更函数模型，怎么解决？ 数列 a 满足 n n 2011 a n （ n 2012 n N ），最小项为第_项；最大项为第_ * 项. 思考 5 提出变式 4 的逆向命题，怎么解决？ 数列 a 满足 n a n n 2n 17 （ 为实常数， n N * ），最大项为 a ，最小项为 a ，求数 8 9 4 的取值范围. 【复习 思考】整理笔记，巩固记忆课堂教学内容. 5