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1、2.3.42.3.4 平面向量共线的坐标表示 一、A A 组 1 1.若 a a=(6,6),b b=(5,7),c c=(2,4),则下列结论成立的是 ( ) A.a a-c c 与 b b 共线 B.b b+c c 与 a a 共线 C.a a 与 b b-c c 共线 D.a a+b b 与 c c 共线 解析:b b=(5,7),c c=(2,4),b b-c c=(3,3). 1 b b-c c= a a.a a 与 b b-c c 共线. 2 答案:C 2 2.(2016河南郑州高一期末)平面向量 a a=(1,-2),b b=(-2,x),若 a ab b,则 x 等于( ) A
2、.4 B.-4 C.-1 D.2 解析:平面向量 a a=(1,-2),b b=(-2,x),且 a ab b, 1x-(-2)(-2)=0,解得 x=4.故选 A. 答案:A 3 3.如果向量 a a=(k,1)与 b b=(6,k+1)共线且方向相反,那么 k 的值为( ) 1 A.-3 B.0 C.- D.-2 2 解析:向量 a a=(k,1)与 b b=(6,k+1)共线且方向相反, (k,1)=(6,k+1),0. k=6,1=(k+1),解得 k=-3.故选 A. 答案:A 4 4.已知向量 a a=( 3,1),b b=(cos ,-sin ),且 2,若 a ab b,则 =
3、( ) 2 3 5 A. B. C. D. 6 3 4 6 解析:由 a ab b,得- 3sin -cos =0, 3sin =-cos , 3 tan =- . 3 5 2,= . 6 答案:D 5 5.已知向量=(1,-3),=(2,-1),=(m+1,m-2),若点 A,B,C 能构成三角形,则实数 m 应满 足的条件是( ) 1 A.m-2 B.m 2 C.m1 D.m-1 1 解析:若点 A,B,C能构成三角形,则 A,B,C三点不共线,即,不共线,又=(1,2), =(m,m+1),m+1-2m0,m1. 答案:C 6 6.已知 A(2,3),B(6,-3),P是线段 AB上靠近
4、 A的一个三等分点,则点 P的坐标 是 . 1 解析:设 P(x,y),由题意得 = 3, 1 即(x-2,y-3)= (4,-6), 3 4 10 - 2 = 3, = 3 , 解方程组 得 - 3 = -2, = 1. 10 答案:( 3 ,1) 7 7.已知向量 a a=(-2,3),b ba a,向量 b b 的起点为 A(1,2),终点 B在坐标轴上,则点 B的坐标 为 . 解析:设点 B的坐标为(x,y),则 b b=(x-1,y-2). a ab b,-2(y-2)-3(x-1)=0, 即 3x+2y-7=0. 7 又点 B在坐标轴上,当 x=0 时,y= ; 2 7 当 y=0
5、 时,x= . 3 7 7 点 B的坐标为(0,2)或(3,0). 7 7 答案:(0,2)或(3,0) 8 8.(2016广东揭阳惠来一中检测)已知 A,B,C的坐标分别为 A(3,0),B(0,3),C(cos ,sin 3 ),( 2 ).若 ,O为坐标原点,则角 的值是 . 2, 解析:=(-3,3),=(cos ,sin ). ,-3sin -3cos =0, tan =-1. 3 3 ( 2 ),= . 2, 4 3 答案: 4 9 9.已知 A,B,C,D四点的坐标分别为 A(0,-1),B(3,2),C(1,3),D(-1,1),证明四边形 ABCD是梯形. 证明:=(3,3)
6、,=(-2,-2), 2 3 =-2, ,ABCD. 又=(-1,2),=(-2,1), 且-11-2(-2)=30, 与不平行,即 AD 与 BC 不平行. 四边形 ABCD 是梯形. 1010.已知向量=(4,3),=(-3,-1),点 A(-1,-2). (1)求线段 BD 的中点 M 的坐标; (2)若点 P(2,y)满足点 P,B,D 三点共线,求 y 的值. 解:(1)设 B(x1,y1),=(4,3),A(-1,-2), (x1+1,y1+2)=(4,3), 1 + 1 = 4, 1 = 3, 1 + 2 = 3, 1 = 1, B(3,1). 同理可得 D(-4,-3),设 B
7、D 的中点 M(x2,y2), 3 - 4 1 1 - 3 则 x2= =- ,y2= =-1. 2 2 2 1 M( - 2, - 1). (2)=(3,1)-(2,y)=(1,1-y), =(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4). P,B,D 三点共线, . 3 -4+7(1-y)=0.y= . 7 二、B B 组 1 1.已知 e e1=(1,0),e e2=(0,1),a a=2e e1+e e2,b b=e e1-e e2,当 a ab b 时,实数 等于( ) 1 A.-1 B.0 C.- D.-2 2 解析:e e1=(1,0),e e2=(0,1),a a=2e e1+e
8、e2,b b=e e1-e e2, a a=2(1,0)+(0,1)=(2,1),b b=(1,0)-(0,1)=(,-1). a ab b,2(-1)-1=0,解得 =-2.故选 D. 答案:D 1 2 2.已知 a a=(-2,1-cos ),b b=(1 + cos, - 4),且 a ab b,则锐角 等于( ) A.45 B.30 C.60 D.30或 60 1 解析:由 a ab b,得-2( - 4)=1-cos2=sin2, 3 2 为锐角,sin = . 2 =45. 答案:A 3 3.已知=(k,2),=(1,2k),=(1-k,-1),且相异三点 A,B,C共线,则实数
9、k等于( ) 1 A.1 B.1或- 4 1 1 C.- D.-1 或 4 4 解析: = =(1-k,2k-2), = =(-k,-1-2k), 由已知得, ,即(1-k)(-1-2k)-(2k-2)(-k)=0, 1 解得 k=1 或- . 4 当 k=1 时,=(1,2),=(1,2),即 A,B两点相同,与已知矛盾. 1 k=- . 4 答案:C 4 4.已知点 A( 3,1),B(0,0),C( 3,0).设BAC的平分线 AE与 BC相交于 E,那么有=, 则 等于( ) 1 A.2 B. 2 1 C.-3 D.- 3 解析:如图,由已知得,ABC=BAE=EAC=30,AEC=6
10、0,|AC|=1, 1 3 |EC|= . tan60 = 3 =,0, | 3 |= =3. = 3 | 3 =-3. 答案:C 5 5.已知向量 a a=( 3,1),b b=(0,-1),c c=(k, 3),若 a a-2b b 与 c c 共线,则 k= . 解析:a a=( 3,1),b b=(0,-1), a a-2b b=( 3,1)-(0,-2)=( 3,3). 又 c c=(k, 3),且 a a-2b b 与 c c 共线, 4 3k=3.k=1. 答案:1 6 6.已知=(-2,m),=(n,1),=(5,-1),若点 A,B,C在同一条直线上,且 m=2n,则 m+n
11、= . 解析: = =(n,1)-(-2,m)=(n+2,1-m), = =(5,-1)-(n,1)=(5-n,-2). 因为 A,B,C共线,所以与共线, 所以-2(n+2)=(1-m)(5-n). 又 m=2n, = 3, = 6, 解组成的方程组得 = 3 或 3 = 2. 9 所以 m+n=9 或 . 2 9 答案:9 或 2 7 7.在平面直角坐标系中,O是坐标原点,已知两点 F1(2,1),F2(-2,1),若点 P满足=1 +(1-)2,R R,则点 P的轨迹方程是 . 解析:依题意,设=(x,y), 则(x,y)=(2,1)+(1-)(-2,1)=(4-2,1), 所以 x=4
12、-2,y=1. 也就是说点 P的轨迹方程为直线 y=1. 答案:y=1 8 8.(2016新疆阿克苏高一期末)已知向量 a a=(1,-2),b b=(3,4). (1)求向量 3a a+4b b 的坐标; (2)当实数 k为何值时,ka a-b b 与 3a a+4b b 共线. 解:(1)向量 a a=(1,-2),b b=(3,4),向量 3a a+4b b=(3,-6)+(12,16)=(15,10). (2)ka a-b b=(k-3,-2k-4), 3a a+4b b=(15,10).由 ka a-b b 与 3a a+4b b 共线, 3 可得 10k-30=-30k-60,解得
13、 k=- . 4 9 9.已知向量 a a=(3,2),b b=(-1,2),c c=(4,1),求: (1)3a a+b b-2c c; (2)若 a a=mb b+nc c,求实数 m,n的值; (3)当 k为何实数时,a a+kc c 与 2b b-a a 平行,平行时它们是同向还是反向? 5 解:(1)3a a+b b-2c c=3(3,2)+(-1,2)-2(4,1)=(0,6). (2)a a=mb b+nc c,(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n). 5 = 9, - + 4 = 3, 2 + = 2, 解得 8 = 9. (3)a a+kc c=(3+4k,2+k),2b b-a a=(-5,2). 16 (a a+kc c)(2b b-a a),2(3+4k)-(2+k)(-5)=0.k=- . 13 6