《2018版高中数学第一章立体几何初步1.2.4第2课时两平面垂直学案苏教版必修220170722189.wps》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学第一章立体几何初步1.2.4第2课时两平面垂直学案苏教版必修220170722189.wps（10页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、1.2.41.2.4 第 2 2 课时 两平面垂直 1了解二面角的概念，能在长方体中度量二面角(难点) 2理解并掌握面面垂直的判定定理(难点、重点) 3掌握面面垂直的性质定理及其应用方法(难点、重点) 基础初探 教材整理 1 与二面角有关的概念 阅读教材 P46P47例 1，完成下列问题 1平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面一般地， 一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱， 每个半平面叫做二面角的面棱为 AB，面为 ， 的二面角，记作二面角 AB. 2一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，
2、这两 条射线所成的角叫做二面角的平面角 3二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角 是多少度我们约定，二面角 的大小范围是 0180.平面角是直角的二面角叫做直 二面角一般地，如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直 下列命题： 两个相交平面组成的图形叫做二面角； 异面直线 a，b 分别和一个二面角的两个面垂直，则 a，b 组成的角与这个二面角的平面 角相等或互补； 二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角； 二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系 其中正确的是_ 【答案】 教材整理 2 平面与平面垂直
3、的判定定理 阅读教材 P47P48例 2，完成下列问题 1 平面与平面垂直的判定定理 自然语言 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 符号语言 l，l 图形语言 判断(“正确的打”“，错误的打 ”) (1)两平面相交，如果所成的二面角是直角，则这两个平面垂直() (2)一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面一定垂直() (3)一条直线与两个平面中的一个平行，与另一个垂直，则这两个平面垂直() (4)一个平面与两平行平面中的一个垂直，则与另一个平面也垂直() 教材整理 3 平面与平面垂直的性质定理 阅读教材 P48例 2 以下部分内容，完成下列问题 平面与平面垂直
4、的性质定理 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内 垂直于它们交线 自然语言 的直线垂直于另一个平面 符号语言 ，l，a ，a la 图形语言 1已知平面 平面 ，直线 a，则 a与 的位置关系是_. 【答案】 a 或 a 2若三个不同的平面，满足，则与之间的位置关系是_ 【解析】 如图所示，满足 ， 的 与 之间的位置关系可能为平行，也 可能相交 2 【答案】 平行或相交 小组合作型 面面垂直的判定定理的应用 已知四边形 ABCD 是矩形，PA平面 ABCD，PAAD，M，N 分别是 AB，PC 的中点求 证：平面 MND平面 PCD. 【精彩点拨】 欲证平面 MND平面 PCD，只需证明平
5、面 MND 中的直线 MN平面 PCD 即可， 取 PD 的中点 E，易知 MNAE，故只需证明 AE平面 PCD 即可 【自主解答】 如图，取 PD 的中点 E，连结 AE，NE. E，N 分别是 PD，PC 的中点， 1 EN 綊 CD. 2 1 又 ABCD，AM AB， 2 EN 綊 AM， 四边形 AMNE 是平行四边形， MNAE. PA平面 ABCD， PACD. 又 CDAD，PAADA， CD平面 PAD，CDAE. 在等腰直角三角形 PAD 中，AE 是斜边 PD 上的中线， AEPD.又 CDPDD，AE平面 PCD. 又 MNAE，MN平面 PCD. MN 平面 MND
6、，平面 MND平面 PCD. 面面垂直的判定定理是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只需转证线面垂直， 3 关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直 再练一题 1如图 1291，三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱垂直底面，ACB90，AA12AC，D 是 棱 AA1的中点求证：平面 BDC1平面 BDC. 图 1291 【解】 由题设知 BCCC1，BCAC，CC1ACC，BC平面 ACC1A1. 又DC1 平面 ACC1A1，DC1BC. 由题设知A1DC1ADC45， CDC190，即 DC1DC. 又DCBCC，DC1平面 BDC， DC1 平面 BDC1， 平面 BDC1
7、平面 BDC. 面面垂直性质的应用 如图 1292，在三棱锥 SABC 中，平面 SAB平面 SBC，ABBC，ASAB.过 A 作 AFSB，垂足为 F，点 E，G 分别是棱 SA，SC 的中点求证： 图 1292 (1)平面 EFG平面 ABC； (2)BCSA. 【精彩点拨】 (1)在平面 EFG 中找两条相交的直线分别与平面 ABC 平行即可(2)先证 BC 平面 SAB，再利用线面垂直的性质即可证 BCSA. 【自主解答】 (1)因为 ASAB，AFSB，垂足为 F，所以 F 是 SB 的中点 又因为 E 是 SA 的中点， 4 所以 EFAB. 因为 EF 平面 ABC，AB 平面
8、 ABC，所以 EF平面 ABC. 同理 EG平面 ABC.又 EFEGE， 所以平面 EFG平面 ABC. (2)因为平面 SAB平面 SBC，且交线为 SB.又 AF 平面 SAB，AFSB，所以 AF平面 SBC. 因为 BC 平面 SBC，所以 AFBC. 又因为 ABBC，AFABA，AF 平面 SAB，AB 平面 SAB，所以 BC平面 SAB. 因为 SA 平面 SAB，所以 BCSA. 1证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的 性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理 2利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三
9、点：(1)两个平面垂 直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线 再练一题 2如图 1293，在四棱锥 PABCD 中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面 PAD底面 ABCD，PAAD，E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点 图 1293 求证： (1)PA底面 ABCD； (2)平面 BEF平面 PCD. 【证明】 (1)因为平面 PAD底面 ABCD，且 PA 垂直于这两个平面的交线 AD，所以 PA 底面 ABCD. (2)因为 ABAD，而且 ABED 为平行四边形， 所以 BECD，ADCD. 由(1)知 PA底面 ABCD，所以 PACD. 又 PA
10、ADA， 所以 CD平面 PAD，所以 CDPD. 5 因为 E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点， 所以 PDEF，所以 CDEF， 又 EFBEE，所以 CD平面 BEF. 因为 CD 平面 PCD，所以平面 BEF平面 PCD. 探究共研型 求二面角的大小 探究 若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二 面角的大小关系如何？ 【提示】 关系无法确定如图所示，平面 EFDG平面 ABC，当平面 HDG 绕 DG 转动时， 平面 HDG 始终与平面 BCD 垂直，所以两个二面角的大小关系不确定，因为二面角 HDGF 的 大小不确定 如图 1294所示，P
11、A平面 ABC，ACBC，AB2，BC 2，PB 6，求二面 角 PBCA 的大小. 图 1294 【精彩点拨】 先利用二面角的平面角的定义找平面角，再通过解三角形求解 【自主解答】 PA平面 ABC，BC 平面 ABC，PABC. 又ACBC，PAACA，PA 平面 PAC，AC 平面 PAC， BC平面 PAC. 又PC 平面 PAC，BCPC. 又BCAC. PCA 为二面角 PBCA 的平面角 在 RtPBC 中， PB 6，BC 2，PC2. 在 RtABC 中，AC AB2BC2 2， AC 2 在 RtPAC 中，cosPCA ， PC 2 6 PCA45，即二面角 PBCA 的
12、大小为 45. 解决二面角问题的策略 再练一题 3如图1295(1)所示，在平面四边形ABCD中，ABBCCDa，B90，BCD135. 沿对角线 AC 将四边形折成直二面角，如图 1295(2)所示 (1) (2) 图 1295 (1)求证：平面 ABD平面 BCD； (2)求二面角 BADC 的大小 【解】 (1)证明：如图， ACD1354590， CDAC.由已知二面角 BACD 是直二面角， 过 B 作 BOAC，垂足为 O， 由 ABBC 知 O 为 AC 中点， 作 OEAC 交 AD 于 E， 则BOE90，BOOE. 而 OEACO， BO平面 ACD. 又CD 平面 ACD
13、，BOCD. 又 ACBOO，CD平面 ABC. AB 平面 ABC， 7 ABCD，由已知ABC90， ABBC.而 BCCDC，AB平面 BCD. 又AB 平面 ABD，平面 ABD平面 BCD. (2)由(1)知 BO平面 ACD， BOAD. BOOEO， AD平面 BOE，而 BE 平面 BOE， ADBE， BEO 是二面角 BADC 的平面角 2 由已知 ABBCCDa，AC 2a，BO a. 2 由(1)知 ACCD，AD 3a. AOEADC， 2 a a OE AO 2 6 ，OE a. DC AD 3a 6 2 a BO 2 在BOE 中，tanBEO 3， OE 6 a
14、 6 BEO60，即二面角 BADC 的大小为 60. 1已知 l，则过 l 与 垂直的平面有_个 【解析】 由面面垂直的判定定理知， 凡过 l 的平面都垂直于平面 ，这样的平面有无 数个 【答案】 无数 2对于直线 m，n 和平面 ，能得出 的一个条件是_ mn，m，n；mn，m，n； mn，n，m；mn，m，n. 【解析】 n，mn，m，又 m，由面面垂直的判定定理，. 【答案】 3设 l 是直二面角，直线 a，直线 b，a，b 与 l 都不垂直，那么说法中 正确的有_. a 与 b 可能垂直，但不可能平行；a 与 b 可能垂直，也可能平行；a 与 b 不可能垂直， 8 但可能平行；a 与
15、 b 不可能垂直，也不可能平行 【解析】 当 a，b 都与 l 平行时， 则 ab，所以错如图，若 ab，过 a 上一点 P 在 内作 al， 因为 ，所以 a. 又 b，ab，b，与题干要求矛盾，即 a 与 b 不可能垂直 【答案】 4如图 1296，在三棱锥 DABC 中，若 ABCB，ADCD，E 是 AC 的中点，则下列命 题中正确的有_(填序号) 图 1296 平面 ABC平面 ABD； 平面 ABD平面 BCD； 平面 ABC平面 BDE，且平面 ACD平面 BDE； 平面 ABC平面 ACD，且平面 ACD平面 BDE. 【解析】 因为 ABCB，且 E 是 AC 的中点，所以
16、BEAC，同理有 DEAC，于是 AC平 面 BDE. 因为 AC 平面 ABC，所以平面 ABC平面 BDE.又由于 AC 平面 ACD，所以平面 ACD平面 BDE.故只有正确 【答案】 5如图 1297，平面角为锐角的二面角 EF，AEF，AG，GAE45， 若 AG 与 所成角为 30，求二面角 EF 的平面角 图 1297 【解】 作 GH 于 H，作 HBEF 于 B，连结 GB，则 GBEF，GBH 是二面角的平面角 9 2 1 GH 2 又GAH 是 AG 与 所成的角，设 AGa，则 GB a，GH a，sinGBH ，所 2 2 GB 2 以GBH45， 故二面角 EF 的平面角为 45. 10