《2018版高中数学第一章立体几何初步1.3.2空间几何体的体积学案苏教版必修220170722187.wps》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学第一章立体几何初步1.3.2空间几何体的体积学案苏教版必修220170722187.wps（17页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、1.3.21.3.2 空间几何体的体积 1了解球、柱、锥和台的体积的计算公式(不要求记忆公式)(重点) 2会求柱、锥、台和球的体积(重点、易错点) 3会求简单组合体的体积及表面积(难点) 基础初探 教材整理 1 柱体、锥体、台体的体积 阅读教材 P56P58第 8 行，完成下列问题 柱体、锥体、台体的体积 几何体 体积 柱体 V柱体Sh(S为底面面积，h为高)，V圆柱r2h(r为底面半径) 锥体 1 V锥体 Sh(S为底面面积，h为高) 3 V圆锥 r2h(r为底面半径) 3 台体 1 V台体 h(S SSS)(S，S分别为上、下底面面积，h为高)， 3 1 V圆台 h(r2rrr2)(r，r
2、分别为上、下底面半径) 3 1若正方体的体对角线长为 a，则它的体积为_ a 3 【解析】 设正方体的边长为 x，则 3xa，故 x ，V a3. 3 9 3 【答案】 a3 9 2若一个圆柱的侧面展开图是边长为 2 的正方体，则此圆柱的体积为_ 1 【解析】 设圆柱的 底面半径为 r，高为 h，则有 2r2，即 r ，故圆柱的体积为 V 1 2 r2h( )22 . 1 2 【答案】 3如图 136，在三棱柱 A1B1C1ABC 中，D，E，F 分别是 AB，AC，AA1的中点，设三棱 锥 FADE 的体积为 V1，三棱柱 A1B1C1ABC 的体积为 V2，则 V1V2_. 图 136 1
3、 1 1 【解析】 设三棱柱 A1B1C1ABC 的高为 h，底面三角形 ABC 的面积为 S，则 V1 S 3 4 2 1 h Sh 24 1 V2，即 V1V2124. 24 【答案】 124 教材整理 2 球的体积和表面积 阅读教材 P58P59例 1，完成下列问题 若球的半径为 R，则 4 (1)球的体积 V R3. 3 (2)球的表面积 S4 R2. 1若球的表面积为 36，则该球的体积等于_ 【解析】 设球的半径为 R，由题意可知 4R236，R3. 4 该球的体 积 V R336. 3 【答案】 36 2两个球的半径之比为 13，那么两个球的表面积之比为_. 【导学号：41292
4、051】 S1 4r21 r1 1 1 【解析】 2 2 . S2 4r 9 2 (r2 ) (3 ) 【答案】 19 2 小组合作型 多面体的体积 如图 137，已知在直三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1AC4，BC3，ACBC， 点 D 是 AB 的中点，求三棱锥 A1B1CD 的体积 图 137 【精彩点拨】 法一：VA1B1CDV 柱VA1ADCVB1BDCVCA1B1C1. 法二：利用等体积法求解，VA1B1CDVCA1B1D. 【自主解答】 AA1AC4，BC3，ACBC，ABA1B15. 法一 由题意可知 VA1B1C1ABCSABCAA1 1 43424. 2 1 1 1 又
5、 VA1ADC SABCAA1 SABCAA14. 3 2 6 1 1 1 VB1BDC SABCBB1 SABCBB14. 3 2 6 1 VCA1B1C1 SA1B1C1CC18， 3 VA1B1CDVA1B1C1ABCVA1ADCVB1BDCVCA1B1C1 244488. 法二 在ABC 中，过 C 作 CFAB，垂足为 F， 由平面 ABB1A1平面 ABC 知，CF平面 A1B1BA. 3 1 1 又 SA1B1D A1B1AA1 5410. 2 2 ACBC 3 4 12 在ABC 中，CF . AB 5 5 1 VA1B1CDVCA1B1D SA1B1DCF 3 1 12 10
6、 8. 3 5 几何体的体积的求法 1直接法：直接套用体积公式求解 2等体积转移法：在三棱锥中，每一个面都可作为底面为了求解的方便，我们经常需 要换底，此法在求点到平面的距离时也常用到 3分割法：在求一些不规则的几何体的体积时，我们可以将其分割成规则的、易于求解 的几何体 4补形法：对一些不规则(或难求解)的几何体，我们可以通过补形，将其补为规则(或易 于求解)的几何体 再练一题 1如图 138，在三棱锥 PABC 中，PAa，ABAC2a，PABPACBAC 60，求三棱锥 PABC 的体积 图 138 【解】 ABAC，BAC60， ABC 为正三角形，设 D 为 BC 的中点，连结 AD
7、，PD，作 PO平面 ABC. 4 PABPAC 且 ABAC，OAD. 作 PEAB 于点 E，连结 OE， 则 OEAB. 在 RtPAE 中，PEasin 60 3 a a，AE . 2 2 a 3 在 RtAEO 中，OE tan 30 a. 2 6 6 OP PE2OE2 a. 3 1 又 SABC BCAD a2. 3 2 1 2 VPABC SABCOP a3. 3 3 旋转体的体积 圆台上底的面积为 16 cm2，下底半径为 6 cm，母线长为 10 cm，那么圆台的侧 面积和体积各是多少？ 【导学号：41292052】 【精彩点拨】 解答本题作轴截面可以得到等腰梯形，为了得到
8、高，可将梯形分割为直角 三角形和矩形，利用它们方便地解决问题 【自主解答】 如图，由题意可知，圆台的上底圆半径为 4 cm， 于是 S 圆台侧(rr)l100(cm2) 圆台的高 hBC BD2ODAB2 1026424 6(cm)， 1 1 304 6 V 圆台 h(S S) 4 (16 36) (cm3) SS 6 16 36 3 3 3 5 求台体的体积关键是求高，为此常将有关计算转化为平面图形(三角形或特殊四边形)来计 算对于棱台往往要构造直角梯形和直角三角形；在旋转体中通常要过旋转轴作截面得到直角 三角形、矩形或等腰梯形 再练一题 2.如图 139，ABC 的三边长分别是 AC3，B
9、C4，AB5，以 AB 所在直线为轴，将 此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积 图 139 【解】 如图所示，所得的旋转体是两个底面重合的圆锥的组合体，高的和 AB5， ACBC 12 底面半径 DC ， AB 5 84 故 S 表DC(BCAC) ， 5 1 1 V CD2DA CD2BD 3 3 1 48 CD2(DABD) . 3 5 探究共研型 球的表面积和体积 探究 1 如果两个球的体积之比为 827，那么两个球的表面积之比为多少？ 【提示】V1V2827R31R32，R1R223，S1S2R21R 49. 2 探究 2 一底面边长为 4 的正六棱柱，高为 6，则它的外接球(
10、正六棱柱的顶点都在此球面 上)的表面积是多少？ 【提示】 因为正六棱柱的底面边长为 4，所以它的底面圆的半径为 4，所以球的半径为 42325，故球的表面积为 4r2425100. 6 已知正四面体的棱长为 a，四个顶点都在同一个球面上，试求这个球的表面积 和体积 【精彩点拨】 正四面体的顶点都在同一个球面上，球心和正四面体的中心是同一个点， 球心与正四面体各顶点的距离即球的半径 【自主解答】 如图所示，设正四面体 PABC 的高为 PO1，球的球心为 O，半径为 R，则 3 3 AO1 AB a. 3 3 在 RtPO1A 中， PO1 PA2AO21 3 6 a 2( a ) a， 2 3
11、 3 在 RtOO1A 中，AO2AO21OO21， 3 6 即 R 2( a ) 2( aR) 2， 3 3 6 解得 R a. 4 6 3 所以球的表面积 S4R24( a )2 a2， 4 2 4 4 6 6 体积 V R33( a )3 a3. 3 4 8 处理有关几何体外接球的问题时，要注意球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于 球的对称性，球心总是在几何体的特殊位置，比如中心、对角线中点等该类问题的求解就是 根据几何体的相关数据求球的直径或半径 再练一题 3已知过球面上三点 A，B，C 的截面到球心的距离等于球半径的一半，且 ACBC6，AB 4，求球面面积与球的体积 7 【解
12、】 如图，设球心为 O，球半径为 R，作 OO1平面 ABC 于点 O1，由于 OAOBOC R，则 O1是ABC 的外心，设 M 是 AB 的中点，由于 ACBC，则 O1CM. 设 O1Mx，易知 O1MAB， 则 O1A 22x2，O1CCMO1M 6222x. 又 O1AO1C， 22x2 6222x， 7 2 解得 x . 4 9 2 O1AO1BO1C . 4 R 在 RtOO1A 中，O1O ，OO1A90，OAR， 2 R 9 2 3 6 由勾股定理得 (2 ) 2( 4 ) 2R2，解得 R ， 2 4 则 S 球4R254，V 球 R327 . 6 3 1已知一个长方体共顶
13、点的三个面的面积为 2，3，6，这个长方体的对角线长是_ 【解析】 设 ab 2，bc 3，ac 6，则 abc 6，c 3，a 2，b1. l 321 6. 【答案】 6 2体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_ 【解析】 设正方体棱长为 a，则 a38，所以 a2. 所以正方体的体对角线长为 2 3，所以正方体外接球的半径为 3，所以球的表面积为 4( 3)212. 【答案】 12 3已知正六棱柱的侧面积为 72 cm2，高为 6 cm，那么它的体积为_cm3. 【导学号：41292053】 【解析】 设正六棱柱的底面边长为 x cm，由题意得 6x672，所以 x2
14、 cm， 3 于是其体积 V 226636 3 cm3. 4 8 【答案】 36 3 4如图 1310，在ABC 中，AB2，BC1.5，ABC120，若将ABC 绕直线 BC 旋转一周，则所形成的旋转体的体积是_ 图 1310 【解析】 由题目条件可得，旋转体是一个大圆锥去掉一个同底的小圆锥，故其体积为大 圆锥体积减去小圆锥体积 1 1 V AD2DC AD2DB 3 3 1 1 3 3 AD2BC ( 3)2 . 3 3 2 2 3 【答案】 2 32 5已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，若这个球的体积是 ， 3 求此三棱柱的体积 4 32 1 3 【解】 由 R3 ，得 R2，正三棱柱的高 h4.设其底面边长为 a，则 a 3 3 3 2 3 2，a4 3，V (4 3)2448 3. 4 9