2018版高中数学第一章立体几何初步章末综合测评苏教版必修220170722257.wps

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1、( (一) ) 立体几何初步 (时间 120 分钟，满分 160 分) 一、填空题(本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70分请把答案填写在题中横线上) 1给出下列命题： (1)若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面； (2)若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面； (3)若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面； (4)若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面 其中真命题的序号为_ 【解析】 (1)因为两个平面平行，所以两个平面没有公共点，即其中一个平面内的直线 与另一个平面也没有公共点，由直线

2、与平面平行的判定定理可得直线与该平面平行，所以(1) 正确 (2)因为该直线与其中一个平面垂直，那么该直线必与其中两条相交直线垂直，又两个平 面平行，故另一个平面也必定存在两条相交直线与该直线垂直，所以该直线与另一个平面也垂 直，故(2)正确 (3)错，反例：该直线可以在另一个平面内 (4)错，反例：其中一个平面内也存在直线与另一个平面平行 综上：(1)(2)为真命题 【答案】 (1)(2) 2在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，当底面四边形 ABCD 满足条件_时， 有 A1CB1D1(注： 填上你认为正确的一种即可，不必考虑所有可能的情形) 【解析】 若有 ACBD，则 A1C1B1D

3、1. 又CC1B1D1，A1C1CC1C1， B1D1平面 A1C1C，B1D1A1C，故条件可填 ACBD. 【答案】 ACBD(答案不唯一) 3棱长为 1 的正四面体内有一点 P，由点 P 向各个面引垂线，垂线段分别为 d1，d2，d3， d4，则 d1d2d3d4的值为_ 【解析】 设四面体的高为 h， 2 3 6 则 h 1 2( 1) 2 ， 3 2 3 1 1 Sh S(d1d2d3d4)， 3 3 6 d1d2d3d4h . 3 1 【答案】 6 3 4体积为 52 的圆台，一个底面积是另一个底面积的 9 倍，那么截得这个圆台的圆锥的体 积为_ x52 1 【解析】 设圆锥的体积

4、为 x，则 3，解得 x54. x (3 ) 【答案】 54 3 2 5已知正四棱锥 OABCD 的体积为 ，底面边长为 3，则以 O 为球心，OA 为半径的球 2 的表面积为_. 1 3 2 3 2 【解析】 V 四棱锥 OABCD 3 3h ，得 h ， 3 2 2 AC 18 6 OA 2h2(2 )2 6. 4 4 S 球4OA224. 【答案】 24 6若 l，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面 ，则“lm”是“l”的_条 件 【解析】 m，若 l，则必有 lm，即 llm. 但 lmD/l，lm 时，l 可能在 内 “故lm”“是l”的必要而不充分条件 【答案】 必要不充分 7如

5、图 1 所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别是棱 AA1和 AB 上的点，若B1MN 是直角，则C1MN 等于_ 图 1 【解析】 B1C1平面 A1ABB1， MN 平面 A1ABB1， B1C1MN，又B1MN 为直角 B1MMN，而 B1MB1C1B1. MN平面 MB1C1.又 MC1 平面 MB1C1， MNMC1，C1MN90. 【答案】 90 2 8设 l 为直线， 是两个不同的平面下列命题中正确的是_ 若 l，l，则 ；若 l，l，则 ；若 l，l， 则 ；若 ，l，则 l. 【解析】 对于，若 l，l，则 和 可能平行也可能相交，故错误； 对于，若 l，l

6、，则 ，故正确； 对于，若 l，l，则 ，故错误； 对于，若 ，l，则 l 与 的位置关系有三种可能：l，l，l， 故错误故选. 【答案】 9如图 2，在空间四边形 ABCD 中，E，H 分别是 AB，AD 的中点，F，G 分别是 CB，CD 上的 CF CG 2 点，且 ，若 BD6 cm，梯形 EFGH 的面积为 28 cm2，则平行线 EH，FG 间的距离为 CB CD 3 _cm. 图 2 1 2 【解析】 由题知，EH BD3 cm，FG BD4 cm. 2 3 1 设平行线 EH，FG 之间距离为 d，则 (34)d28， 2 解得 d8 cm. 【答案】 8 10在四棱锥 PAB

7、CD 中，PA平面 ABCD，且 PAAD，四边形 ABCD 是正方形，E 是 PD 的 中点，则 AE 与 PC 的位置关系为_ 【解析】 易知 CDAE，AEPD，则 AE平面 PCD，所以 AEPC. 【答案】 垂直 11正方体 ABCDA1B1C1D1中，过点 A 作平面 A1BD 的垂线，垂足为点 H.以下结论中，错 误的是_ 点 H 是A1BD 的垂心； AH平面 CB1D1； AH 的延长线经过点 C1； 直线 AH 和 BB1所成的角为 45. 【解析】 因为 AH平面 A1BD，BD 平面 A1BD， 所以 BDAH.又 BDAA1，且 AHAA1A. 3 所以 BD平面 A

8、A1H. 又 A1H 平面 AA1H. 所以 A1HBD，同理可证 BHA1D， 所以点 H 是A1BD 的垂心，正确 因为平面 A1BD平面 CB1D1， 所以 AH平面 CB1D1，正确 易证 AC1平面 A1BD.因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，所以 AC1和 AH 重合 故 正确 因为 AA1BB1，所以A1AH 为直线 AH 和 BB1所成的角 因为A1AH45，故错误 【答案】 12如图 3 所示，直线 PA 垂直于O 所在的平面，ABC 内接于O，且 AB 为O 的直径， 点 M 为线段 PB 的中点现有结论： 图 3 BCPC； OM平面 APC； 点 B 到平面 P

9、AC 的距离等于线段 BC 的长 其中正确的序号是_ 【解析】 对于，PA平面 ABC， PABC， AB 为O 的直径，BCAC， BC平面 PAC. 又 PC 平面 PAC，BCPC，故正确； 对于，点 M 为线段 PB 的中点， OMPA. PA 平面 PAC，OM平面 PAC，故正确； 对于，由知 BC平面 PAC，线段 BC 的长即是点 B 到平面 PAC 的距离，故正确 【答案】 4 13将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 ABDC，有如下四个结论： ACBD； ACD 是等边三角形； 二面角 ABCD 的度数为 60； AB 与 CD 所成的角是 60. 其中正确结

10、论的序号是_ 【解析】 如图(1)(2)所示，取 BD 的中点 O，连 结 AO，OC，易 知 AOBD 且 COBD，AOOC O，故 BD平面 AOC，BDAC，故正确 2 设正方形 ABCD 的边长为 1，易知 AOOC .又由题意可知AOC90，故 AC1. 2 所以 ACADDC，所以ACD 是等边三角形，故正确 取 BC 的中点 E，连结 OE，AE，则AEO 即为二面角 ABCD 的平面角， AO tanAEO 2， OE (3) 故不正确 对于，如图(3)所示， 取 AC 的中点 F，连结 OF，EF，OE，则 OECD，EFAB，则FEO 即为异面直线 AB 与 CD 1 所

11、成的角又在AOC 中，OF ，故 EFOEOF，AB 与 CD 所成的角为 60，故正确 2 综上可知正确 【答案】 14如图 4 所示，三棱锥 ABCD 的底面是等腰直角三角形，AB平面 BCD，ABBCBD 2，E 是棱 CD 上的任意一点，F，G 分别是 AC，BC 的中点，则在下面命题中： 5 平面 ABE平面 BCD； 平面 EFG平面 ABD； 1 四面体 FECG 体积的最大值是 . 3 其中为真命题的是_(填序号) 【导学号：41292059】 图 4 【解析】 正确，因为 AB平面 BCD，且 AB 平面 ABE，由面面垂直的判定定理可知平 面 ABE平面 BCD；错，若两平

12、面平行，则必有 ADEF，而点 E 是棱 CD 上任意一点，故该命 1 1 题为假命题； 正确，由已知易得 GF平面 GCE，且 GF AB1，而 SGCE GCCEsin 45 2 2 2 1 1 CE1，故 VFGCE SGCEFG .故正确的命题为. 4 3 3 【答案】 二、解答题(本大题共 6 小题，共 90 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 图 5 15(本小题满分 14 分)如图 5，正方体 ABCDABCD的棱长为 a，连结 AC， AD，AB，BD，BC，CD，得到一个三棱锥求： (1)三棱锥 ABCD 的表面积与正方体表面积的比值； (2)三棱锥 ABCD 的体

13、积 【解】 (1)ABCDABCD是正方体， 六个面是互相全等的正方形， ACABADBCBDCD 2a， 3 S 三棱锥4 ( a)22 a2，S 正方体6a2， 2 3 4 S 三棱锥 3 . S 正方体 3 6 (2)显然，三棱锥 AABD，CBCD，DADC，BABC是完全一样的， V 三棱锥 ABCDV 正方体4V 三棱锥 AABD 1 1 1 a34 a2a a3. 3 2 3 16(本小题满分 14 分)如图 6 所示，长方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别为 AB，A1D1的 中点，判断 MN 与平面 A1BC1的位置关系，并说明理由 图 6 【解】 直线 MN平面

14、A1BC1. 证明如下： M平面 A1BC1，N平面 A1BC1. MN 平面 A1BC1. 如图，取 A1C1的中点 O1， 连结 NO1，BO1. 1 1 NO1綊 D1C1，MB 綊 D1C1，NO1綊 MB， 2 2 四边形 NO1BM 为平行四边形， MNBO1.又BO1 平面 A1BC1， MN平面 A1BC1. 17(本小题满分 14 分)如图 7，圆锥的轴截面 SAB 为等腰直角三角形，Q 为底面圆周上一 点 图 7 (1)若 QB 的中点为 C，求证：平面 SOC平面 SBQ； (2)若AOQ120，QB 3，求圆锥的表面积 【解】 (1)SQSB，OQOB，C 为 QB 的

15、中点， 7 QBSC，QBOC. SCOCC， QB平面 SOC. 又QB 平面 SBQ， 平面 SOC平面 SBQ. (2)AOQ120，QB 3， BOQ60，即OBQ 为等边三角形， OB 3. SAB 为等腰直角三角形，SB 6， S 侧 3 63 2， S 表S 侧S 底3 23(33 2). 图 8 18(本小题满分 16 分)如图 8 所示，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO底面 ABCD， 底面边长为 a，E 是 PC 的中点 (1)求证：PA平面 BDE； (2)求证：平面 PAC平面 BDE； (3)若二面角 EBDC 为 30，求四棱锥 PABCD 的体积 【解

16、】 (1)证明：连结 OE，如图所示 O，E 分别为 AC，PC 的中点， OEPA. OE 平面 BDE，PA 平面 BDE，PA平面 BDE. (2)证明：PO平面 ABCD，POBD. 在正方形 ABCD 中，BDAC. 又POACO，BD平面 PAC. 又BD 平面 BDE，平面 PAC平面 BDE. (3)取 OC 中点 F，连结 EF.E 为 PC 中点， EF 为POC 的中位线，EFPO. 8 又PO平面 ABCD，EF平面 ABCD， EFBD， OFBD，OFEFF，BD平面 EFO， OEBD， EOF 为二面角 EBDC 的平面角， EOF30. 1 1 2 在 RtO

17、EF 中，OF OC AC a， 2 4 4 6 6 EFOFtan 30 a，OP2EF a. 12 6 1 6 6 VPABCD a2 a a3. 3 6 18 19(本小题满分 16 分)如图 9，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，PA平面 ABCD，E 是 PC 的中点，F 为线段 AC 上一点. (1)求证：BDEF； AF (2)若 EF平面 PBD，求 的值 FC 图 9 【解】 (1)因为 PA平面 ABCD，BD 平面 ABCD，所以 PABD. 又四边形 ABCD 是正方形，所以 ACBD. 又 PAACA，所以 BD平面 PAC. 又 EF 平面 PAC

18、，所以 BDEF. (2)设 AC 与 BD 交于点 O，连结 PO. 因为 EF平面 PBD，平面 PAC平面 PBDPO，且 EF 平面 PAC，所以 EFPO.又 E 是 PC 的中点， AF 所以 OFFC，所以 AF3FC，即 3. FC 20(本小题满分 16 分)如图 10(1)，在 RtABC 中，C90，D，E 分别为 AC，AB 的 中点，点 F 为线段 CD 上的一点，将ADE 沿 DE 折起到A1DE 的位置，使 A1FCD，如图 10(2) 9 (1) (2) 图 10 (1)求证：DE平面 A1CB； (2)求证：A1FBE； (3)线段 A1B 上是否存在点 Q，

19、使 A1C平面 DEQ.说明理由 【解】 (1)证明：D，E 分别为 AC，AB 的中点， DEBC. 又DE 平面 A1CB，BC 平面 A1CB， DE平面 A1CB. (2)证明：由已知得 ACBC 且 DEBC，DEAC， DEA1D，DECD，A1DCDD， DE平面 A1DC，而 A1F 平面 A1DC， DEA1F. 又A1FCD，DECDD， A1F平面 BCDE，BE 平面 BCDE，A1FBE. (3)线段 A1B 上存在点 Q，使 A1C平面 DEQ. 理由如下： 如图，分别取 A1C，A1B 的中点 P，Q，则 PQBC. 又DEBC，DEPQ， 平面 DEQ 即为平面 DEP. 由(2)知，DE平面 A1DC，A1C 平面 A1DC， DEA1C. 又P 是等腰三角形 DA1C 底边 A1C 的中点， A1CDP.又 DEDPD，A1C平面 DEP. 从而 A1C平面 DEQ. 故线段 A1B 上存在点 Q(中点)，使得 A1C平面 DEQ. 10