《2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.2.1第1课时圆的标准方程学案苏教版必修2201707221104.wps》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.2.1第1课时圆的标准方程学案苏教版必修2201707221104.wps（7页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2 22.12.1 第 1 1 课时 圆的标准方程 1会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点(重点、难点) 2会根据已知条件求圆的标准方程(重点) 3能准确判断点与圆的位置关系(易错点) 基础初探 教材整理 1 圆的定义及标准方程 阅读教材 P107P108例 1，完成下列问题 1圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆其中定点是圆的圆心；定长是圆的半径 2圆的标准方程 圆 特殊情况 一般情况 圆心 (0,0) (a，b) 半径 r(r0) r(r0) 标准方程 x2y2r2 (xa)2(yb)2r2 备注 确定圆的标准方程的关键是确定圆心和半径 1圆(x2)2(y3)2
2、2 的圆心和半径分别是_ 【答案】 (2，3)， 2 2以原点为圆心，2 为半径的圆的标准方程是_ 【答案】 x2y24 3以原点为圆心，且过点(2,2)的圆的标准方程为_ 【解析】 由题意可设圆的标准方程为 x2y2r2，又(2,2)在圆上，故 2222r2，即 r2 8. 故所求圆的标准方程为 x2y28. 【答案】 x2y28 教材整理 2 点与圆的位置关系 阅读教材 P107P108，完成下列问题 1 设点 P到圆心的距离为 d，圆的半径为 r，则点与圆的位置关系对应如下： 位置关系 点在圆外 点在圆上 点在圆内 d与 r的大小关系 d r d r d r 1判断(“正确的打”，错误的
3、打“”) (1)方程(xa)2(yb)2m2一定表示圆() (2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径() (3)圆(x1)2(y2)24 的圆心坐标是(1,2)，半径是 4.() (4)点(0,0)在圆(x1)2(y2)21 上() 2若点 P(1， 3)在圆 x2y2m2上，则实数 m_. 【解析】 把点 P(1， 3)代入 x2y2m2，得 13m2，m2 或2. 【答案】 2 或2 小组合作型 求圆的标准方程 求下列各圆的标准方程 (1)圆心为点 C(8，3)，且经过点 P(5,1)； (2)以 P1(1,2)，P2(3,4)为直径的端点 (3)与 x轴相交于 A(1,0)，B(5,0)两
4、点且半径为 5. 【精彩点拨】 (1)(2)直接求出圆心半径代入求解；(3)设出圆的标准方程，由已知条件 列方程组求解 【自主解答】 (1)由题意可知，圆的半径 rPC 852 3125，所以圆 的标准方程为(x8)2(y3)225， (2)由题意可知，P1，P2的中点 P的坐标为(1,3) 又 P1P2 1322422 5， 1 所以圆的 半径为 P1P2 . 5 2 即所求圆的标准方程为(x1)2(y3)25. (3)法一：设圆的标准方程为(xa)2(yb)25. 因为点 A，B在圆上，所以可得到方程组： 2 Error!解得Error!或Error! 所以圆的标准方程是(x3)2(y1)
5、25 或(x3)2(y1)25. 法二：由于 A，B 两点在圆上，所以线段 AB 是圆的一条弦，根据平面几何知识，知这个圆 的圆心在线段 AB 的垂直平分线 x3 上，于是可以设圆心为 C(3，b)，又由 AC 5，得 312b2 5，解得 b1 或 b1， 所以圆的标准方程为(x3)2(y1)25 或(x3)2(y1)25. 求圆的标准方程的常用方法： (1)待定系数法(代数法)：设出圆的标准方程，方程中有三个未知数 a，b，r，根据题目条 件列出 a，b，r 的方程组求解，代数法体现了方程思想 (2)几何法：即利用圆的几何性质直接求出圆心和半径的方法，几何法体现了数形结合的 思想 再练一题
6、 1已知圆心为 C 的圆经过点 A(0,2)和 B(3,3)，且圆心 C 在直线 l：xy50 上求 圆 C 的标准方程. 【解】 法一：设圆的方程为(xa)2(yb)2r2， 则Error! 解得Error! 圆的标准方程为(x3)2(y2)225. 3 5 法二：因为 A(0,2)，B(3,3)，所以线段 AB 的中点坐标为( ， ，直线 AB 的斜率 kAB 2) 2 32 1 ， 30 3 5 3 故线段 AB 的垂直平分线方程是 y23(x2 )，即 3xy70. 由Error!得Error!所以圆心 C 的坐标为(3，2) 圆的半径 rAC 0322225， 所以圆 C 的标准方程
7、为(x3)2(y2)225. 圆的方程的实际应用 如图 221 所示是一座圆拱桥，当水面距拱顶 2 m 时，水面宽 12 m，当水面下 降 1 m 后，水面宽多少 m？(结果保留两位小数) 3 图 221 【精彩点拨】 由条件，此问题应首先建立坐标系，转化为求圆的方程，再利用条件求水 面宽度 【自主解答】 以拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y轴建立直角坐标系如图所示， 设圆拱所在圆的圆心为 C，水面所在弦的端点为 A，B，则 A(6，2) 设圆的方程为 x2(yr)2r2，将 A(6，2)代入方程，得 r10，圆的方程为 x2(y 10)2100，当水面下降 1 m 后，可设点 A(x0，
8、3)(x00)如图所示，将 A(x0，3)代 入圆的方程，求得 x0 51， 水面下降 1 m，水面宽为 2x02 5114.28(m) 本题考查应用坐标法研究与平面图形有关的实际问题，因此，要建立适当的坐标系，利用 圆的方程来解决一般思路是根据题设条件建立适当的直角坐标系，把实际问题转化为数学问 题，通过待定系数法设圆的方程进行求解 再练一题 2已知隧道的截面是半径为 4 m 的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为 3m， 高为 3.5 m 的货车能不能驶入这个隧道？ 【解】 如图，以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径 AB 所在的直线为 x 轴， 建立直角坐标系，那么半圆的方
9、程为 x2y216(y0)，将 x3 代入得 y 1632 7r2，点 A 在圆外 已知圆 C 的标准方程为(x5)2(y6)2a2(a0) (1)若点 M(6,9)在圆上，求半径 a； (2)若点 P(3,3)与 Q(5,3)有一点在圆内，另一点在圆外，求 a 的取值范围 【精彩点拨】 (1)点在圆上，满足圆的方程求得 a 值 (2)点在圆内(外)，则点与圆心的距离小于(大于)圆的半径，求 a 的范围 【自主解答】 (1)点 M(6,9)在圆上， (65)2(96)2a2，即 a210. 又 a0，a 10. (2)PC 352362 13， QC 5523623， PCQC，故点 P 在圆
10、外，点 Q 在圆内， 3a 13. 判断点与圆的三种位置关系有两种方法： (1)将所给的点 M 到圆心 C 的距离与半径 r 比较：若 CMr，则点 M 在圆上；若 CMr，则 点 M 在圆外；若 CMr，则点 M 在圆内 (2)可用圆的标准方程来确定 点 M(m，n)在圆 C 上 (ma)2(nb)2r2； 点 M(m，n)在圆 C 外 (ma)2(nb)2r2； 点 M(m，n)在圆 C 内 (ma)2(nb)2r2. 再练一题 3已知两点 M(3,8)和 N(5,2) (1)求以 MN 为直径的圆 C 的方程； 5 (2)试判断 P1(2,8)，P2(3,2)，P3(6,7)是在圆上，在
11、圆内，还是在圆外？ 35 82 【解】 (1)法一：设圆心 C(a，b)，半径 r，则由 C 为 MN 的中点得 a 4，b 2 2 5， 由两点间的距离公式得 rCM 432582 10. 所求圆的方程为(x4)2(y5)210. 法二：直径所对的圆周角是直角， 对于圆上除 M，N 外任意一点 P(x，y)，有 PMPN，即 kPMkPN1， y8 y2 1(x3 且 x5) x3 x5 化简得 x2y28x10y310， 即(x4)2(y5)210. 又M(3,8)，N(5,2)的坐标满足方程， 所求圆的方程为(x4)2(y5)210. (2)分别计算点到圆心的距离 CP1 422582
12、13 10， CP2 432522 10， CP3 462572 8 10 ， 因此，点 P2在圆上，点 P1在圆外，点 P3在圆内 1已知两圆 C1：(x5)2(y3)29 和 C2：(x2)2(y1)25，则两圆圆心间的距离 为_ 【解析】 C1(5,3)，C2(2，1)， |C1C2| 5223125. 【答案】 5 2已知圆的方程是(x2)2(y3)24，则点 P(3,2)与圆的位置关系是_ 【解析】 (32)2(23)224. P 点在圆内 【答案】 P 点在圆内 3圆心在第二象限，半径为 1，并且与 x，y 轴都相切的圆的方程为_. 【解析】 由条件知，|a|b|r1. 圆心在第二
13、象限，a1，b1， 6 所求的方程为(x1)2(y1)21. 【答案】 (x1)2(y1)21 4与圆(x2)2(y3)216同圆心且过点 P(1,1)的圆的方程是_ 【解析】 由题意，设所求圆的方程为(x2)2(y3)2r2，则 有(12)2(13)2r2， 即 r225，故所求圆的方程为(x2)2(y3)225. 【答案】 (x2)2(y3)225 5已知直线 l 与圆 C 相交于点 P(1,0)和点 Q(0,1) (1)求圆心所在的直线方程； (2)若圆 C 的半径为 1，求圆 C 的方程 1 1 【解】 (1)PQ 中点 M( 2 )，kPQ1， ， 2 所以圆心所在的直线方程为 yx. (2)由条件设圆的方程为： (xa)2(yb)21， 由圆过 P，Q 点得Error! 解得Error!或Error! 所以圆 C 的方程为：x2y21 或(x1)2(y1)21. 7