2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.2.3圆与圆的位置关系学案苏教版必修2201707221101.wps

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1、2.2.32.2.3 圆与圆的位置关系 1能根据两个圆的方程,判断两圆的位置关系(重点) 2当两个圆有公共点时能求出它们的公共点,能运用两圆的位置关系解决有关问题(易 错点) 3了解两圆相交时公共弦所在直线的求法;了解两圆公切线的概念,会判断所给直线是 不是两圆的公切线(难点) 基础初探 教材整理 圆与圆的位置关系 阅读教材 P115,完成下列问题 1几何法:若两圆的半径分别为 r1,r2,两圆的圆心距为 d,则两圆的位置关系的判断方 法如下: 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与 r1,r2 的关系 dr1r2 dr1r2 |r1r2|0) 试求 a 为何值时两圆 C1,C2(

2、1)相切;(2)相交;(3)相离;(4)内含 【解】 对圆 C1,C2的方程,经配方后可得: C1:(xa)2(y1)216, C2:(x2a)2(y1)21, 圆心 C1(a,1),r14,C2(2a,1),r21, |C1C2| a2a2112a, (1)当|C1C2|r1r25,即 a5 时,两圆外切, 当|C1C2|r1r23,即 a3 时,两圆内切 (2)当 35,即 a5时, 两圆外离 (4)当|C1C2|0)和 C2:(x2)2y21,那么 a 取何值时 C1与 C2相 外切? 【提示】 由|C1C2|a1,得 a12,a1. 探究 2 若将探究 1 中,C2的方程改为(x2)2

3、y2r2(r0),那么 a 与 r 满足什么条件时 两圆相切? 【提示】 若两圆外切,则 ar|C1C2|2,即 ar2 时外切若两圆内切,则|ra| |C1C2|2. ra2 或 ar2. 已知圆 C1:x2y24x4y50 与圆 C2:x2y28x4y70. (1)证明:圆 C1与圆 C2相切,并求过切点的公切线的方程; (2)求过点(2,3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程 【精彩点拨】 (1)证明|C1C2|r1r2,两圆方程相减得公切线方程 4 (2)由圆系方程设圆的方程,将已知点代入 【自主解答】 (1)把圆 C1与圆 C2都化为标准方程形式, 得(x2)2(y2)213,(x

4、4)2(y2)213; 圆心与半径长分别为 C1(2,2),r1 13;C2(4,2),r2 13, 因为|C1C2| 422 2222 13r1r2,所以圆 C1与圆 C2相切 由Error! 得 12x8y120, 即 3x2y30,这就是过切点的两圆公切线的方程 (2)由圆系方程,可设所求圆的方程为 x2y24x4y5(3x2y3)0. 4 点(2,3)在此圆上,将点坐标代入方程解得 . 3 所以所求圆的方程为 4 x2y24x4y5 (3x2y3)0, 3 20 即 x2y28x y90. 3 两圆相切有如下性质: (1)设两圆的圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2,则两圆相

5、切 Error! (2)两圆相切时,两圆圆心的连线过切点(两圆若相交时,两圆圆心的连线垂直平分公共弦) 在解题过程中应用这些性质,有时能大大简化运算 再练一题 3求与圆 C:x2y22x0 外切且与直线 l:x 3y0 相切于点 M(3, 3)的圆的方 程 【解】 圆 C 的方程可化为(x1)2y21, 圆心 C(1,0),半径为 1. 设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0), 由题意可知Error!解得Error! 所以所求圆的方程为(x4)2y24. 5 1圆(x2)2y24 与圆(x2)2(y1)29 的位置关系为_ 【解析】 两圆圆心分别为(2,0),(2,1),半径分别为

6、2 和 3,圆心距 d 421 17.32r1r2134,即 m020124,解得 m 15 或 m 15. 【答案】 ( , 15)( 15, ) 3半径长为 6 的圆与 x 轴相切,且与圆 x2(y3)21 内切,则此圆的方程为_ 【解析】 设圆心坐标为(a,b),由题意知 b6, a2325,可以解得 a4,故所求 圆的方程为(x4)2(y6)236. 【答案】 (x4)2(y6)236 4圆 x2y22x50 和圆 x2y22x4y40 的交点为 A,B,则线段 AB 的垂直平 分线方程为_. 【解析】 直线 AB 的方程为:4x4y10,因此它的垂直平分线斜率为1,过圆心 (1,0)

7、,方程为 y(x1),即 xy10. 【答案】 xy10 5已知圆 C1:x2y22mx4ym250,圆 C2:x2y22x2mym230,m 为何 值时, (1)圆 C1与圆 C2外切; (2)圆 C1与圆 C2内含 【解】 将圆 C1,圆 C2化为标准形式得 C1:(xm)2(y2)29,C2:(x1)2(ym)24. 则 C1(m, 2), C2( 1, m), r1 3, r2 2, C1C2 m12m22 2m26m5. (1)当圆 C1与圆 C2外切时, 有 r1r2C1C2, 则 2m26m55,解得 m5 或 2,即当 m5 或 2 时,两圆外切 (2)当圆 C1与圆 C2内含时, C1C2r1r2, 6 2m26m51,即 m23m20. f(m)m23m2 的图象与横坐标轴的交点是(2,0),(1,0), 由 m23m20,可得2m1,即当2m1 时,两圆内含 7

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