《2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.2.1第2课时圆的一般方程学案苏教版必修2201707221103.wps》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.2.1第2课时圆的一般方程学案苏教版必修2201707221103.wps（10页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2.2.12.2.1 第 2 2 课时 圆的一般方程 1了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径(易错点) 2会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题(重点、难点) 基础初探 教材整理 圆的一般方程的定义 阅读教材 P109，完成下列问题 1圆的一般方程的定义 (1)当 D2 E2 4 F 0 时，方程 x2y2DxEyF0 叫做圆的一般方程，其圆心为 D E 1 ( 2) ， ，半径为 D2E24F. 2 2 D E (2)当 D2E24F0 时，方程 x2y2DxEyF0 表示点( 2). ， 2 (3)当 D2 E2 4 F 0)，则其位置关系如下表： 位置
2、关系 代数关系 点 M 在圆外 x20y20Dx0Ey0F0 点 M 在圆上 x20y20Dx0Ey0F0 点 M 在圆内 x20y20Dx0Ey0F0.() 2圆 x2y22x4y30 化为标准形式为_ 【解析】 由 x2y22x4y30，得(x1)2(y2)22. 1 故圆的标准形式为(x1)2(y2)22. 【答案】 (x1)2(y2)22 3方程 x2y24x2y5m0 表示圆的条件是_ 【解析】 由题意可知，16(2)220m0，解得 m1. 【答案】 ( ，1) 小组合作型 二元二次方程的曲线与圆的关系 下列方程能否表示圆？若能，求出圆心坐标和半径 (1)2x2y27x50； (2
3、)x22xyy26x7y0； (3)x2y22x4y100； (4)2x22y24y0； (5)ax2ay24(a1)x4y0(a0) 【精彩点拨】 根据二元二次方程表示圆的条件判断 【自主解答】 (1)AB，不能表示圆 (2)xy 前的系数不等于 0，不能表示圆 (3)D2E24F(2)2(4)24100，原方程表示圆， a2 2a1 2 此时圆心坐标为( ， ，a) a 2 a22a2 半径 r . |a| 2 法二：a0，原方程可化为 4a1 4 x2y2 x y0. a a 16a12 16 D2E24F a2 a2 16a1216 0， a2 原方程表示圆， 2a1 2 此时圆心坐标
4、为( ， ，a) a 2 a22a2 半径 r . |a| 形如 x2y2DxEyF0 的二元二次方程，判定其是否表示圆时有如下两种方法： (1)由圆的一般方程的定义判断 D2E24F 是否为正若 D2E24F0，则方程表示圆， 否则不表示圆 (2)将方程配方变形成“标准”形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆 再练一题 1讨论方程 x2y22ay10(aR R)表示曲线的形状 【解】 当 a1 时，此方程表示的曲线是圆心为(0，a)，半径为 a21 的圆； 当 a1 时，此方程表示的曲线是一个点，坐标为(0，a)； 当10) 此圆过 A，B，C 三点， Error! 3 解得Er
5、ror! 圆的方程为 x2y24x4y20. 法二：设圆的方程为(xa)2(yb)2r2， 则Error! ，得Error! 解得 a2，b2. r210. 圆的方程为(x2)2(y2)210. 即圆的一般式方程为 x2y24x4y20. 1 法三： AB 的中垂线方程为 y1 (x0)， 2 1 BC 的中垂线方程为 y2 (x2)， 3 联立解得圆心坐标为(2,2) 设圆的半径为 r，则 r2(12)2(32)210， 圆的方程为(x2)2(y2)210， 即圆的一般式方程为 x2y24x4y20. 13 53 1 法四：由于 kAB 2，kAC ， 11 31 2 kABkAC1，ABA
6、C， ABC 是以A 为直角的直角三角形， 外接圆圆心为 BC 的中点，即(2,2)， 1 半径 r |BC| 10， 2 圆的方程为(x2)2(y2)210. 即圆的一般式方程为 x2y24x4y20. (2)M(1,2)， 12224142210， 点 N(4,5)在圆外 Q(2,3)， 22324243270， 点 Q(2,3)在圆外 4 本题法一、法二中采用了待定系数法用待定系数法求圆的方程时： (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题， 一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出 a，b，r. (2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系，一般采用圆
7、的一般方程，再用待定系数法 求出常数 D，E，F. 法三则是充分利用了圆的性质：“弦的中垂线过圆心”通过求两条弦的中垂线的交点求 出圆心，再求出半径后写出圆的标准方程，再将标准方程化成一般方程圆的标准方程和一般 方程有如下关系： (1)由圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，可以直接看出圆心坐标(a，b)和半径 r，圆的 几何特征明显 (2)由圆的一般方程 x2y2DxEyF0(D2E24F0)，知道圆的方程是一种特殊的二 元二次方程，圆的代数特征明显 (3) 再练一题 2已知圆 C：x2y2DxEy30，圆心在直线 xy10 上，且圆心在第二象限， 半径为 2，求圆的一般方程 D E 【解】
8、 圆心 C( 2)， ， 2 圆心在直线 xy10 上， D E 10，即 DE2， 2 2 D2E212 又 r 2， 2 D2E220， 由可得Error!或Error! D 又圆心在第 二象限， 0， 2 Error! 圆的方程为 x2y22x4y30. 探究共研型 5 轨迹问题 探究 1 若|AB|2，C 为 AB 的中点，动点 P 满足|PC|2，那么 P 点轨迹是什么曲线？求 出曲线方程？ 【提示】 以 AB 所在直线为 x 轴，以 C 为原点建立直角坐标系，则 C(0,0)，P 点的轨迹 是以 C 为圆心，半径为 2 的圆的方程为 x2y24. 探究 2 已知一条曲线在 x 轴的
9、上方，它上面的每一点到点 A(0,2)的距离都是 2，求这条 曲线的方程，并说明是什么曲线 【提示】 设点 M(x，y)是曲线上任意一点，根据题意，有： x2y222. 两边平方，得 x2(y2)24. 因为曲线在 x 轴上方，y0， 所以曲线方程应是 x2(y2)24(y0) 曲线是圆心为(0,2)，半径为 2 的圆在 x 轴上方的部分 (1)点 P(4，2)与圆 x2y24 上任一点连线的中点轨迹方程是_ (2)已知点 A(3,0)，B(3,0)，动点 P 满足 PA2PB.若点 P 的轨迹为曲线 C，则此曲线的 方程为_. 【精彩点拨】 (1)设出中点坐标和圆上点的坐标，用圆上点的坐标表
10、示中点坐标，再代 入圆的方程，化简即可(2)设出点 P 的坐标，利用 PA2PB 得点 P 坐标的关系，化简即可 【自主解答】 (1)设圆上任意一点为(x1，y1)，它与点 P 连线的中点坐标为(x，y)， x14 y12 则 x ，y ， 2 2 所以 x12x4，y12y2， 又(x1，y1)在圆 x2y24 上， 所以(2x4)2(2y2)24， 即(x2)2(y1)21. (2)设点 P 的坐标为(x，y)，则 x32y22 x32y2. 化简可得(x5)2y216，此即为所求 【答案】 (1)(x2)2(y1)21 (2)(x5)2y216 求与圆有关的轨迹问题常用的方法 1直接法：
11、根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点 坐标所满足的关系式如上例(2) 2定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程 3相关点法：若动点 P(x，y)随着圆上的另一动点 Q(x1，y1)的运动而运动，且 x1，y1可 6 用 x，y 表示，则可将 Q 点的坐标代入已知圆的方程，即得动点 P 的轨迹方程如上例(1) 再练一题 3已知圆的方程为 x2y26x6y140，求过点 A(3，5)的直线交圆的弦 PQ 的中 点 M 的轨迹方程 【解】 设所求轨迹上任一点 M(x，y)，圆的方程可化为(x3)2(y3)24，圆心 C(3,3) CMAM，k
12、CMkAM1， y3 y5 即 1， x3 x3 即 x2(y1)225. 所求轨迹方程为 x2(y1)225(已知圆内的部分) 1圆 x2y24x6y0 的圆心坐标是_ 【答案】 (2，3) 2经过三点 A(1，1)，B(1,4)，C(4，2)的圆的方程为_ 【解析】 设圆的一般方程为 x2y2DxEyF0.将 A，B，C 三点代入，整理得方程 组 Error! 解得Error! 所求圆的方程为 x2y27x3y20. 【答案】 x2y27x3y20 3方程 x2y22ax2bya2b20 表示的图形为_. 【解析】 原方程可化为：(xa)2(yb)20.所以它表示点(a，b) 【答案】 (
13、a，b) 4圆 C：x2y22x4y40 的圆心到直线 3x4y40 的距离 d_. |3 14 24| 【解析】 圆心(1,2)到直线 3x4y40 的距离为 3. 5 【答案】 3 5等腰三角形的顶点是 A(4,2)，底边一个端点是 B(3,5)，求另一个端点 C 的轨迹方程， 7 并说明它的轨迹是什么？ 【解】 设另一端点 C 的坐标为(x，y)，依题意，得 ACAB.由两点间距离公式，得 x42y22 432252，整理得(x4)2(y2)210. 这是以点 A(4,2)为圆心，以 10为半径的圆，如图所示，又因为 A，B，C 为三角形的三个 顶点，所以 A，B，C 三点不共线即点 B，C 不能重合且 B，C 不能为圆 A 的一直径的两个端点 因为点 B，C 不能重合，所以点 C 不能为(3,5) 又因为点 B，C 不能为一直径的两个端点， x3 y5 所以 4，且 2，即点 C 不能为(5，1) 2 2 故端点 C 的轨迹方程是(x4)2(y2)210(除去点(3,5)和(5，1)，它的轨迹是以点 A(4,2)为圆心， 10 为半径的圆，但除去(3,5)和(5，1)两点 8