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一、可积的必要条件,二、可积的充要条件,三 可积条件,三、可积函数类,一、 可积的必要条件,定理9.2 若函数,在,上可积，则,在,上必定有界。,证：（用反证法）。,在,上无界，则对于,的任一分割T，必存在属于T的某个小区间,在,上无界，,在,的各个小区间,上任意取定,并记,若,，使得：,现对任意大的正数M，由于,在,上无界，故存在,于是有：,这与,在,上可积相矛盾，从而定理得证。,注：任何可积函数一定是有界的，但有界函数却不一定可积。,例1 证明狄理克雷函数,在,上有界但不可积。,证,显然,对于,的任一分割,，由有理数和无理数在实数中,的稠密性，在属于,的任一小区间,当取,全为有理数时，,当取,全为无理数时，,所以无论,多么小，,只要点集,取法不同，,全取有理数或全取无理数，,积分和有不同极限，,即,在,不可积,二 可积的的充要条件,任给,显然有,Riemann可积的第一充要条件,f(x)在a,b上Riemann可积,其中：,Riemann可积的第二充要条件,f(x)在a,b上Riemann可积,其中：,Riemann可积的第三充要条件,f(x)在a,b上Riemann可积,注：连续函数、只有有限个间断点的有界函数和闭区间上的单调函数Riemann可积,三、可积函数类,