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1、,3.4 向量组的极大线性无关组,一、极大线性无关组的概念,上一节讨论了向量组的线性相关与线性无关的概念，其,中线性无关也称为线性独立。,系数及右端项构成行向量，则线性相关与线性无关的概念实,反映了线性方程组中各个方程是否关联或是否独立。,本节将讨论如果一个给定的向量组线性相关，那么，,(1) 该向量组中到底有多少个向量是独立的？,(2) 具体哪些向量是独立的？,(3) 其余的向量是如何由这些独立向量组合出来的？,如果以线性方程组中各方程的,一、极大线性无关组的概念,定义,如果向量组 中的一个部分组,满足:,(1) 线性无关；,(2) 向量组 中的每一个向量都可由,线性表示，,(即在 中再加一
2、个向量就相关.),则称 为 的(一个)极大线性,无关组。,则 是一个极大线性无关组；,等都是极大线性无关组。,由此可见，一个向量组的极大线性无关组不是惟一的。,需要讨论的问题,(1) 一个向量组中各极大线性无关组的向量个数是否惟一？,(2) 如何求出向量组的一个极大线性无关组？,如何将其余的向量表示为极大线性无关组的线性组合？,设有两个向量组,1. 向量组之间的线性表示,定义,若向量组()中的每个向量都能由向量组(I)线性表示，,则称向量组()能由向量组(I)线性表示。,二、向量组的秩,若记,即有,其中 n 为向量的维数。,则所谓的向量组()能由向量组(I)线性表示意味着,1. 向量组之间的线
3、性表示,二、向量组的秩,1. 向量组之间的线性表示,二、向量组的秩,则有,1. 向量组之间的线性表示,定理,设向量组 可由 线性表示，,二、向量组的秩,换句话说，若 线性无关，则,上述定理的直观解释,（仅以 为例）,(1) 设由两个向量 构成的向量组，通过线性组合得到,三个向量,显然，即使 是线性独立的，也不可能线性组合出,三个性线独立的向量；,更何况 本身可能是,线性相关的。,因此，向量组 必然是线性相关的。,(2) 特别地，若 “代表” 某方程组中的两个方程，,显然，通过线性组合不可能得到更多的独立方程。,1. 向量组之间的线性表示,2. 向量组之间的等价,定义,若向量组 与向量组 能够相
4、互,线性表示 ，,此时, 若记,其中 n 为向量的维数。,则存在矩阵 和 使得,二、向量组的秩,则称这两个向量组等价。,1. 向量组之间的线性表示,二、向量组的秩,性质,(1) 反身性，,(2) 对称性，,(3) 传递性，,即向量组自己与自己等价；,2. 向量组之间的等价,1. 向量组之间的线性表示,二、向量组的秩,定理,两个等价的向量组中各自的极大线性无关组所含的向量,2. 向量组之间的等价,个数相等。,证明,1. 向量组之间的线性表示,二、向量组的秩,定理,两个等价的向量组中各自的极大线性无关组所含的向量,2. 向量组之间的等价,个数相等。,证明,即 可由 线性表示，,因此,同理,即得,且
5、 线性无关，,1. 向量组之间的线性表示,二、向量组的秩,推论,(1) 若两个线性无关的向量组等价，则它们所含的向量,2. 向量组之间的等价,个数相等。,(2) 在一个给定的向量组中，各个极大线性无关组所含,的向量个数相等。,组的向量个数是惟一的。,即一个向量组中各极大线性无关,1. 向量组之间的线性表示,2. 向量组之间的等价,二、向量组的秩,定义,一个向量组中的极大线性无关组所含的向量个数称为,3. 向量组的秩,向量组的秩。,1. 向量组之间的线性表示,2. 向量组之间的等价,3. 向量组的秩,二、向量组的秩,4. 向量组的秩与矩阵秩的关系,4. 向量组的秩与矩阵秩的关系,二、向量组的秩,
6、通常说，矩阵的秩等于行秩等于列秩,此定理给出了一种求向量组的秩的方法。,证明,(1) 首先证明一个引理：,其中,可逆矩阵 P 和 使得,事实上，对于矩阵,下面利用反证法证明,一定存在,假设 则有,0,由 Q 可逆，有 不全为零，,这与 线性无关矛盾，因此引理成立。,证明,(1) 首先证明一个引理：,可逆矩阵 P 和 使得,若列向量 线性无关，,则存在,0,0,证明,它的一个极大线性无关组为,则存在可逆,0,(2) 设由矩阵 A 的列构成的向量组 的秩为 s，,对矩阵 根据引理一定存在可逆阵 和 使得,矩阵 R，使得,即得,的秩 .,进一步有,的秩 .,4. 向量组的秩与矩阵秩的关系,二、向量组
7、的秩,推论,设 A 为 mn 阶矩阵，且 则有,(1) 当 r = m 时，A 的行向量线性无关，,当 r m 时，A 的行向量线性相关；,(2) 当 r = n 时，A 的列向量线性无关，,当 r n 时，A 的列向量线性相关；,特别地，方阵 A 的行(列)向量线性无关的充要条件,是,三、如何求向量组的极大无关组及线性组合关系,首先介绍几个引例，用来掌握在什么情况下，可以非常,容易地知道一个列向量组的秩、极大线性无关组以及它,们之间的线性组合关系。,引例1,(1) 向量组的秩为 2;,(2) 极大线性无关组为,(3) 组合关系,引例2,(1) 向量组的秩为 2;,(2) 极大线性无关组为,(
8、3) 组合关系,(1) 向量组的秩为 3;,(2) 极大线性无关组为,引例3,(3) 组合关系,三、如何求向量组的极大无关组及线性组合关系,1. 原理,矩阵 B 的列向量有相同的线性组合关系。,则存在可逆矩阵 P，使得,即方程 与 同解，,故 与 有相同的线性组合关系。,则矩阵 A 的列向量与,三、如何求向量组的极大无关组及线性组合关系,1. 原理,2. 方法,(1) 无论所给的向量组是行向量还是列向量，都按照列向量,排列，并构成矩阵 A ；,(2) 对矩阵 A 进行初等行变换得到行标准形矩阵 B ；,(3) 根据矩阵 B 的秩及其列向量的线性组合关系，直接得出,原向量组的秩、极大线性无关组以及线性组合关系。,解,(1) 向量组的秩为 2;,(2) 极大线性无关组为,(3) 线性组合关系为,解,由于极大线性无关组是不惟一的，因此可以根据要求选择,不同的极大线性无关组，,(1) 向量组的秩为 2;,(2) 极大线性无关组为,(3) 线性组合关系为,行变换，,此时只需按要求对矩阵继续进行,比如：,极大线性无关组为,线性组合关系为,第一种选择,第二种选择,极大线性无关组为,线性组合关系为,