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1、4.2 向量组的线性相关性,上页,下页,铃,结束,返回,补充例题,首页,向量组的线性相关与线性无关 给定向量组A a1 a2 am 如果存在不全为零的数k1 k2 km 使 k1a1k2a2 kmam0 则称向量组A是线性相关的 否则称它线性无关,向量组的线性相关与线性无关 给定向量组A a1 a2 am 如果存在不全为零的数k1 k2 km 使 k1a1k2a2 kmam0 则称向量组A是线性相关的 否则称它线性无关,显然有 (1)含零向量的向量组必线性相关 (2)一个向量a线性相关 a0 (3)两个非零向量a1 a2线性相关 a1ka2(即对应分量成比例),向量组a1 a2线性相关的几何意
2、义是这两个向量共线,下页,向量组的线性相关与线性无关 给定向量组A a1 a2 am 如果存在不全为零的数k1 k2 km 使 k1a1k2a2 kmam0 则称向量组A是线性相关的 否则称它线性无关,向量组A a1 a2 am(m2)线性相关 也就是在向量组A中至少有一个向量能由其余m1个向量线性表示,这是因为,如果向量组A线性相关 则有 k1a1k2a2 kmam0 其中k1 k2 km不全为0 不妨设k10 于是 a1(1/k1)(k2a2 kmam) 即a1能由a2 am线性表示,下页,向量组的线性相关与线性无关 给定向量组A a1 a2 am 如果存在不全为零的数k1 k2 km 使
3、 k1a1k2a2 kmam0 则称向量组A是线性相关的 否则称它线性无关,向量组A a1 a2 am(m2)线性相关 也就是在向量组A中至少有一个向量能由其余m1个向量线性表示,这是因为,如果向量组A中有某个向量(不妨设am)能由其余m1个向量线性表示 即有1 2 m1 使 am1a12a2 m1am1 于是 1a12a2 m1am1(1)am0 因为1 2 m1 1不全为0 所以向量组A线性相关,下页,向量组的线性相关与线性无关 给定向量组A a1 a2 am 如果存在不全为零的数k1 k2 km 使 k1a1k2a2 kmam0 则称向量组A是线性相关的 否则称它线性无关,定理1 向量组
4、a1 a2 am线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A(a1 a2 am)的秩小于向量个数m 向量组线性无关的充分必要条件是R(A)m,这是因为 向量组A a1 a2 am线性相关 x1a1x2a2 xmam0即Ax0有非零解 R(A)m,下页,n维单位坐标向量组构成的矩阵为 E(e1 e2 en) 是n阶单位矩阵 由|E|10 知R(E)n 即R(E)等于向量组中向量个数 所以此向量组是线性无关的,例1 试讨论n维单位坐标向量组的线性相关性,解,向量组a1 a2 am线性无关R(a1 a2 am)m,下页,提示,例2 已知 a1(1 1 1)T a2(0 2 5)T a3(2 4 7)T
5、试讨论向量组a1 a2 a3及向量组a1 a2的线性相关性,对矩阵(a1 a2 a3)施行初等行变换变成行阶梯形矩阵 即可同时看出矩阵(a1 a2 a3)及(a1 a2)的秩,解,n维单位坐标向量组e1 e2 en是线性无关的,对矩阵(a1 a2 a3)施行初等行变换变成行阶梯形矩阵,向量组a1 a2 am线性无关R(a1 a2 am)m,下页,可见R(a1 a2 a3)2 R(a1 a2)2 故向量组a1 a2 a3线性相关 向量组a1 a2线性无关,例2 已知 a1(1 1 1)T a2(0 2 5)T a3(2 4 7)T 试讨论向量组a1 a2 a3及向量组a1 a2的线性相关性,解,
6、n维单位坐标向量组e1 e2 en是线性无关的,对矩阵(a1 a2 a3)施行初等行变换变成行阶梯形矩阵,向量组a1 a2 am线性无关R(a1 a2 am)m,下页,设有x1 x2 x3使 x1b1x2b2x3b30 即 x1(a1a2)x2(a2a3)x3(a3a1)0 亦即 (x1x3)a1(x1x2)a2(x2x3)a30 因为a1 a2 a3线性无关 故有,例3 已知向量组a1 a2 a3线性无关 b1a1a2 b2a2a3 b3a3a1 试证向量组b1 b2 b3线性无关,证法一,由于此方程组的系数行列式,故方程组只有零解 x1x2x30 所以向量组b1 b2 b3线性无关,下页,
7、把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式,例3 已知向量组a1 a2 a3线性无关 b1a1a2 b2a2a3 b3a3a1 试证向量组b1 b2 b3线性无关,证法二,因为矩阵A的列向量组线性无关 所以可推知Kx0 又因|K|20 知方程Kx0只有零解x0 所以矩阵B的列向量组b1 b2 b3线性无关,记作BAK,设Bx0,以BAK代入得A(Kx)0,下页,例3 已知向量组a1 a2 a3线性无关 b1a1a2 b2a2a3 b3a3a1 试证向量组b1 b2 b3线性无关,证法三,因为A的列向量组线性无关 所以R(A)3 从而R(B)3 因此b1 b2 b3线性无关,因为|K|20 知K可逆,
8、所以R(B)R(A),把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式,记作BAK,下页,定理2 (1)若向量组A a1 a2 am线性相关 则向量组B a1 a2 am am1也线性相关 反之 若向量组B线性无关 则向量组A也线性无关,这是因为 记A(a1 a2 am) B( a1 a2 am am1) 有 R(B)R(A)1 若向量组A线性相关 则有R(A)m 从而 R(B)R(A)1m1 因此向量组B线性相关,下页,定理2 (1)若向量组A a1 a2 am线性相关 则向量组B a1 a2 am am1也线性相关 反之 若向量组B线性无关 则向量组A也线性无关,这个结论可一般地叙述为 一个向量组若有
9、线性相关的部分组 则该向量组线性相关 一个向量组若线性无关 则它的任何部分组都线性无关,特别地 含零向量的向量组必线性相关,下页,定理2 (1)若向量组A a1 a2 am线性相关 则向量组B a1 a2 am am1也线性相关 反之 若向量组B线性无关 则向量组A也线性无关,(2)m个n维向量组成的向量组 当维数n小于向量个数m时一定线性相关 特别地 n1个n维向量一定线性相关,这是因为 m个n维向量a1 a2 am构成矩阵 Anm(a1 a2 am) 有R(A)n,若nm 则R(A)nm,故m个向量a1 a2 am线性相关,下页,定理2 (1)若向量组A a1 a2 am线性相关 则向量组
10、B a1 a2 am am1也线性相关 反之 若向量组B线性无关 则向量组A也线性无关,(2)m个n维向量组成的向量组 当维数n小于向量个数m时一定线性相关 特别地 n1个n维向量一定线性相关,(3)设向量组A a1 a2 am线性无关 而向量组B a1 a2 am b线性相关 则向量b必能由向量组A线性表示 且表示式是唯一的,这是因为 记A(a1 a2 am) B( a1 a2 am b) 有,即向量b能由向量组A线性表示 且表示式唯一,有唯一解,(a1 a2 am)xb,因此方程组,即有R(B)R(A)m,mR(A)R(B)m1,下页,(2)用反证法 假设a4能由a1 a2 a3线性表示 而由(1)知a1能由a2 a3线性表示,例4 设向量组a1 a2 a3线性相关 向量组a2 a3 a4线性无关 证明 (1) a1能由a2 a3线性表示 (2) a4不能由a1 a2 a3线性表示,(1)因为a2 a3 a4线性无关 所以a2 a3也线性无关,证明,因此a4能由a2 a3线性表示 这与a2 a3 a4线性无关矛盾,又a1 a2 a3线性相关 所以a1能由a2 a3线性表示,结束,