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1、第四章 向量组的线性相关性,n元非齐次线性方程组,n元齐次线性方程组,知识回顾,第一节 向量组及其线性组合,一、n 维向量的概念 二、向量空间 三、向量组与矩阵 四、向量的线性组合和线性表示,4.1 向量组及其线性组合,一、n 维向量的概念,定义1: n 个有次序的数a1, a2, , an所组成的数组称为n维向量, 这n个数称为该向量的n个分量, 第 i 个数ai 称为第 i 个分量. 分量全为实数的向量称为实向量, 分量为复数的向量称为复向量.,例如: (1, 2, , n)为 n 维实向量. (1+2i, 2+3i, , n+(n+1)i )为 n 维复向量.,写成一行的 n 维向量,
2、称为行向量, 也就是行矩阵,通常用aT, bT, T, T 等表示, 如:,写成一列的 n 维向量, 称为列向量, 也就是列矩阵,通常用a, b, , 等表示, 如:,注意:,1. 行向量和列向量总被看作是不同的向量; 2. 行向量和列向量都按照矩阵运算法则进行运算; 3. 当没有明确说明是行向量还是列向量时, 都当作列向量.,二、向量空间,向 量,解析几何,线性代数,既有大小又有方向的量,有次序的实数组成的数组,几何形象:可随意平 行移动的有向线段,代数形象:向量 的坐标表示式,坐标系,当 n 3 时,空 间,解析几何,线性代数,点空间:点的集合,向量空间:向量的集合,坐标系,代数形象:向量
3、 空间中的平面,几何形象:空间 曲线、空间曲面,一一对应,点(x, y, z)的集合平面,向量(x, y, z)T的集合,当 n 3 时, 向量不再有“几何”意义, 仍沿用几何空间的名词. 但其意义更为广泛.,叫做n 维向量空间.,叫做n维向量空间Rn中的n1维超平面.,例如: 在描述一空间运动物体时, 不仅与所处的空间位置(x, y, z)有关, 还与时间 t 有关, 这就是四维时空空间, 用向量表示为(x, y, z, t ).,机身的仰角,机身的水平转角 (0 2);,机翼的转角 (-);,例如:确定飞机的状态, 需要以下6个参数:,飞机重心在空间的位置参数 P(x, y, z).,所以
4、确定飞机的状态需用6维向量(x, y, z, , , )表示.,在日常工作, 学习和生活中, 有许多问题都需要用向量来进行描述.,三、向量组与矩阵,若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组.,例如: 矩阵A=(aij)mn有n个m维列向量:,向量组a1, a2, an称为矩阵A的列向量组.,向量组1T, 2T, mT 称为矩阵A的行向量组.,反之, 由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.,类似地, 矩阵A=(aij)mn有m个n 维行向量:,所组成的向量组1T, 2T, mT 构成一个mn矩阵,所组成的向量组a1, a2, an构成一个mn矩阵,n个m维列向量,m个
5、n维行向量,线性方程组的向量表示,方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应.,四、线性组合与线性表示,定义2: 给定向量组A: 1, 2, , m, 对于任何一组实数k1, k2, ,km, 向量 k11 + k22 + + kmm 称为向量组A: 1, 2, m的一个线性组合, k1, k2, , km称为这个线性组合的系数.,线性表示：给定向量组A: 1, 2, , m和向量b, 如果存在一组数1, 2, ,m, 使 b = 11 + 22 + + mm 则向量b是向量组A的线性组合, 这时称向量b能由向量组A线性表示.,即线性方程组 11 + 22 + + mm = b 有解,定理1: 向
6、量b能由向量组A: 1, 2, , m线性表示的充分必要条件是矩阵A=(1, 2, , m)与矩阵B=(1, 2, , m, b)的秩相等.,由上章定理5,定义3: 设有两向量组 A: 1, 2, , m 与 B: 1, 2, , s . 若B组中的每一个向量都能由A组线性表示, 则称向量组B能由向量组A线性表示; 若向量组B与向量组A可以相互线性表示, 则称这两个向量组等价.,若记A=(1, 2, , m)和B=(1, 2, , s), 向量组B能由向量组A线性表示, 即对每一个向量j ( j =1, 2, s ), 存在数k1j, k2j, , kmj , 使 j = k1j 1+ k2j
7、 2 + + kmj m,即,从而,这里，矩阵K=(kij)ms称为这一线性表示的系数矩阵.,若Cmn=AmsBsn , 则矩阵C的列向量组能由矩阵A的列向量组线性表示, B为这一表示的系数矩阵:,同时,若Cmn=AmsBsn ，则C的行向量组能由B的行向量组线性表示, A为这一表示的系数矩阵:,设矩阵A经初等行变换变成B, 则B的每个行向量都是A的行向量组的线性组合, 即B的行向量组能由A的行向量组线性表示. 由初等变换可逆性可知: A的行向量组也能由B的行向量组线性表示. 于是, A的行向量组与B的行向量组等价. 类似地, 若矩阵A经初等列变换变成B, 则A的列向量组与B的列向量组等价.,
8、1. 对方程组A的各个方程作线性运算所得到的一个方程称为方程组A的一个线性组合; 2. 若方程组B的每一个方程都是方程组A的线性组合, 则称方程组B能由方程组A线性表示, 此时方程组A的解一定是方程组B的解; 3. 若方程组A与方程组B能相互线性表示, 则称方程组A与方程组B可互推, 等价方程组是同解的.,向量组的线性组合, 线性表示, 等价等概念的一个重要应用是用来描述线性方程组:,也就是说矩阵方程 (1, 2, , m)X=(1, 2, , s) 有解.,则由上一章的定理6可得:,若向量组B: 1, 2, , s能由向量组A: 1, 2, , m线性表示, 即存在矩阵K, 使 (1, 2,
9、 , s)=(1, 2, , m)K,注：第三章定理6 矩阵方程AX=B有解的充要条件是R(A)=R(A,B),定理2: 向量组B: 1, 2, , s能由向量组A: 1, 2, , m线性表示的充分必要条件是矩阵A=(1, 2, , m)的秩与矩阵(A,B)=(1, 2, , m, 1, , s)的秩相等, 即R(A)=R(A,B).,推论: 向量组A: 1, 2, m与向量组B: 1, 2, , s等价的充分必要条件是 R(A)=R(B)=R(A,B), 其中A和B是由向量组A和B所构成的矩阵.,R(A)=R(A,B),事实上,=R(B,A),=R(B),例1: 设,证明:向量b能由向量组
10、a1, a2, a3线性表示, 并求表示式.,证明: 要证向量b能由向量组a1, a2, a3线性表示, 需要证明: 矩阵A=(a1, a2, a3)与B=(a1, a2, a3, b)的秩相等.,为此将B化为行最简形:,R(A)=R(B),因此, 向量b能由向量组a1, a2, a3线性表示.,由B的行最简形可得方程组Ax=b通解为:,故表示式为: b=(a1, a2, a3)x=(3c+2)a1+(2c1)a2+ca3,其中c为任意常数.,b=2a1a2.,特别地, 取c =0, 得表示式为:,证明: 记A=(a1, a2), B=(b1, b2, b3).,论, 只需证R(A)=R(B)
11、=R(A,B).,将(A,B)化为行阶梯形:,根据定理2的推,得R(A) =R(A,B)=2.,又容易看出B中有2阶非零子式,则 2R(B),R(A)=R(B)=R(A,B).,因此,故 R(B)=2.,R(A,B)=2.,定理3: 若向量组B: 1, 2, , s能由向量组A: 1, 2, , m线性表示, 则R(1, 2, , s)R(1, 2, , m),即R(B)R(A).,以上所讨论的内容建立在向量组与矩阵之间有对应关系, 从而以上结论之间有如下结果:,若向量组B: 1, 2, , s能由向量组A: 1, 2, , m线性表示 有矩阵K, 使(1, 2, , s)=(1, 2, ,
12、m)K 矩阵方程(1, 2, , m)X=(1, 2, , s)有解.,例3: n 阶单位矩阵E=(e1, e2, , en)的列向量称为n维单位坐标向量. 证明: n维单位坐标向量组E: e1, e2, , en能由nm矩阵A=(a1, a2, , am)的列向量组A: a1, a2, , am线性表示的充分必要条件是R(A)=n.,证明: 根据定理2, 向量组E: e1, e2, , en能由向量组A线性表示的充分必要条件是R(A)=R(A,E).,因此R(A)=R(A,E)=n.,故R(A,E) n,而 R(A,E)R(E)=n,又因矩阵(A,E)仅有n行,本例的结论用矩阵方程的方式可描
13、述为: 矩阵方程AnmX=E有解的充分必要条件是R(A)=n.,用矩阵的方式可描述为: 对矩阵Amn, 存在Qnm使AQ=Em的充分必要条件是R(A)=m. 存在Pnm使PA=En的充分必要条件是R(A)=n.,当A为n阶方阵时, P, Q就是A的逆矩阵. 因此, 上述结论可以看作逆矩阵概念的推广.,五、小结,1. n维向量的概念, 实向量, 复向量; 2. 向量的表示方法, 行向量与列向量; 3. 向量, 向量组及线性组合与线性表示的概念, 由矩阵的秩给出判定的结论; 4. 有限个向量的向量组与矩阵和线性方程组之间的联系.,作业P106-1， 2,证明: 任意一个n维列向量a 都能由 n 维单位坐标向量组E: e1, e2, , en线性表示.,思考题解答,思考题,设n维列向量a 为,而,则显然有:a = 1e1 + 2e2 + + nen.,