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1、“”导数及其应用 双基过关检测 一、选择题 1 1已知函数 f(x)sin x x，则 f(x)( ) 2 1 1 Asin x Bcos x 2 2 1 1 Ccos x Dsin x 2 2 1 1 1 解析：选 B f(x)(sin x x)(sin x)(x )cos x . 2 2 2 2已知函数 f(x)logax(a0且 a1)，若 f(1)1，则 a( ) 1 Ae B. e 1 1 C. D. e2 2 1 1 解析：选 B 因为 f(x) ，所以 f(1) 1，所以 ln a1，所以 a xln a ln a 1 . e 3曲线 yxex2x1 在点(0，1)处的切线方程为
2、( ) Ay3x1 By3x1 Cy3x1 Dy2x1 解 析：选 A 因为 yexxex2，所以曲线 yxex2x1 在点(0，1)处的切线的斜 率 kyError!3，切线方程为 y3x1. x2 1 4已知曲线 y 3ln x 的一条切线的斜率为 ，则切点的横坐标为( ) 4 2 A3 B2 1 C1 D. 2 x2 1 1 3 1 解析：选 A 已知曲线 y 3ln x(x0)的一条切线的斜率为 ，由 y x ，得 4 2 2 x 2 x3，故选 A. 5函数 f(x)(x3)ex 的单调递增区间是( ) A( ，2) B(0,3) C(1,4) D(2， ) 解析：选 D 依题意得
3、f(x)(x3)ex(x3)(ex)(x2)ex，令 f(x)0，解 得 x2，f(x)的单调递增区间是(2， )故选 D. 6已知函数 f(x)x(xm)2在 x1 处取得极小值，则实数 m( ) 1 A0 B1 C2 D3 解析：选 B f(x)x(x22mxm2)x32mx2m2x，所以 f(x)3x24mxm2(x m)(3xm)由 f(1)0 可得 m1 或 m3.当 m3 时，f(x)3(x1)(x3)，当 13 时，f(x)0，此时在 x1 处取得极大值，不合题意，m1， 1 1 此时 f(x)(x1)(3x1)，当 1 时，f(x)0，此时在 3 3 x1 处取得极小值选 B.
4、 7已知函数 f(x)Error!则 f(x)dx的值为 ( ) 4 A. B4 3 20 C6 D. 3 8若函数 f(x)Error!的值域为0， )，则实数 a 的取值范围是( ) A2,3 B(2,3 C( ，2 D( ，2) 解析：选 A 当 x0 时，1f(x)12x0； 当 x0 时，f(x)x33xa，f(x)3x23， 当 x(0,1)时，f(x)0，f(x)单调递增， 所以当 x1 时，函数 f(x)取得最小值 f(1)13aa2.由题意得 1a20，解 得 2a3，选 A. 二、填空题 9若函数 f(x)xaln x不是单调函数，则实数 a的取值范围是_ a 解析：由题意
5、知 f(x)的定义域为(0， )，f(x)1 ，要使函数 f(x)xalnx不 x a 是单调函数，则需方程 1 0 在(0， )上有解，即 xa，a0时，g(x)0， 当 x0 时，函数 g(x)取得最小值 g(0)1. 根据题意得 2m1g(x)min1，m1. 答案：1， ) 三、解答题 a 13已知函数 f(x)x b(x0)，其中 a，bR. x (1)若曲线 yf(x)在点 P(2，f(2)处的切线方程为 y3x1，求函数 f(x)的解析式； (2)讨论函数 f(x)的单调性； 1 1 (3)若对于任意的 a，2 ，不等式 f(x)10 在，1 上恒成立，求 b 的取值范围 2 4
6、 a 解：(1)f(x)1 (x0)，由已知及导数的几何意义得 f(2)3，则 a8. x2 由切点 P(2，f(2)在直线 y3x1 上可得2b7，解得 b9，所以函数 f(x)的解析 3 8 式 为 f(x)x 9. x a (2)由(1)知 f(x)1 (x0) x2 当 a0 时，显然 f(x)0，这时 f(x)在( ，0)，(0， )上是增函数 当 a0 时，令 f(x)0，解得 x a， 当 x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表： x ( ， a) a ( a，0) (0， a) a ( a， ) f(x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 所以当 a0 时，f(x)在(
7、， a)，( a， )上是增函数，在( a，0)，(0， a)上 是减函数 1 1 (3)由(2)知，对于任意的 a，2 ，不等式 f(x)10 在，1 上恒成立等价于Error!即 2 4 1 7 Error!对于任意的 a，2 成立，从而得 b ， 2 4 7 所以满足条件的 b的取值范围是( ，4. x a 3 14已知函数 f(x) ln x ，其中 aR，且曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线 4 x 2 1 垂直于直线 y x. 2 (1)求 a的值； (2)求函数 f(x)的单调区间与极值 1 a 1 解：(1)对 f(x)求导，得 f(x) (x0)， 4 x2 x 1 由 f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线 y x， 2 3 5 知 f(1) a2，解得 a . 4 4 x 5 3 (2)由(1)知 f(x) ln x ， 4 4x 2 x24x5 则 f(x) ， 4x2 令 f(x)0，解得 x1 或 x5. 因为 x1 不在 f(x)的定义域(0， )内，故舍去 当 x(0,5)时，f(x)0，故 f(x)在(5， )内为增函数 4 由此知函数 f(x)在 x5 时取得极小值 f(5)ln 5，无极大值 4