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1、高考达标检测（三十二）空间角 3 3类型线线角、线面角、二面角 1如图，在几何体 ABCDE 中，四边形 ABCD 是矩形，AB平面 BEC，BEEC，ABBEEC 2，G，F 分别是线段 BE，DC 的中点 (1)求证：GF平面 ADE； (2)求平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值 解：(1)如图，取 AE 的中点 H，连接 HG，HD， 1 又 G 是 BE 的中点，所以 GHAB，且 GH AB. 2 又 F 是 CD 的中点， 1 所以 DF CD. 2 由四边形 ABCD 是矩形， 得 ABCD，ABCD， 所以 GHDF，且 GHDF， 从而四边形 HGFD 是平行
2、四边形， 所以 GFDH. 又 GF 平面 ADE，DH 平面 ADE， 所以 GF平面 ADE. (2)如图，在平面 BEC 内，过点 B 作 BQEC. 因为 BECE， 所以 BQBE. 又因为 AB平面 BEC， 所以 ABBE，ABBQ. 以 B 为原点，分别以 BE ， BQ ， BA 的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直 角坐标系， 则 A(0,0,2)，B(0,0,0)，E(2,0,0)，F(2,2,1) 因为 AB平面 BEC， 所以 BA (0,0,2)为平面 BEC 的法向量 设 n(x，y，z)为平面 AEF 的法向量 1 又 AE (2,0，2)， AF
3、 (2,2，1)， 由Error! 得Error! 取 z2，得 n(2，1,2) n 4 2 从而 cosn， BA ， |n| 3 2 3 2 所以平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值为 . 3 2(2016全国丙卷)如图，四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，AD BC，ABADAC3，PABC4，M 为线段 AD 上一点，AM2MD，N 为 PC 的中点 (1)证明 MN平面 PAB； (2)求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值 2 解： (1)证明：由已知得 AM AD2. 3 取 BP 的中点 T，连接 AT，TN， 1 由 N 为 PC 的中点知 TN
4、BC，TN BC2. 2 又 ADBC，故 TN 綊 AM， 所以四边形 AMNT 为平行四边形，于是 MNAT. 因为 MN 平面 PAB，AT 平面 PAB， 所以 MN平面 PAB. (2)取 BC 的中点 E，连接 AE. 由 ABAC 得 AEBC，从而 AEAD， BC 且 AE AB2BE2 AB2( . 2 )2 5 以 A 为坐标原点， AE 的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz. 5 由题意知 P(0,0,4)，M(0,2,0)，C( 5，2,0)，N( ，1，2)， 2 5 5 PM (0,2，4)， ， ( ，1，2). PN ( ，1，2)
5、AN 2 2 设 n(x，y，z)为平面 PMN 的法向量， 则Error!即Error! 可取 n(0,2,1) 2 |n| 8 5 于是|cosn， AN | . |n| 25 8 5 所以直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值为 . 25 (3 2017潍坊统考)如图，在四棱锥 PABCD 中，ADBC平， 面 APD平 面 ABCD，PAPD，E 在 AD 上，且 ABBCCDDEEA2. (1)求证：平面 PEC平面 PBD； (2)设直线 PB 与平面 PEC 所成的角为 ，求平面 APB 与平面 PEC 所 6 的锐二面角的余弦值 成 解：(1)证明：连接 BE. 在PAD
6、中，PAPD，AEED， 所以 PEAD. 又平面 APD平面 ABCD，平面 APD平面 ABCD AD， 所以 PE平面 ABCD， 故 PEBD. 在四边形 ABCD 中，BCDE，且 BCDE， 所以四边形 BCDE 为平行四边形， 又 BCCD， 所以四边形 BCDE 为菱形， 故 BDCE， 又 PEECE， 所以 BD平面 PEC， 又 BD 平面 PBD， 所以平面 PEC平面 PBD. (2)取 BC 的中点 F，连接 EF. 由(1)可知，BCE 是一个正三角形，所以 EFBC，又 BCAD， 所以 EFAD. 又 PE平面 ABCD，故以 E 为坐标原点，分别以直线 EF
7、、直线 ED、 直 线 EP 为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 设 PEt(t0)，则 D(0,2,0)，A(0，2,0)，P(0,0，t)，F( 3，0,0)，B( 3，1,0) 因为 BD平面 PEC， 所以 BD ( 3，3,0)是平面 PEC 的一个法向量， 又 PB ( 3，1，t)， 3 6 所以 cos PB ， BD . | 2 3 4t2 4t2 3 3 由已知可得 sin |cos PB ， BD | ，得 t2 2. 6 4t2 故 P(0,0,2 2)， PB ( 3，1，2 2)， AB ( 3，1,0) 设平面 APB 的法向量为 n(x，y
8、，z)， 则由Error! 可得Error! 取 y 6，则 x 2，z 3，故 n( 2， 6， 3)为平面 APB 的一个法向量， n 4 6 2 22 所以 cos BD ，n . | |n| 11 2 3 11 设平面 APB 与平面 PEC 所成的锐二面角为 ， 2 22 则 cos |cos BD ，n| . 11 4(2017郑州模拟)如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，四边形 A 形， 平面 ABC平面 AA1C1C，A1AC60，BCA90. (1)求证：A1BAC1； (2)已知点 E 是 AB 的中点，BCAC，求直线 EC1与平面 ABB1A1所 解：(1)证明：取
9、AC 的中点 O，连接 A1O， 因为四边形 AA1C1C 是菱形， 且A1AC60， 所以A1AC 为等边三角形， 所以 A1OAC. 又平面 ABC平面 AA1C1C， 平面 ABC平面 AA1C1CAC， 所以 A1O平面 ABC， 所以 A1OBC. 又 BCAC，A1OACO， 所以 BC平面 AA1C1C， 所以 AC1BC. 在菱形 AA1C1C 中，AC1A1C， 所以 AC1平面 A1BC，所以 A1BAC1. (2)连接 OE，以点 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角 坐标系 O xyz， 4 则 A(0，1,0)，B(2,1,0)，C(0,1,0)，C1(0,2， 3)， AB (2,2,0)， BB1 CC1 (0,1， 3)，设 m(x，y，z)是平面 ABB1A1的法向量， 则 m AB 0，m BB1 0， 即Error!取 z1，可得 m( 3，3，1) 又 E(1,0,0)， 所以 EC1 (1,2， 3)， 设直线 EC1与平面 ABB1A1所成的角为 ， |m| 则 sin |cos EC1 ，m| . |m| 14 42 42 即直线 EC1与平面 ABB1A1所成角的正弦值为 . 14 5