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1、高考达标检测（二十九）求解空间几何体问题的 2 2环节识图与计 算 一、选择题 1(2017大连调研)如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中点 P 是棱 CD 上一点，则三棱锥 PA1B1A 的侧视图是( ) 解析：选 D 在长方体 ABCDA1B1C1D1中，从左侧看三棱锥 PA1B1A，B1，A1，A 的射影分别 是 C1，D1，D；AB1的射影为 C1D，且为实线，PA1的射影为 PD1，且为虚线故选 D. 2.(2017永州一模)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画 出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为 ( ) A1 B. 5 2 C. 6 D2 3 解
2、析：选 D 由题意得，该几何体的直观图为三棱锥 ABCD， 如图，其最大面的表面是边长为 2 2 的等边三角形，故其面积为 3 (2 2)22 3. 4 3(2016太原一模)一个正三棱柱的正(主)视图和俯视图如图所示，则这个三棱柱的侧(左) 视图的面积为( ) 1 A6 3 B8 C8 3 D12 解析：选 A 该三棱柱的侧(左)“”视图为一个矩形，由 长对正，高平齐，宽相等 的原理 知，其侧(左)视图的底边长为俯视图中正三角形的高，即为 2 3，侧(左)视图的高为 3，故其 侧(左)视图的面积为 S2 336 3，故选 A. 4.如图是一个四面体的三视图，这三个视图均是腰长为 2 的等腰直
3、角 三角形，正视图和俯视图中的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为 ( ) 2 A. B. 3 4 3 8 C. D2 3 解析：选 A 由三视图可知，此四面体如图所示，其高为 2，底面三角 1 1 2 形的一边长为 1，对应的高为 2，所以其体积 V 212 ，故选 A. 3 2 3 5(2016全国甲卷)体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球 的表面积为( ) 32 A12 B. 3 C8 D4 解析：选 A 设正方体棱长为 a，则 a38，所以 a2. 所以正方体的体对角线长为 2 3，所以正方体外接球的半径为 3， 所以球的表面积为 4( 3)212，故选 A. 6(201
4、6北京高考)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( ) 1 1 A. B. 6 3 1 C. D1 2 解析：选A 通过三视图可还原几何体为如图所示的三棱锥PABC， 通 过 1 1 1 1 1 1 侧视图得高 h1，底面积 S 11 ，所以体积 V Sh 1 . 2 2 3 3 2 6 2 7如图是某几何体的三视图，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表 面积为( ) 16 8 A. B. 3 3 C4 3 D2 3 解析：选 A 由对称性可知外接球球心在侧视图中直角三角形的高线上，设外接球的半径 2 3 2 3 16 为 R，则( 3R)212R2，R 3 ，其表面积
5、S4R24(3 )2 . 3 8(2016全国丙卷)在封闭的直三棱柱 ABCA1B1C1内有一个体积为 V 的球若 ABBC，AB 6，BC8，AA13，则 V 的最大值是( ) 9 A4 B. 2 32 C6 D. 3 解析：选 B 设球的半径为 R， 6810 ABC 的内切圆半径为 2， 2 R2.又 2R3， 3 R ， 2 4 3 9 Vmax3(2 )3 .故选 B. 2 二、填空题 9(2016四川高考)已知三棱锥的四个面都是腰长为2 的等腰三角形， 该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是_ 解析：由正视图知三棱锥的形状如图所示，且 ABADBCCD2，BD2 3，设 O
6、为 BD 的中点，连接 OA，OC，则 OABD，OCBD，结合正视图可知 AO平面 BCD. 又 OC CD2OD21， 3 1 1 3 V 三棱锥 ABCD 1 . 3 ( 2 3 1) 2 3 答案： 3 3 10(2016浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是 _cm2，体积是_cm3. 解析：由三视图还原几何体如图所示，下面长方体的长、宽都是 4， 高为 2；上面正方体的棱长为 2.所以该几何体的表面积为(4424 24)222480(cm2)； 体积为 4422340(cm3) 答案：80 40 11(2016天津高考)已知一个四棱锥的底面是平行四边
7、形，该四棱锥的三视图如图所示 (单位：m)，则该四棱锥的体积为_m3. 解析：由三视图知，四棱锥的高为 3 m，底面平行四边形的一边长为 2 m，对应高为 1 1 1 m，所以其体积 V Sh 2132(m3) 3 3 答案：2 12.如图，点 O 为正方体 ABCD ABCD 的中心，点 E 为面 BBCC的中心，点 F 为 BC的中点，则空间四边形 DOEF 在该正方体 的各个面上的正投影可能是_(填出所有可能的序号) 4 解析：空间四边形 DOEF 在正方体的面 DCCD及其对面 ABBA上的正投影是；在 面 BCCB及其对面 ADDA上的正投影是；在面 ABCD 及其对面 ABCD上的
8、正投 影是. 答案： 三、解答题 13.如图，在四棱锥 PABCD 中，底面为正方形，PC 与底面 ABCD 垂直， 下图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为 6 cm 的全等的等腰直角 三角形 (1)根据所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积； (2)求 PA. 解：(1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为 6 cm 的正方形， 如图，其面积为 36 cm2. (2)由侧视图可求得 PD PC2CD2 62626 2. 由正视图可知 AD6，且 ADPD，所以在 RtAPD 中， PA PD2AD2 6 22626 3 cm. 14(2015全国卷 )如图，长方
9、体 ABCDA1B1C1D1中，AB16，BC 10，AA18，点 E，F 分别在 A1B1，D1C1 上，A1ED1F4.过点 E，F 的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形 (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求平面 把该长方体分成的两部分体积的比值 解：(1)交线围成的正方形 EHGF 如图所示 (2)如图，作 EMAB，垂足为 M， 则 AMA1E4，EB112，EMAA18. 因为四边形 EHGF 为正方形， 所以 EHEFBC10. 于是 MH EH2EM26，AH10，HB6. 1 故 S 四边形 A1EHA (410)856， 2 1 S 四边形 EB1BH (126)872. 2 因为长方体被平面 分成两个高为 10的直棱柱， 9 7 所以其 体积的比值为7(也正确). 9 5