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1、高考达标检测（二十三） 等差数列的 3 3考点求项、求和和判定 一、选择题 1(2017长沙名校联考)已知数列an是等差数列，a1a78，a22，则数列an的 公差 d 等于( ) A1 B2 C3 D4 解析：选 C 法一：由题意可得Error! 解得 d3. 法二：a1a72a48，a44， a4a2422d，d3. 2在等差数列an中，a10，公差 d0，若 ama1a2a9，则 m 的值为( ) A37 B36 C20 D19 9 8 解析：选 A ama1a2a99a1 d36da37，m37.故选 A. 2 3在数列an中，若 a12，且对任意正整数 m，k，总有 amkamak，
2、则an的前 n 项 和 Sn( ) nn3 An(3n1) B. 2 n3n1 Cn(n1) D. 2 解 析：选 C 依题意得 an1ana1，即 an1ana12，所以数列an是以 2 为首项、2 n22n 为公差的等差数列， an22(n1)2n，Sn n(n1)，选 C. 2 4(2016大同模拟)在等差数列an 中，a1a2a33，a18a19a2087，则此数 列前 20项的和等于( ) A290 B300 C580 D600 解析：选 B 由 a1a2a33a23，得 a21. 由 a18a19a203a1987，得 a1929， 20a1a20 所以 S20 10(a2a19)
3、300. 2 5设等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 S918，an430(n9)，若 Sn336，则 n 的值 为( ) A18 B19 C20 D21 1 na1an 解析： 选 D 因为an 是等差数列，所以 S9 9a5 18 ，a5 2 ，Sn 2 na5an4 n 3216n336，解得 n21，故选 D. 2 2 6(2017烟台模拟)设数列an是公差 dS8，则下列结论 错误的是( ) AdS5 D当 n6 或 n7 时 Sn 取得最大值 解析：选 C 由 S50.同理由 S7S8，得 a8S5，即 a6a7a8a90，可得 2(a7a8)0，由结论 a7 0，a8S8，结
4、合等差数列前 n 项和的函数特性可知 D 正 确选 C. 二、填空题 1 1 1 8(2017枣庄模拟)若数列an满足 a1 ， 5(nN*)，则 a10_. 3 an1 an 1 1 1 1 1 解析：因为 an5，所以an 是以 3 为首项、5 为公差的等差数列，所以 3 an1 a1 an 1 1 1 5(n1)5n2，即 an ，所以 a10 . 5n2 502 48 1 答案： 48 1 1 1 9等差数列an中，a1 ，am ，an (mn)，则数列an的公差 d_. 2 017 n m 1 1 1 1 1 1 解析：am (m 1)d ，an (n 1)d ，(m n)d ， 2
5、 017 n 2 017 m n m 1 1 1 1 1 1 1 d ，am (m1) ，解得 ，即 d . mn 2 017 mn n mn 2 017 2 017 1 答案： 2 017 2 10(2016江苏高考)已知an是等差数列，Sn 是其前 n 项和若 a1a 3，S510， 2 则 a9的值是_ 5 4 解析：法一：设等 差数列an的公差为 d，由 S510，知 S55a1 d10，得 a12d 2 2，即 a122d.所以 a2a1d2d，代入 a1a 3，化简得 d26d90，所以 d 2 3，a14.故 a9a18d42420. 5a1a5 法二：设等差数列an的公差为 d
6、，由 S510，知 5a310，所以 a32. 2 所以由 a1a32a2，得 a12a22，代入 a1a 3，化简得 a 2a210，所以 a2 2 2 1. 公差 da3a2213，故 a9a36d21820. 答案：20 三、解答题 11(2017成都模拟)已知数列an各项均为正数，且a11，an1anan1an0(nN*) 1 (1)设 bn ，求证：数列bn是等差数列； an an (2)求数列n1 的前 n 项和 Sn. 解：(1)证明：因为 an1anan1an0(nN*)， an 所以 an1 . an1 1 因为 bn ， an 1 1 an1 1 所以 bn1bn 1. a
7、n1 an an an 1 又 b1 1， a1 所以数列bn是以 1 为首项、1 为公差的等差数列 1 1 (2)由(1)知，bnn，所以 n，即 an ， an n an 1 1 1 所以 ， n1 nn1 n n1 1 1 1 1 1 1 n 所以 Sn(1 1 . 2 ) ( 3 ) (n1) 2 n n1 n1 12(2017沈阳质检)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 a3a64，S55. (1)求数列an的通项公式； (2)若 Tn|a1|a2|a3|an|，求 T5的值和 Tn 的表达式 解：(1)设等差数列an的公差为 d， 3 由题意知Error!解得Error!
8、故 an2n7(nN*) 7 (2)由 an2n70. 由(1)知 Snn26n， 所以当 n3 时，TnSn6nn2； 当 n4 时， TnS3(SnS3)Sn2S3n26n18. 故 T513，TnError! 13已知等比数列an是递增数列，且 a2a532，a3a412，数列bn满足 b11，且 bn 12bn2an(nN *) bn (1)证明：数列an 是等差数列； (2)若对任意 nN*，不等式(n2)bn1bn 总成立，求实数 的最大值 解：(1)证明：设an的公比为 q，因为 a2a5a3a432，a3a412，且an是递增数列， 所以 a34，a48，所以 q2，a11，所以 an2n1. bn1 bn 因为 bn12bn2an，所以 1， an1 an bn b1 所以数列an 是以 1 为首项、1 为公差的等差数列 a1 n2bn1 n2n12n 2 (2)由(1)知 bnn2n1，所以 2 . n2n1 (n 3) bn n 2 因为 nN*，易知当 n1 或 2 时，2(n 3)取得最小值 12，所以 的最大值为 12. n 4