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1、高考达标检测（五十）几何概型命题 3 3角度长度（角度）、面积、 体积 一、选择题 1.如图所示，A 是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点 A，连接 AA，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为( ) 1 A. B. 2 3 2 1 1 C. D. 3 4 解析：选 C 当 AA的长度等于半径长度时，AOA ，A点在 A 点左右都可取得， 3 2 3 1 故由几何概型的概率计算公式得 P . 2 3 2在区间0,1上随意选择两个实数 x，y，则使 x2y21 成立的概率为( ) A. B. 2 4 C. D. 3 5 解 析：选 B 如图所示，试验的全部结果构成正方形区域，使得 x
2、2y21 成立的平面区 1 域为以坐标原点 O 为圆心，1 为半径的圆的 与 x 轴正半轴，y 轴正半轴围成的区域，由几何概 4 4 型的概率计算公式得，所求概率 P .故选 B. 1 4 3(2017湖南师大附中检测)利用计算机产生01 之间的均匀随机数a，b，则事件“Error!” 发生的概率为( ) 4 1 A. B. 9 9 2 1 C. D. 3 3 解析：选 A 由题意可知Error!该不等式组表示的区域为一个边长为 1 的正方形，其面积 2 4 4 是 1.Error!表示的区域为一个边长为 的正方形，面积是 ，所以所求概率为 . 3 9 9 1 4(2017辽宁五校联考)若实数
3、 k3,3，则 k 的值使得过点 A(1,1)可以作两条直线 5 与圆 x2y2kx2y k0 相切的概率等于( ) 4 1 1 A. B. 2 3 1 1 C. D. 4 6 解析：选 D 由点 A 在圆外可得 k0，由题中方程表示圆可得 k1 或 k4，所以 1 1k0，故所求概率为 ，故选 D. 6 5(2016长沙三模)如图，矩形 OABC 内的阴影部分由曲线 f(x)sin x(x(0，)及直线 xa (a 0，)与 x 轴围成，向矩形 OABC 内 3 随机投掷一点，若该 点落在阴影部分的概率为 ，则 a 的值为( ) 16 7 2 A. B. 12 3 3 5 C. D. 4 6
4、 a 解 析：选 B 由题意知，阴影部分的面积为 sin xdx(cos x) Error!cos a 0 1cos a 3 1 cos 01cos a，根据几何概型的概率计算公式知 ，即cos a ，而a(0， 8 16 2 a a 2 )，故 a ，故选 B. 3 6(2017伊春模拟)在区间 上随机取一个数 x，则 sinxcosx1， 的概 ， 2 2 6 率是( ) 1 3 A. B. 2 4 3 5 C. D. 8 8 3 解 析：选 B 因为 x ，所以 x ，由 sin xcos x sin ， 2 4 4 2 (x 4) ， 6 12 0 2 2 3 1， 2 ，得 2 si
5、n(x 4)1，所以 x0， 2，故要求的概率为 . 4 ( 6 ) 2 7(2017商丘模拟)已知 P 是ABC 所在平面内一点， PB PC 2 PA 0，现将 一粒豆随机撒在ABC 内，则黄豆落在PBC 内的概率是( ) 2 1 1 A. B. 4 3 1 2 C. D. 2 3 2 解 析：选 C 如图所示，设点 M 是 BC 边的中点，因为 PB PC PA 0，所以点 P 是中线 AM 的中点，所以黄豆落在PBC 内的概率 S PBC 1 P ，故选 C. S ABC 2 8(2016烟台模拟)在区间0,1上任取两个数 a，b，则函数 f(x)x2axb2无零点 的概率为( ) 1
6、 2 A. B. 2 3 3 1 C. D. 4 4 解析：选 C 要使该函数无零点，只需 a24b20， a2b0. 作出Error!的可行域(如阴影部分所示)， 1 1 1 1 2 2 3 易得该函数无零点的概率 P . 1 1 4 二、填空题 9已知线段 AC16 cm，先截取 AB4 cm 作为长方体的高，再将线段 BC 任意分成两段作 为长方体的长和宽，则长方体的体积超过 128 cm3的概率为_ 解析：依题意，设长方体的长为 x cm，则相应的宽为(12x)cm，由 4x(12x)128 得 x2 84 1 12x320,4x8，因此所求的概率等于 . 12 3 1 答案： 3 1
7、0(2017湖北七市联考)AB 是半径为 1 的圆的直径，M 为直径 AB 上任意一点，过点 M 作垂直于直径 AB 的弦，则弦长大于 3 的概率是_ 3 1 解析：依题意知，当相应的弦长大于 3 时，圆心到弦的距离小于 12(2 )2 ，因此 2 1 1 相应的点 M 应位于线段 AB 上与圆心的距离小于 的地方，所求的概率等于 . 2 2 1 答案： 2 3 11(2017重庆检测)在不等式组Error!所表示的平面区域内随机地取一点 P，则点 P 恰 好落在第二象限的概率为_ 解析：画出不等式组Error!表示的平面区域(如图中阴影部分所示)， 1 3 9 1 1 因为 SABC 3 ，
8、SAOD 11 ， 2 2 4 2 2 1 S AOD 2 2 所以点 P 恰好落在第二象限的概率为 . S ABC 9 9 4 2 答案： 9 12.在底和高等长度的锐角三角形中有一个内接矩形 ABCD，矩形 的一边 BC 在三角形的底边上，如图，在三角形内任取一点，则该 点取自矩形内的最大概率为_ x ay 解 析：设 ADx，ABy，则由三角形相似可得 ，解得 yax，所以矩形的面积 S a a xax a2 a a2 xyx(ax)( 2 )2 ，当且仅当 xax，即 x 时，S 取得最大值 ，所以该点 4 2 4 a2 4 1 取自矩形内的最大概率为 . 1 2 a a 2 1 答案
9、： 2 三、解答题 13设关于 x 的一元二次方程 x22axb20.若 a 是从区间0,3任取的一个数，b 是从 区间0,2任取的一个数，求方程有实根的概率 解：设事件 A 为“方程 x22axb20 有实根”当 a0，b0 时，方程 x22axb20 有实根的充要条件为 ab.试验的全部结果所构成的区域为(a，b)|0a3,0b2，构成 事件 A 的区域为(a，b)|0a3,0b2，ab， 根据条件画出构成的区域，可得所求的概率为 4 1 3 2 22 2 2 P(A) . 3 2 3 14已知向量 a(2,1)，b(x，y) (1)若 x，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的
10、点数分别为 1,2,3,4,5,6)先 后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足 ab1 的概率； (2)若 x，y 在连续区间1,6上取值，求满足 ab0的概率 解：(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为 66 36(个) 由 ab1 有2xy1，所以满足 ab1 的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)， 共 3 个 3 1 故满足 ab1 的概率为 . 36 12 (2) 若 x ，y 在连续区间1,6 上取值，则全部基本事件的结果 为 (x ，y)|1x6,1y6满；足 ab0 的基本事件的结果 为 A (x y，)|1x6,1y6 且2xy0；画出图形如图，矩形的面 1 积为 S 矩形25，阴影部分的面积为 S 阴影25 2421， 2 21 故满足 ab0的概率为 . 25 5