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1、高考达标检测（十九） 正、余弦定理的 3 3个基础点边角、形状和 面积 一、选择题 1(2017兰州一模)在锐角ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 b2asin B，则 A( ) A30 B45 C60 D75 解析：选 A 因为在锐角ABC 中，b2asinB，由正弦定理得，sinB2sinAsinB，所 1 以 sin A ，又 0A90，所以 A30，故选 A. 2 2(2017浙江金丽衢十二校联考)已知ABC 的三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b， cos A b c，若 2，则该三角形的形状是( ) cos B a A直角三角形 B等腰三角形 C等边三角
2、形 D钝角三角形 cos A b cos A sin B b 解 析：选 A 因为 ，由正弦定理得 ，所以 sin 2Asin 2B.由 cos B a cos B sin A a 2，可知 ab，所以 AB.又 A(0，)，B(0，)，所以 2A1802B，即 AB 90，所以 C90，于是ABC 是直角三角形故选 A. 3(2017太原模拟)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 b2c2a2 3bc，且 b 3a，则下列关系一定不成立的是( ) Aac Bbc C2ac Da2b2c2 b2c2a2 3bc 3 解析：选 B 由余弦定理，得 cos A ，则 A30
3、.又 b 3a，由 2bc 2bc 2 3 正弦定理得 sinB 3sinA 3sin 30 ，所以 B60或 120.当 B60时，ABC 为 2 直角三角形，且 2ac，可知 C，D 成立；当 B120时，C30，所以 AC，即 ac，可 知 A 成立，故选 B. 4(2016唐山一模)在直角梯形 ABCD 中，ABCD，ABC90，AB2BC2CD，则 cos DAC( ) 10 3 10 A. B. 10 10 5 2 5 C. D. 5 5 1 解 析：选 B 如图所示，设 CDa，则易知 AC 5a，AD 2a，在ACD 中，CD2AD2AC2 3 10 2ADACcosDAC，a
4、2( 2a)2( 5a)22 2a 5acosDAC，cosDAC . 10 5在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若ABC 的面积为 S，且 2S(a b)2c2，则 tan C 等于( ) 3 4 A. B. 4 3 4 3 C D 3 4 解 析：选 C 因为 2S(ab)2c2a2b2c22ab，则由面积公式与余弦定理，得 absin C 2abcos C 2ab ， 即 sin C 2cos C 2 ， 所 以 (sin C 2cos C)2 4 ， 即 sin2C4sin Ccos C4cos2C tan2C4tan C4 4 4，所以 4，解得 tan C
5、或 tan C sin2Ccos2C tan2C1 3 0(舍去)，故选 C. 6在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 b2a2bc，A ，则角 C( ) 6 A. B. 6 4 3 3 C. 或 D. 或 6 4 4 4 b2c2a2 3 b2c2a2 解 析：选 B 在ABC 中，由余弦定理得 cos A ，即 ，所以 b2 2bc 2 2bc c2a2 3bc.又 b2a2bc，所以 c2bc 3bc，即 c( 31)bb，则 a 2 3b，所以 cos b2a2c2 2 C ，解得 C .故选 B. 2ab 2 4 二、填空题 7(2017吉林三校联考)在ABC
6、中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若 b2c2 2a2，则 cos A 的最小值为_ a2 1 b2c2 解析：因为 b2c22a2，则由余弦定理可知 a22bccos A，所以 cos A 2bc 2 2bc 1 2bc 1 1 (当且仅当 bc 时等号成立)，即 cos A 的最小值为 . 2 2bc 2 2 1 答案： 2 8在ABC 中，A ，AC4，BC2 3，则ABC 的面积等于_ 3 2 BC AC 2 3 4 解析：由正弦定理 ，得 ，解得 sin B1，B ，所以ABC sin A sin B 3 sin B 2 2 1 1 为直角三角形，所以 AB AC2BC
7、22，所以 SABC ABBC 22 2 . 3 3 2 2 答案：2 3 2 b 9(2016北京高考)在ABC 中，A ，a 3c，则 _. 3 c 2 解析：在ABC 中，A ， 3 2 a2b2c22bccos ，即 a2b2c2bc. 3 a 3c，3c2b2c2bc，b2bc2c20， b (b2c)(bc)0，bc0，bc， 1. c 答案：1 三、解答题 10(2016天津高考)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 asin 2B 3bsin A. (1)求 B； 1 (2)若 cos A ，求 sin C 的值 3 解：(1)由 asin 2B 3
8、bsin A 及正弦定理得 2asin Bcos B 3bsin A 3asin B， 3 所以 cos B ，所以 B . 2 6 1 2 2 (2)由 cos A ，可得 sin A ，则 3 3 sin Csin(AB) sin(AB) sin(A 6) 3 1 sin A cos A 2 2 2 61 . 6 11在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 csin Bbcos C3. (1)求 b； 3 21 (2)若ABC 的面积为 ，求 c. 2 解：(1)由正弦定理得 sin Csin Bsin Bcos C， 又 sin B0，所以 sin Ccos C，C
9、45. 因为 bcos C3，所以 b3 2. 1 21 (2)因为ABC 的面积 S acsin B ，csin B3， 2 2 所以 a7.又 c2a2b22abcos C25，所以 c5. 12(2017武昌调研)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 cos2B cos B1cos Acos C. (1)求证：a，b，c 成等比数列； (2)若 b2，求ABC 的面积的最大值 解：(1)证明：在ABC 中，cos Bcos(AC) 由已知，得(1sin2B)cos(AC)1cos Acos C， sin2B(cos Acos Csin Asin C)cos Acos C， 化简，得 sin2Bsin Asin C. 由正弦定理，得 b2ac，a，b，c 成等比数列 (2)由(1)及题设条件，得 ac4. a2c2b2 a2c2ac 2acac 1 则 cos B ， 2ac 2ac 2ac 2 当且仅当 ac 时，等号成立 1 3 0B，sin B 1cos2B 1(2 ) 2 . 2 1 1 3 SABC acsin B 4 . 3 2 2 2 ABC 的面积的最大值为 3. 4