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1、高考达标检测（四十九）古典概型命题 2 2类型简单事件、复杂事 件 一、选择题 1(2016北京高考)从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人，则甲被选中的概率为( ) 1 2 A. B. 5 5 8 9 C. D. 25 25 解析：选 B 设另外三名学生分别为丙、丁、戊从 5 名学生中随机选出 2 人，有(甲， 乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，(乙，丙)，(乙，丁)，(乙，戊)，(丙，丁)，(丙， 戊)，(丁，戊)，共 10种情形，其中甲被选中的有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)， 4 2 共 4 种情形，故甲被选中的概率 P . 10 5 2(2017豫东名校联考
2、)在集合 A2,3中随机取一个元素 m，在集合 B1,2,3中随 机取一个元素 n，得到点 P(m，n)，则点 P 在圆 x2y29 内部的概率为( ) 1 1 A. B. 2 3 3 2 C. D. 4 5 解析：选 B 点 P(m，n)共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)6种情况，只 2 1 有(2,1)，(2,2)这 2 个点在圆 x2y29 的内部，所求概率为 . 6 3 3(2016昆明一模)小明从某书店购买 5 本不同的教辅资料，其中语文 2 本，数学 2 本， 物理 1 本若将这 5 本书随机并排摆放在书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的
3、概率是 ( ) 1 2 A. B. 5 5 3 4 C. D. 5 5 解析：选 B 语文、数学只有一科的两本书相邻，有 2A2A2A3248 种摆放方法；语文、数 学两科的两本书都相邻，有 A2A2A324 种摆放方法；而五本不同的书排成一排总共有 A5120 4824 2 种摆放方法故所求概率为 1 .故选 B. 120 5 4(2017泉州质检)一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为 a，b，c，当且 仅当 ab，bc “”时，称该三位自然数为 凹数 (如 213,312 等)，若 a，b，c1,2,3,4， 且 a，b，c “”互不相同，则这个三位数为 凹数 的概率是( ) 1
4、1 A. B. 6 5 24 1 C. D. 3 7 24 解析：选 C 由 1,2,3组成的三位自然数为 123,132,213,231,312,321，共 6 个；同理由 1,2,4 组成的三位自然数共 6 个；由 1,3,4组成的三位自然数也是 6 个；由 2,3,4 组成的三位 自然数也是 6 个所以共有 666624个当 b1 时，有 214,213,314,412,312,413， 共 6“个 凹数”；当 b2 时，有 324,423，共 2“个 凹数”“”所以这个三位数为 凹数 的概 62 1 率 P . 24 3 5(2014全国卷 )4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参
5、加公益活动，则周六、 周日都有同学参加公益活动的概率为( ) 1 A. B. 8 3 8 5 C. D. 8 7 8 242 7 解析：选 D 由题知所求概率 P ，选 D. 24 8 6一袋中装有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1 只白球，1 只红球，2 只黄球，从袋中 一次性随机摸出 2 只球，则这 2 只球颜色不同的概率为( ) 3 4 A. B. 5 5 2 5 C. D. 3 6 解析：选 D 法一：从袋中一次性随机摸出 2 只球的所有可能情况有 C246“种，设 这 2 ”只球颜色不同 为事件 N，这 2 只球颜色可能为 1 白 1 红，1 白 1 黄，1 红 1 黄，事件 N
6、 包含 5 的情况有 C C C C C C 5 种，故这 2 只球颜色不同的概率 P(N) . 1 1 1 21 1 12 6 法二：从袋中一次性随机摸出 2 只球的所有可能情况有 C246 种，设“这 2”只球颜色不同 为事件 N，则事件N为“这 2 只球颜色相同”，根据题意可知，若 2 只球的颜色相同，则这 2 只 C 1 2 球只能是黄球，又这 2 只球为黄球的概率 P(N) ，故这两只球颜色不同的概率 P(N)1 6 6 5 P(N) ，故选 D. 6 7设 m，n 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，则在先后两次出现的点数中有 5 的条件 下，方程 x2mxn0 有实根的概率为( )
7、 11 7 A. B. 36 36 2 7 7 C. D. 11 10 解析：选 C 先后两次出现的点数中有 5 的情况有：(1,5)，(2,5)，(3,5)，(4,5)， (5,5)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共 11 种其中使方程 x2mxn0 有实根的情况有：(5,5)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共 7 种故所求概 7 率为 . 11 1 8已知函数 f(x) x3ax2b2x1，若 a 是从 1,2,3 三个数中任取的一个数，b 是从 3 0,1,2 三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的
8、概率为( ) 7 1 A. B. 9 3 5 2 C. D. 9 3 解析：选 D 对函数 f(x)求导可得 f(x)x22axb2， 要满足题意需 x22axb20 有两个不等实根， 即 4(a2b2)0，即 ab. 又(a，b)的取法共有 9 种，其中满足 ab 的有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)， (3,2)，共 6 种， 6 2 故所求的概率 P . 9 3 二、填空题 9(2016浙江镇海中学调研)由数字 0,1,2,3 组成一个没有重复数字，且不被 10 整除的 四位数，则两个偶数不相邻的概率是_ 解析：由题可得，满足条件的四位数有 1 023,1 03
9、2,1 203，1 302，2 013,2 031,2 103,2 301, 3 012,3 021,3 102,3 201，共 12个其中两个偶数不相邻的有 1 032,2 103,2 301，3 4 1 012，共 4 个故满足条件的概率为 P . 12 3 1 答案： 3 10(2016亳州质检)已知集合 M1,2,3,4)，N(a，b)|aM，bM)，A 是集合 N 中 任意一点，O 为坐标原点，则直线 OA 与 yx21 有交点的概率是_ 解析：易知过点(0,0)与 yx21 相切的直线为 y2x(斜率小于 0 的无需考虑)，集合 N 中共有 16个元素，其中使 OA 斜率不小于 2
10、 的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共 4 个，故所 4 1 求的概率为 . 16 4 1 答案： 4 3 11(2017昆明模拟)投掷两颗相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各个面上依次标有 点数 1,2,3,4,5,6)一次，则两颗骰子向上点数之积等于 12 的概率为_ 解析：抛掷两颗相同的正方体骰子共有 36种等可能的结果：(1,1)，(1,2)，(1,3)， (6,6)点数积等于 12 的结果有：(2,6)，(3,4)，(4,3)，(6,2)，共 4 种，故所求事件的概率 4 1 为 . 36 9 1 答案： 9 x2 y2 12某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为 a
11、，b，则双曲线 1 的离心率 e 5的 a2 b2 概率是_ b2 解析：由 e 1 5，得 b2a. a2 当 a1 时，b3,4,5,6 四种情况； 当 a2 时，b5,6 两种情况，总共有 6 种情况 又同时掷两颗骰子，得到的点数(a，b)共有 36种结果 6 1 所求事件的概率 P . 36 6 1 答案： 6 三、解答题 1 13设 a2,4，b1,3，函数 f(x) ax2bx1. 2 (1)求 f(x)在区间( ，1上是减函数的概率； (2)从 f(x)中随机抽取两个，求它们在(1，f(1)处的切线互相平行的概率 解：(1)f(x)axb，由题意 f(1)0，即 ba， 3 而(
12、a，b)共有(2,1)，(2,3)，(4,1)，(4,3)四种，满足 ba 的有 3 种，故概率为 . 4 (2)由(1)可知，函数 f(x)共有 4 种可能，从中随机抽取两个，有 6 种抽法 函数 f(x)在(1，f(1)处的切线的斜率为 f(1)ab， 这两个函数中的 a 与 b 之和应该相等，而只有(2,3)，(4,1)这 1 组满足， 1 概率为 . 6 14(2016山东高考)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动参加活动的儿 童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针 所指区域中的数设两次记录的数分别为 x，y.奖励规则如下： 若 xy3，则奖励玩具一
13、个； 4 若 xy8，则奖励水杯一个； 其余情况奖励饮料一瓶 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀小亮准备参加此项活动 (1)求小亮获得玩具的概率； (2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由 解：用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间 与点集 S(x， y)|xN，yN,1x4,1y4一一对应 因为 S 中元素的个数是 4416， 所以基本事件总数 n16. (1)记“xy3”为事件 A，则事件 A 包含的基本事件数共 5 个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)， (2,1)，(3,1) 5 5 所以 P(A) ，即小亮获得玩具的概率为 . 16 16 (2)“记xy8”为事件 B“， 3xy8”为事件 C. 则事件 B 包含的基本事件数共 6 个，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)所 6 3 以 P(B) . 16 8 事件 C 包含的基本事件数共 5 个， 即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1) 5 3 5 所以 P(C) .因为 ， 16 8 16 所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率 5