《2018年高考数学总复习高考达标检测四十二圆锥曲线的综合问题_最值范围证明理201709164102.wps》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018年高考数学总复习高考达标检测四十二圆锥曲线的综合问题_最值范围证明理201709164102.wps（8页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、高考达标检测（四十二）圆锥曲线的综合问题最值、范围、证明 x2 y2 1设 F 是椭圆 C： 1(ab0)的左焦点，直线 l 为其左准线，直线 l 与 x 轴交于点 a2 b2 P，线段 MN 为椭圆的长轴，已知|MN|8，且|PM|2|MF|. (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)若过点 P 的直线与椭圆相交于不同两点 A，B，求证：AFMBFN. 解：(1)|MN|8， a4， a2 又|PM|2|MF|，得 a2(ac)， c 1 整理得 2e23e10e 或 e1(舍去) 2 c2，b2a2c212， x2 y2 椭圆的标准方程为 1. 16 12 (2)证明：当 AB 的斜率为 0
2、 时， 显然AFMBFN0.满足题意 当 AB 的斜率不为 0 时，点 P(8,0)，F(2,0)， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 AB 的方程为 xmy8， 代入椭圆方程整理得： (3m24)y248my1440， 则 (48m)24144(3m24)， 48m 144 y1y2 ，y1y2 . 3m24 3m24 y1 y2 kAFkBF x12 x22 y1 y2 my16 my26 2my1y26y1y2 my16my26 144 6 48m 2m 3m24 3m24 0， my16my26 kAFkBF0，从而AFMBFN. 综上可知：恒有AFMBFN. 2(2017
3、大庆模拟)已知抛物线 y24x 的焦点为 F，过点 F 的直线交抛物线于 A，B 两 点 1 (1)若 AF 2 FB ，求直线 AB 的斜率； (2)设点 M 在线段 AB 上运动，原点 O 关于点 M 的对称点为 C，求四边形 OACB 面积的最小 值 解：(1)依题意知 F(1,0)，设直线 AB 的方程为 xmy1. 将直线 AB 的方程与抛物线的方程联立，消去 x 得 y24my40. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 所以 y1y24m，y1y24. 因为 AF 2 FB ， 所以 y12y2. 2 联立和，消去 y1，y2，得 m . 4 所以直线 AB 的斜率是 2 2
4、. (2)由点 C 与原点 O 关于点 M 对称，得 M 是线段 OC 的中点，从而点 O 与点 C 到直线 AB 的 距离相等，所以四边形 OACB 的面积等于 2SAOB. 1 因为 2SAOB2 |OF|y1y2| 2 y1y224y1y24 1m2， 所以当 m0 时，四边形 OACB 的面积最小，最小值是 4. x2 3(2017贵阳适应性考试)已知椭圆 C1： y21(a1)的长轴长、短轴长、焦距分别 a2 为|A1A2|，|B1B2|，|F1F2|，且|F1F2|2是|A1A2|2与|B1B2|2的等差中项 (1)求椭圆 C1的方程； 2 (2)若曲线 C2的方程为(xt)2y2
5、(t2 3t)2(0t 2)，过椭圆 C1左顶点的直线 l 与曲线 C2相切，求直线 l 被椭圆 C1截得的线段长的最小值 解：(1)由题意得|B1B2|2b2，|A1A2|2a， |F1F2|2c，a2b2c2， 又 2(2c)2(2a)222，解得 a23，c22， x2 故椭圆 C1的方程为 y21. 3 (2)由(1)知，可取椭圆 C1的左顶点为 A1( 3，0)， 设直线 l 的方程为 yk(x 3) |kt 3| 由直线 l 与曲线 C2相切得 (t )t， 3 k21 2 |k| 整理得 t. k21 2 |k| 2 又 0t ，所以 0 ，解得 0k21. 2 k21 2 由E
6、rror! 消去 y，整理得(3k21)x26 3k2x9k230. 直线 l 被椭圆 C1截得的线段一端点为 A1( 3，0)， 设另一端点为 B，解方程可得点 B 的坐标为 3 3k2 3 2 3k ( 3k21) ， ， 3k21 3 3k2 3 12k2 所以|A1B| ( 3) 2 3k21 3k212 2 3 k21 . 3k21 令 m k21(1m 2)， 2 3m 2 3 则|A1B| . 3m211 2 3m m 2 2 由函数 y3m 的性质知 y3m 在区间(1， 2上是增函数， m m 2 6 所以当 m 2 时，y3m 取得最大值 2 ，从而|A1B|min . 2
7、 m 2 x2 y2 4(2017沈阳质量监测)已知椭圆 1(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，且|F1F2| a2 b2 6，直线 ykx 与椭圆交于 A，B 两点 (1)若AF1F2的周长为 16，求椭圆的标准方程； 2 (2)若 k ，且 A，B，F1，F2四点共圆，求椭圆离心率 e 的值； 4 (3)在(2)的条件下，设 P(x0，y0)为椭圆上一点，且直线 PA 的斜率 k1(2，1)，试求 直线 PB 的斜率 k2的取值范围 解：(1)由题意得 c3， 根据 2a2c16，得 a5. 结合 a2b2c2，解得 a225，b216. x2 y2 所以椭圆的方程为 1. 25 1
8、6 1 (2)法一：由Error!得 (b x2a2b20. 2 a2) 8 设 A(x1，y1)，B(x2，y2) 3 a2b2 所 以 x1x20，x1x2 ， 1 b2 a2 8 由 AB，F1F2互相平分且共圆， 易知，AF2BF2， 因为 F2A (x13，y1)， F2B (x23，y2)， 所以 F2A F2B (x13)(x23)y1y2 1 (18 )x1x290. 即 x1x28， a2b2 所以有 8， 1 b2 a2 8 结合 b29a2， 解得 a212(a26 舍去)， 3 所以离心率 e . 2 (若设 A(x1，y1)，B(x1，y1)相应给分) 法二：设 A(
9、x1，y1)，又 AB，F1F2互相平分且共圆， 所以 AB，F1F2是圆的直径， 所以 x21y219， 又由椭圆及直线方程综合可得：Error! 由前两个方程解得 x218，y211， 将其代入第三个方程并结合 b2a2c2a29， 3 解得 a212，故 e . 2 x2 y2 (3)由(2)的结论知，椭圆方程为 1， 12 3 由题可设 A(x1，y1)，B(x1，y1)， y0y1 y0y1 k1 ，k2 ， x0x1 x0x1 y20y21 所以 k1k2 ， x20x21 x20 x21 3(112)3(112) y 20 y21 1 又 ， x20x21 x20x21 4 4 1 即 k2 ， 4k1 1 1 由2k11 可知， k2 . 8 4 1 1 即直线 PB 的斜率 k2的取值范围是( . ，4 ) 8 5