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1、误差理论与测量平差基础,测绘工程学院 鲍建宽,第4章 平差数学模型 与最小二乘原理,第四章平差数学模型与最小二乘原理,本章教学内容,4-1 测量平差概述 4-2 函数模型 4-3 函数模型的线性化 4-4 测量平差的数学模型 4-5 参数估计与最小二乘原理 4-6 综合练习题,要求： 掌握各类控制网必要元素的数目与类型和多余元素数的计算方法；平差数学模型的概念、最小二乘原理及其应用,重点： 必要起算数据、必要观测个数的确定；平差的数学模型及其线性化方法；最小二乘法,第四章平差数学模型与最小二乘原理,4-1 测量平差概述,测量的目的：确定某些几何量的大小 确定相应的几何模型,*注* 确定一个几何
2、模型，并不需要知道该模型中所有元素的大小，而只需要知道其中部分元素的大小就行了，其它元素可以通过它们来确定。,一、确定模型的必要元素,、必要元素（量）：能够唯一确定一个几何模型所必须知道的元素。其个数用tm表示,必要元素的获取途径：本次测量值、往次测量成果,*注*,例1：确定三角形形状与大小，只需知道其中任意的两角一边、两边一角或三边三个量就可以了 。,必要元素的个数tm只取决于模型本身，个数与类型 所有的必要元素都是彼此函数独立的量，不能互替 模型中所有的量都是必要元素的函数 模型中作为必要元素的“量”不是唯一的,3、必要起算元素或配置元素：在唯一确定一个几何模型的tm个必要元素中，不能通过
3、本次测量作业测定的量。其数目用t0表示。可见有： tm t t0,2、必要观测量（元素）：为了能够唯一确定一个几何模型所必须测量的元素。其个数用t表示，称为必要观测个数。,*注* 必要观测量的类型，与测量技术与设备有关。在同一模型中，有些量当前测量不了,例2 确定三角形形状和大小， tm3，如果只测角度，则t=2, t0 =1：若只测边， t=， t0 =,4、多余观测元素(量)：为及时发现测量中的错误，除必要观测量外还要观测的其它量。其个数用r表示，称为多余观测个数,5、观测值总数用n表示, r=n-t,在一个几何模型中， 除tm 个独立量外，若再增加一个量，在必然要产生一个相应的函数关系式
4、。如（例）中增加为3个角度，则,条件方程,4-1 测量平差概述,二、多余观测与条件方程,*注* 一个几何模型中， 如果有r()个多余观测，就产生r个条件方程。可见，在列条件方程前，先确定必要观测数 t tmt0,由于观测值不可避免地存在观测误差，由观测值组成上述条件方程必不能满足，即,造成条件方程不闭合，或者说存在闭合差。,由于,则有,条件方程,求出一组真误差(改正数)，消除闭合差平差,4-1 测量平差概述,三、常用测量控制网必要观测个数的确定,1测站方向观测,目的：确定各个目标的方向（方位）,观测值（量）：角度,必要起算元素：一边的方位角t0 =1,* 若没有已知方位角，可以假设一边的方位角
5、, 必要观测值个数：t= tmt0 =总方向数1（多余的起算元素个数）,2.(平面)测角三角网,目的：确定网中各点在坐标系中的坐标,观测值(量)：网中各内角的角度,必要起算元素：一点坐标、一边方位和边长， 等价于两点坐标。t0 =4,* 若没有已知点和已知方位，可以假设,必要观测数：t= 2(总点数2)多余的起算元素个数,3.(平面)测边三角网,目的：确定网中各点的坐标,观测值(量)：网中各点间距离,必要起算元素：一点坐标、一边方位，t0 =3,* 若没有已知点和已知方位，可以假设,必要观测值个数：t= 2总点数3 多余的起算元素个数,4.(平面)边角三角网,目的：确定网中各点的坐标,观测值(
6、量)：网中的角度和边长,必要起算元素：一点坐标、一边方位，t0 =3,若没有已知点，可以假设一点坐标、一边方位,必要观测值个数：t= 2总点数3 多余的起算元素个数,5高程控制网（水准网）,目的：确定网中各点的高程,观测值(量)：网中两点间的高差,必要起算元素：一点的高程，t0 =1,* 若没有已知点，可以假设一点的高程,必要观测值个数：t= 总点数1 多余的起算元素个数,常用控制网的必要起算数据个数与类型,据起算数据情况，把控制网分为：,自由控制网：不足或仅有必要的起算数据 附和控制网：有多余的起算数据,4-1 测量平差概述,四、计算t和r的例题,1水准网,2.测角网,(a),(b),多余观
7、测个数：r =n - t,当 n t 时，不能确定平差问题的模型 n = t 时，能确定模型，但无检核、有无粗差不知 n t 时，有多余观测，因观测误差使观测值间产 生矛盾，使模型出现多解。,通过平差处理，让观测值的平差值之间满足相应的条件关系，消除矛盾，获取模型的唯一最优解。,五、多余观测与平差的关系,4-2 测量平差的数学模型,平差数学模型包括： 函数模型和随机模型两个部分。,函数模型是指模型(几何、物理)中量(观测量、未知参数)的真值(或期望值)之间的函数关系式。,随机模型是指描述观测值的先验精度及其相关性的特征。常用观测值的方差阵或协因数阵或权阵表示。,函数关系式有线性非线性之分； 线
8、性函数模型与非线性函数模型(线性化后处理)。,一、函数模型,1.条件平差的函数模型,条件方程,一般的：,一、函数模型,1.条件平差的函数模型,若有平差问题，观测向量为L、权阵为P，其中必要观测个数为t个，多余观测个数为r=nt，则产生r个条件式：,值得注意： 条件方程的个数等于多余观测数r 各条件式之间必需是线性无关的（独立） 一个平差问题中,条件形式不唯一,选取形式最简为易。,闭合差,t=2，选2个参数，这两个参数可以确定模型。函数模型：,一、函数模型,2.间接平差(参数平差)的函数模型,一般的：,选择t个函数独立的参数： ，这些参数刚好能够确定模型。则函数模型为：,线性情况下,一、函数模型
9、,2.间接平差(参数平差)的函数模型,一、函数模型,3.附有参数的条件平差的函数模型,条件方程个数r+u=c个,一般的：,在具体平差问题中,观测次数n，必要观测次数t，则多余观测次数r,再增加u个独立参数,且 0 u t ，则总共有r +u = c个条件方程，一般形式是：,线性情况下,一、函数模型,3.附有参数的条件平差的函数模型,4、附有限制条件的间接平差法的函数模型,选择u个参数： ，u t，且包含t个函数独立的参数。则多选择的s =ut 个参数必然是 t个独立参数的函数，亦即u 个参数之间存在s 个函数关系 。函数模型为：,线性形式是,选择u个参数： ，其中有s个不独立参数，且不包含t个
10、函数独立的参数。则u 个参数之间存在s 个函数关系 。函数模型为：,线性形式,5、附有限制条件的条件平差法模型,4-2 测量平差的数学模型,平差数学模型包括： 函数模型和随机模型两个部分。,函数模型是指模型(几何、物理)中量(观测量、未知参数)的真值(或期望值)之间的函数关系式。,随机模型是指描述观测值的先验精度及其相关性的特征。常用观测值的方差阵或协因数阵或权阵表示。,函数关系式有线性非线性之分； 线性函数模型与非线性函数模型(线性化后处理)。,设有函数,设,由于 和是微小量。对非线性函数进行Talay展开，只保留一阶项，于是有：,若令,4-3 函数模型的线性化,则函数F 的线性形式是：,线
11、性化方法：把L和X0代入式子算出常数项，再加微分。,平差的最终目的都是对参数 和观测量 （或）作出某种估计，并评定其精度。,一、参数估计及其最优性质,4-4 最小二乘原理,设有参数 ，其真值为 、估计值为 。最优估计量具有的性质：,无偏性,则称 为 的无偏估计量。,一致性,则称 为 的一致估计量。n为子样容量, 任意小正数,则称 为 的严格一致估计量。,有效性,如果两个无偏估计量 和 ，满足,则称 比 有效。,则 为 的最有效估计量，称为最优估计量。,具有无偏性、最优性的估计量必然是一致性估计量,4-4 最小二乘原理,二、最小二乘法,例,求一组最优解，满足,观测值的残差，改正数,观测值的平差值,最小二乘法的表达式,同精度独立最小二乘法：,加权最小二乘法：,广义最小二乘法：,练习题,1 几何模型的必要元素与什么有关？必要元素就是必要观测元 素吗？为什么？ 2 平差问题存在的条件是什么? 3 为什么要进行多余观测？ 4 水准网、测角三角网、测边三角网、边角网的必要起算数据 个数分别是几个？都分别是什么量？ 5 写出每种平差方法的函数模型及数学模型。 6 测量平差的函数模型和随机模型分别表示那些量之间的什么 关系？ 7 最小二乘法的一般表达式？,8 确定下图控制网中的必要观测个数t,