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1、2.2.22.2.2 平面与平面平行的判定 1.通过图形探究平面与平面平行的判定定理及其性质定理. 教学 2.熟练掌握平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用. 目标 3.进一步培养学生的空间想象能力,以及逻辑思维能力. 教学重、 教学重点:平面与平面平行的判定与性质. 难点 教学难点:平面与平面平行的判定. 教学 多媒体课件 准备 导入新课 三角板的一条边所在直线与桌面平行，这个三角板所在的平面与桌面 平行吗？三角板的两条边所在直线分别与桌面平行，情况又如何呢？下面 我们讨论平面与平面平行的判定问题. 提出问题 回忆空间两平面的位置关系. 欲证线面平行可转化为线线平行，欲判定面面平行可如何转
2、化？ 找出恰当空间模型加以说明. 用三种语言描述平面与平面平行的判定定理. 教学过 应用面面平行的判定定理应注意什么？ 程 利用空间模型探究：如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一 个平面内的直线具有什么位置关系？ 回忆线面平行的性质定理，结合模型探究面面平行的性质定理. 用三种语言描述平面与平面平行的性质定理. 应用面面平行的性质定理的难点在哪里？ 应用面面平行的性质定理口诀是什么？ 活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学 生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路. 问题引导学生回忆两平面的位置关系. 问题面面平行可转化为线面平行. 问题借助模型锻
3、炼学生的空间想象能力. 1 问题引导学生进行语言转换. 问题引导学生找出应用平面与平面平行的判定定理容易忽视哪个条件. 问题引导学生画图探究，注意考虑问题的全面性. 问题注意平行与异面的区别. 问题引导学生进行语言转换. 问题作辅助面. 问题引导学生自己总结，把握面面平行的性质. 讨论结果：如果两个平面没有公共点，则两平面平行 若 =, 则 . 如果两个平面有一条公共直线，则两平面相交 若 =AB,则 与 相交. 两平面平行与相交的图形表示如图 1. 图 1 由两个平面平行的定义可知：其中一个平面内的所有直线一定都和另一 个平面平行.这是因为在这些直线中，如果有一条直线和另一平面有公共 点，这
4、点也必是这两个平面的公共点，那么这两个平面就不可能平行了. 另一方面，若一个平面内所有直线都和另一个平面平行，那么这两个 平面平行，否则，这两个平面有公共点，那么在一个平面内通过这点的直 线就不可能平行于另一个平面. 由此将判定两个平面平行的问题转化为一个平面内的直线与另一个 平面平行的问题，但事实上判定两个平面平行的条件不需要一个平面内的 所有直线都平行于另一平面，到底要多少条直线（且直线与直线应具备什 么位置关系）与另一面平行，才能判定两个平面平行呢？ 如图 2,如果一个平面内有一条直线与另一个平面平行，两个平面不一定 平行. 2 图 2 例如：AA 平面 AADD,AA平面 DCCD;但
5、是,平面 AADD 平面 DCCD=DD. 如图 3,如果一个平面内有两条直线与另一个平面平行，两个平面也不一定 平行. 图 3 例 如 ： AA 平 面 AADD,EF 平 面 AADD,AA 平 面 DCCD,EF平面 DCCD;但是,平面 AADD平面 DCCD=DD. 如图 4,如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面 一定平行. 图 4 例 如 ： AC 平 面 ABCD,BD 平 面 ABCD,AC平面 ABCD,BD平面 ABCD;直线 AC与直线 BD相交. 可以判定,平面 ABCD平面 ABCD. 两个平面平行的判定定理： 如果一个平面内有两条相交直线都平行
6、于另一个平面，那么这两个平面平 行. 以上是两个平面平行的文字语言，另外面面平行的判定定理的符号语言为： 若 a ，b ，ab=A,且 a,b，则 . 图形语言为：如图 5, 3 图 5 利用判定定理证明两个平面平行，必须具备： ()有两条直线平行于另一个平面; ()这两条直线必须相交. 尤其是第二条学生容易忽视，应特别强调. 如图 6,借助长方体模型，我们看到，BD所在的平面 AC与平面 AC 平行，所以 BD与平面 AC没有公共点.也就是说，BD与平面 AC内 的所有直线没有公共点.因此，直线 BD与平面 AC 内的所有直线要么是 异面直线，要么是平行直线. 图 6 直线与平面平行的性质定
7、理用文字语言表示为： 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那 么这条直线和交线平行. 因为，直线 BD与平面 AC内的所有直线要么是异面直线，要么是平行 直线，只要过 BD作平面 BDDB与平面 AC 相交于直线 BD，那么直线 BD与直线 BD 平行. 如图 7. 图 7 两个平面平行的性质定理用文字语言表示为： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. 4 / 两个平面平行的性质定理用符号语言表示为： a b ab. 两个平面平行的性质定理用图形语言表示为：如图 8. 图 8 应用面面平行的性质定理的难点是：过某些点或直线作一个平面. “应用线面
8、平行性质定理的口诀： 见到面面平行，先过某些直线作两个 平面的交线.” 应用示例 例 1 已知正方体 ABCDA1B1C1D1，如图 9,求证：平面 AB1D1平面 BDC1. 图 9 活动：学生自己思考或讨论，再写出正确的答案.教师在学生中巡视学生 的解答，发现问题及时纠正,并及时评价. 证明：ABCDA1B1C1D1为正方体， D1C1A1B1,D1C1=A1B1. 又ABA1B1,AB=A1B1, D1C1AB,D1C1=AB. 四边形 ABC1D1为平行四边形. AD1BC1. 又 AD1 平面 AB1D1，BC1 平面 AB 1D1， BC1平面 AB1D1. 同理，BD平面 AB1
9、D1. 5 又 BDBC1=B，平面 AB1D1平面 BDC1. 变式训练 如图 10,在正方体 ABCDEFGH 中， M、N、P、Q、R 分别是 EH、EF、 BC、CD、AD的中点，求证：平面 MNA平面 PQG. 图 10 证明：M 、N 、P 、Q 、R 分别是 EH 、EF 、BC 、CD 、AD 的中点， MNHF,PQBD.BDHF, MNPQ. PRGH,PR=GH;MHAR,MH=AR,四边形 RPGH 为平行四边形，四边形 ARHM 为平行四边形. AMRH,RHPG.AMPG. MNPQ,MN 平面 PQG,PQ 平面 PQG,MN平面 PQG. 同理可证，AM平面 P
10、QG.又直线 AM与直线 MN 相交， 平面 MNA平面 PQG. 点评：证面面平行，通常转化为证线面平行，而证线面平行又转化为证线 线平行，所以关键是证线线平行. 例 2 证明两个平面平行的性质定理. 解：如图 11,已知平面 、 、 满足 ,=a,=b, 求 证:ab. 图 11 证明：平面 平面 , 平面 和平面 没有公共点. 6 又 a ，b , 直线 a、b 没有公共点. 又=a，=b, a ，b .ab. 变式训练 如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行. 解：已知 ，求证：. 证明：如图 12，作两个相交平面分别与 、 交于 a、c、e 和 b、 d、f, 图
11、12 / / a / c b / d c / e d / f a / b / / e f a / b / /. 知能训练 已知：a、b 是异面直线，a 平面 ,b 平面 ，a，b. 求证：. 证明：如图 13,在 b 上任取点 P，显然 Pa.于是 a 和点 P 确定平面 ， 且 与 有公共点 P. 图 13 设 =a，a，aa.a. 7 这样 内相交直线 a和 b 都平行于 ，. 拓展提升 1.如图 14，两条异面直线 AB、CD与三个平行平面 、 分别相交于 A、E、B 及 C、F、D，又 AD、BC与平面的交点为 H、G. 图 14 求证：EHFG为平行四边形. 平面ABC 证明：平面 ABC / AC EG ACEG.同理,ACHF. AC AC / / EG HF EGHF.同理,EHFG.故 EHFG 是平行四边形. 课堂小结 知识总结：利用面面平行的判定定理和面面平行的性质证明线面平行. 方法总结：见到面面平行,利用面面平行的性质定理转化为线线平行,本节 “”是 转化思想 的典型素材. 作业 课本习题 2.2 A 组 7、8. 板书设 计 教学反 思 8