《安徽省宿松县2016_2017学年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2.3.1直线与平面垂直的判.wps》由会员分享，可在线阅读，更多相关《安徽省宿松县2016_2017学年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2.3.1直线与平面垂直的判.wps（7页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2.3.12.3.1 直线与平面垂直的判定 1.探究直线与平面垂直的判定定理，培养学生的空间想象能力. 教学 2.掌握直线与平面垂直的判定定理的应用，培养学生分析问题、解决问题 目标 的能力. 3.让学生明确直线与平面垂直在立体几何中的地位. 教学重、 教学重点:直线与平面垂直的判定. 难点 教学难点:灵活应用直线与平面垂直判定定理解决问题. 教学 多媒体课件 准备 导入新课 如果一条直线垂直于一个平面的无数条直线，那么这条直线是否与这 个平面垂直？举例说明. 如图 1，直线 AC1与直线 BD、EF、GH等无数条直线垂直，但直线 AC1 与平面 ABCD 不垂直. 教学过 程 图 1 提出问
2、题 探究直线与平面垂直的定义和画法. 探究直线与平面垂直的判定定理. 用三种语言描述直线与平面垂直的判定定理. 探究斜线在平面内的射影，讨论直线与平面所成的角. 探究点到平面的距离. 活动: :问题引导学生结合事例观察探究. 问题引导学生结合事例实验探究. 问题引导学生进行语言转换. 问题引导学生思考其合理性. 1 问题引导学生回忆点到直线的距离得出点到平面的距离. 讨论结果：直线与平面垂直的定义和画法： 教师演示实例并指出书脊（想象成一条直线）、各书页与桌面的交线，由 于书脊和书页底边（即与桌面接触的一边）垂直，得出书脊和桌面上所有 直线都垂直，书脊和桌面的位置关系给了我们直线和平面垂直的形
3、象.从 而引入概念：一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们说这条直线 和这个平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面.过一 点有且只有一条直线和一个平面垂直；过一点有且只有一个平面和一条直 线垂直.平面的垂线和平面一定相交，交点叫做垂足.直线和平面垂直的画 法及表示如下： 如图 2，表示方法为：a. 图 2 图 3 如图 3,请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起做一个实验：过ABC 的顶点 A 翻折纸片，得折痕 AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD,DC 与桌面接触）. (1)折痕 AD与桌面垂直吗？ (2)如何翻折才能使折痕 AD与桌面所在的平面 垂直？ 容易发现，当
4、且仅当折痕 AD是 BC 边上的高时，AD 所在直线与桌面所在的 平面 垂直. 如图 4. (1) (2) 图 4 所以，当折痕 AD 垂直平面内的一条直线时，折痕 AD与平面 不垂 2 直，当折痕 AD 垂直平面内的两条直线时，折痕 AD与平面 垂直. 直线和平面垂直的判定定理用文字语言表示为： 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂 直于这个平面. a b 直线和平面垂直的判定定理用符号语言表示为： l a l b a b P l. 直线和平面垂直的判定定理用图形语言表示为：如图 5, 图 5 图 6 斜线在平面内的射影. 斜线：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面
5、垂直时，这条直线就叫 做这个平面的斜线. 斜足：斜线和平面的交点. 斜线在平面内的射影：从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和 斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影. 直线与平面相交，直线与平面的相互位置类同于两条相交直线，也需 要用角来表示，但过交点在平面内可以作很多条直线.与平面相交的直线 l 与平面内的线 a、b所成的角是不相等的.为了定义的确定性，我们必须 找到一些角中有确定值的，又能准确描述其位置的一个角，这就是由斜线 与其在平面内的射影所成的锐角作为直线和平面所成的角. 平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线 和这个平面所成的角. 特别地：如果一条直线垂
6、直于平面，我们说它们所成的角为直角. 3 一条直线和平面平行或在平面内，我们说它们所成的角为0.如图6， l 是平面 的一条斜线，点 O 是斜足，A 是 l 上任意一点，AB是 的垂 线，点 B 是垂足，所以直线 OB（记作 l）是 l 在 内的射影，AOB（记 作 ）是 l 与 所成的角. 直线和平面所成的角是一个非常重要的概念，在实际中有着广泛的应 用，如发射炮弹时，当炮筒和地面所成的角为多少度时，才能准确地命中 目标，也即射程为多远？又如铅球运动员在投掷时，以多大的角度投掷， 投出的距离最远？ 点到平面的距离:经过一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面内 的射影，点在平面内的射影还是一
7、个点. 垂线段：上述的点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段. 点到平面的距离：垂线段的长叫做点到平面的距离. 应用示例 例 1 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于 同一个平面. 解：已知 ab，a.求证：b. 图 7 证明：如图 7,在平面 内作两条相交直线 m、n，设 mn=A. * 变式训练 如图 8,已知点 P 为平面 ABC 外一点，PABC ，PCAB ，求证：PBAC. 图 8 证明：过 P 作 PO平面 ABC于 O，连接 OA、OB、OC. 4 PO平面 ABC，BC 平面 ABC，POBC. 又PABC，BC平面 PAO. 又OA 平面 PAO，
8、BCOA. 同理,可证 ABOC.O 是ABC 的垂心.OBAC.可证 POAC. AC平面 PBO.又 PB 平面 PBO，PBAC. 点评：欲证线面垂直需要转化为证明线线垂直，欲证线线垂直往往转化为 线面垂直.用符号语言证明问题显得清晰、简洁. 例 2 如图 9,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，求直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成 的角. 图 9 活动：先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的 学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路. 解：连接 BC1交 B1C 于点 O，连接 A1O.设正方体的棱长为 a， 因为 A1B1B1C1,A1B1
9、B1B,所以 A1B1平面 BCC1B1. 所以 A1B1BC1. 又因为 BC1B1C，所以 BC1平面 A1B1CD. 所以A1O 为斜线A1B 在平面A1B1CD内的射影，BA1O 为直线A1B 与平面A1B1CD 所成的角. 2 在 RtA1BO 中,A1B= 2a ,BO= a 2 1 ,所以 BO= A B ,BA1O=30. 1 2 因此,直线 A1B 和平面 A1B1CD所成的角为 30. 变式训练 如图 10，四面体 ABCD 的棱长都相等，Q 是 AD 的中点，求 CQ 与平 面 DBC 所成的角的正弦值. 5 图 10 解：过 A 作 AO面 BCD，连接 OD、OB、O
10、C，则可证 O 是BCD 的中心, 作 QPOD,QPAO,QP面 BCD. 连接 CP，则QCP 即为所求的角. 3 设四面体的棱长为 a，在正ACD 中，Q 是 AD的中点,CQ= a 2 . QPAO，Q 是 AD的中点, 1 2 2 ，得 1 3 1 6 6 QP= AO a ( a) a a 2 2 3 2 3 6 sinQCP= QP CQ 2 3 . 点评：求直线与平面所成的角，是本节的又一重点，作线面角的关键是找 出平面的垂线. 课堂小结 知识总结：利用面面垂直的性质定理找出平面的垂线，然后解决证明垂直 问题、平行问题、求角问题、求距离问题等. 思想方法总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转 化为平面问题. 作业 课本习题 2.2 B 组 3、4. 板书设 计 教学反 思 6