《安徽省宿松县2017届高三数学一轮复习第10讲任意角的三角函数及诱导公式教案20170914430.wps》由会员分享，可在线阅读，更多相关《安徽省宿松县2017届高三数学一轮复习第10讲任意角的三角函数及诱导公式教案20170914430.wps（23页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、任意角的三角函数及诱导公式 1任意角、弧度 了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化； 教 2 三角函数 学 （1 ）借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义； 目 （2）借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（/2, 的正弦、余弦、正 标 切） 。 从近几年的新课程高考考卷来看，试题内容主要考察三角函数的图形与性质，但解 决这类问题的基础是任意角的三角函数及诱导公式，在处理一些复杂的三角问题时，同 命 角的三角函数的基本关系式是解决问题的关键。 题 预测 2017 年高考对本讲的考察是： 走 1题型是 1 道选择题和解答题中小过程； 向 2热点内容是三角函数知识的综合应
2、用和实际应用，这也是新课标教材的热点内容。 教 学 多媒体课件 准 备 1 教 一知识梳理： 学 1任意角的概念 过 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。一 程 条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角 。旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫 的顶点。 为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转 所形成的角叫负角。如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。 2终边相同的角、区间角与象限角 角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合。那么
3、，角的终边（除端点外） 在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就 认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角。 终边相同的角是指与某个角 具有同终边的所有角，它们彼此相差 2k(kZ)， 即 |=2k+，kZ，根据三角函数的定义，终边相同的角的各种三角函数值 都相等。 区间角是介于两个角之间的所有角，如 | 6 5 6 = 6 ， 5 6 。 3弧度制 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度角，记作 1rad ，或 1 弧度，或 1(单 位可以省略不写)。 角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-，-2 等等，一般地, 正角的弧度数是一
4、个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 0,角的正负主要 由角的旋转方向来决定。 角 的弧度数的绝对值是： l ，其中，l 是圆心角所对的弧长， r 是半径。 r 角度制与弧度制的换算主要抓住180 rad 。 弧度与角度互换公式：1rad 180 57.30=5718 、1 0.01745 180 （rad）。 弧长公式：l | | r （ 是圆心角的弧度数）， 1 1 扇形面积公式： S l r | | r 2 。 2 2 4三角函数定义 2 在 的终边上任取一点 P(a,b) , 它与原点的距离 r a2 b2 0 . 过 P 作 x 轴的 MP b 垂线,垂足为 M ,则线段
5、OM 的长度为 a ,线段 MP 的长度为 b .则 sin ； OP r cos 。 ； tan MP b OM a OP r OM a 利用单位圆定义任意角的三角函数，设 y 是 一 个 任 意 角 , 它 的 终 边 与 单 位 圆 交 于 点 a 的终边 P(x, y),那么: P(x,y) (1)y 叫 做 的 正 弦 , 记 做 sin , 即 sin y ； O x （2 ） x 叫做 的余弦, 记做 cos , 即 cos x ； （3） y x 叫做 的正切,记做 tan ,即 tan y (x 0) 。 x 5三角函数线 三角函数线是通过有向线段直观地表示出角 y 的各种三
6、角函数值的一种图示方法。利用三角函 a 角 的 终 数线在解决比较三角函数值大小、解三角方程及 P T 三角不等式等问题时，十分方便。 以坐标原点为圆心，以单位长度 1 为半径画 O x M A 一个圆，这个圆就叫做单位圆（注意：这个单位 长度不一定就是 1 厘米或 1 米）。当角 为第一象 限 角 时 ， 则 其 终 边 与 单 位 圆 必 有 一 个 交 点 P(x, y)，过 点 P 作 PM x 轴 交 x 轴 于 点 M ，根 据 三 角 函 数 的 定 义 ： | MP | y | sin |；| OM | x | cos |。 我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当
7、角 的终边不在坐标轴时, 以O 为始点、 M 为终点，规定： 当线段OM 与 x 轴同向时，OM 的方向为正向，且有正值 x ；当线段OM 与 x 轴反 向时，OM 的方向为负向，且有正值 x ；其中 x 为 P 点的横坐标.这样,无论那种情况都 有 3 OM x cos 同理,当角 的终边不在 x 轴上时,以 M 为始点、 P 为终点， 规定：当线段 MP 与 y 轴同向时， MP 的方向为正向，且有正值 y ；当线段 MP 与 y 轴反向时， MP 的方向为负向，且有正值 y ；其中 y 为 P 点的横坐标。 这样,无论那种情况都有 MP y sin 。像 MP、OM 这种被看作带有方向的
8、线段， 叫做有向线段。 如上图,过点 A(1, 0) 作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与 的终边交于 点 T ,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段OA、AT ,我们有 tan AT y x 我们把这三条与单位圆有关的有向线段 MP、OM、AT ,分别叫做角 的正弦线、 余弦线、正切线，统称为三角函数线。 6同角三角函数关系式 使用这组公式进行变形时，经常把“切”、“割”用“弦”表示，即化弦法，这是三 角变换非常重要的方法。 几个常用关系式：sin+cos，sin-cos，sincos；(三式之间可以互相 表示) 同理可以由 sincos 或 sincos 推出其余两
9、式。 2 1 sin 1 sin 2 当 x0, 2 时，有sin x x tan x 。 7诱导公式 “可用十个字概括为 奇变偶不变，符号看象限”。 诱导公式一：sin( 2k ) sin ， cos( 2k ) cos ，其中 k Z 诱导公式二： sin(180o ) sin ； cos(180o ) cos 4 诱导公式三： sin() sin ； cos() cos 诱导公式四：sin(180o ) sin ； cos(180o ) cos 诱导公式五：sin(360o ) sin ； cos(360o ) cos 2 2k k 2 sin sin sin sin sin sin c
10、os cos cos cos cos cos cos sin （1）要化的角的形式为 k 180o （ k 为常整数）； （2）记忆方法：“函数名不变，符号看象限”； （3）sin(k+)=(1)ksin；cos(k+)=(1)kcos(kZ)； （4）sin x cos x cos x 4 4 4 ； cos x sin x 4 4 。 二典例分析 考点一：角的集合表示及象限角的判定 典题导入 已知角 45， (1)在7200范围内找出所有与角 终边相同的角 ； (2)设集合 MError!， NError!，判断两集合的关系 (1)所有与角 有相同终边的角可表示为： 45k360(kZ Z
11、)， 则令72045k3600)，则 tan 的最小值为( ) A1 B2 1 C. D. 2 2 2 2 (2)(2012大庆模拟)已知角 的终边上一点 P 的坐标为(sin ，cos 3 )，则角 3 的最小正值为( ) 6 5 2 A. B. 6 3 5 11 C. D. 3 6 t21 1 (1)根据已知条件得 tan t 2，当且仅当 t1 时，tan 取得最小 t t 值 2. 2 3 (2)由题意知点 P 在第四象限，根据三角函数的定义得 cos sin ，故 3 2 11 2k (kZ Z)，所以 的最小正值为 . 6 6 (1)B (2)D 由题悟法 定义法求三角函数值的两种
12、情况 (1)已知角 终边上一点 P 的坐标，则可先求出点 P 到原点的距离 r，然后利用三角 函数的定义求解 (2)已知角 的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到 原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题若直线的倾斜角为特殊角，也 可直接写出角 的三角函数值 以题试法 3 2(1)(2012东莞调研)已知角的终边与单位圆的交点P(x， 2)，则tan ( ) A. 3 B 3 3 C. D 3 3 3 4 (2) (2012潍坊质检)已知角 的终边经过点 P(m，3)，且 cos ，则 m 等 5 于( ) 11 11 A B. 4 4 C4 D4 3 解析： (1)选 B 由|OP|2x2 1， 4 1 得 x ，tan 3. 2 m 4 (2)选 C 由题意可知，cos ， m29 5 又 m0，Error!或Error! B 为钝角或 C 为钝角，故ABC 为钝角三角形 板 书 设 计 教 学 反 思 13 14