《安徽省宿松县2017届高三数学一轮复习第17讲数列概念及等差数列教案20170914423.wps》由会员分享，可在线阅读，更多相关《安徽省宿松县2017届高三数学一轮复习第17讲数列概念及等差数列教案20170914423.wps（15页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、数列概念及等差数列 1数列的概念和简单表示法；通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单 教 的表示方法（列表、图像、通项公式），了解数列是一种特殊函数； 学 2通过实例，理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式与前 n 项和的 目 公式； 标 3能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题。 体会等差数列与一次函数的关系。 数列在历年高考都占有很重要的地位，一般情况下都是一至二个客观性题目和一个 解答题。对于本将来讲，客观性题目主要考察数列、等差数列的概念、性质、通项公式、 命 前 n 项和公式等基本知识和基本性质的灵活应用，对基本的计算技能要求比较高。
2、 题 预测 2014年高考： 走 1题型既有灵活考察基础知识的选择、填空，又有关于数列推导能力或解决生产、 向 生活中的实际问题的解答题； 2知识交汇的题目一般是数列与函数、不等式、解析几何、应用问题联系的综合 题，还可能涉及部分考察证明的推理题。 教 学 多媒体课件 准 备 1 一知识梳理： 1数列的概念 （1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列； 数列中的每个数都叫这个数列的项。记作a ，在数列第一个位置的项叫第 1 项 n （或首项），在第二个位置的叫第 2项，序号为 n 的项叫第 n 项（也叫通项） 记作 a ； n 数列的一般形式： a ， a ， 1 2 a ， 3 a ，简
3、记作 a 。 n n （2）通项公式的定义：如果数列a 的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公 n 式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。 教例如，数列的通项公式是 a = n （ n 7， n N ），数列的通项公式是 a n n 学 过 = 1 n （ n N ）。 程说明： a 表示数列， n a 表示数列中的第 n 项， n a = f n表示数列的通项 n 公 式 ； 同 一 个 数 列 的 通 项 公 式 的 形 式 不 一 定 唯 一 。 例 如 ，a = (1)n = n n k 1, 2 1 ( ) k Z 1,n 2k ； 不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.
4、4， 1.41，1.414， （3）数列的函数特征与图象表示： 序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的 映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集 N （或它的有限子集）的 函 数 f (n) 当 自 变 量 n 从 1 开 始 依 次 取 值 时 对 应 的 一 系 列 函 数 值 f (1), f (2), f (3), ， f (n) ，通常用 a 来代替 f n，其图象是一群孤立 n 2 点。 （4）数列分类：按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；按数 列项与项之间的大小关系分：单调
5、数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。 （5）递推公式定义：如果已知数列 a 的第 1 项（或前几项），且任一项 a n n 与它的前一项 a （或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就 n 1 叫做这个 数列的递推公式。 2等差数列 （1）等差数列定义：一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项 的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差， 公 差 通 常 用 字 母 d 表 示 。 用 递 推 公 式 表 示 为a a 1 d(n 2) 或 n n a 1 a d(n 1)。 n n a a n d ； 1 ( 1) （2）等
6、差数列的通项公式： n 说明：等差数列（通常可称为 A P 数列）的单调性： d 0 为递增数列， d 0 为常数列， d 0 为递减数列。 （3）等差中项的概念： 定义：如果 a ， A ， b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项。其中 A a b a ， A ，b 成等差数列 2 A a b 。 2 n(a a ) n(n 1) （4）等差数列的前 n 和的求和公式： S 1 na d n 。n 1 2 2 二典例分析 (2012天津南开中学月考)下列公式可作为数列an：1,2,1,2,1,2，的通项公 式的是( ) 1n1 Aan1 Ban 2 n 1n13 Can2|s
7、in 2 | Dan 2 3 n 由 an2|sin 2 |可得 a11，a22， a31，a42，. C 若本例中数列变为：0,1,0,1，则an的一个通项公式为_ 答案： 1 1n 1cos n anError!(或a 或an n 2 ) 2 由题悟法 1根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项 与 n 之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项 公式来求对于正负符号变化，可用(1)n 或(1)n1来调整 2根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特 殊到一般”的思想 以题试法 1写出下面数列的一个通项公式
8、 (1)3,5,7,9，； 1 3 7 15 31 (2) ， ， ，； 2 4 8 16 32 (3)3,33,333,3 333，； 3 1 3 1 3 (4)1， ， ，. 2 3 4 5 6 解：(1)各项减去 1 后为正偶数，所以 an2n1. 2n1 (2)每一项的分子比分母少 1，而分母组成数列 21,22,23,24，所以 an . 2n 9 99 999 9999 (3)将数列各项改写为 ， ， ， ，分母都是 3，而分子分别是 101,102 3 3 3 3 1,1031,1041，. 1 所以 an (10n1) 3 (4)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式的符号为(1)
9、n；各项绝对值的分母组成 数列 1,2,3,4，；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为 1，偶数项为 3，即奇 数项为 21，偶数项为 21， 4 2 1n 所以 an(1)n ，也可写为 n anError! 由 an 与 Sn 的关系求通项 an 典题导入 已知数列an的前 n 项和 Sn，根据下列条件分别求它们的通项 an. (1)Sn2n23n；(2)Sn3n1. (1)由题可知，当 n1 时，a1S1212315， 当 n2 时，anSnSn1(2n23n)4n1. 当 n1 时，4115a1，故 an4n1. (2)当 n1 时，a1S1314， 当 n2 时， anSnSn1
10、(3n1)(3n11)23n1. 当 n1 时，23112a1， 故 anError! 由题悟法 已知数列an的前 n 项和 Sn，求数列的通项公式，其求解过程分为三步： (1)先利用 a1S1求出 a1； (2)用 n1 替换 Sn 中的 n 得到一个新的关系，利用 anSnSn1(n2)便可求出当 n2 时 an 的表达式； (3)对 n1 时的结果进行检验，看是否符合 n2 时 an 的表达式，如果符合，则可 以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分 n1 与 n2 两段来写 以题试法 n 1 2(2012聊城模拟)已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sn ，则 ( ) n1 a
11、5 5 6 A. B. 6 5 1 C. D30 30 n n1 1 1 解 析：选 D 当 n2 时，anSnSn1 ，则 a5 n1 n nn1 5 6 1 . 30 数列的性质 5 典题导入 已知数列an的通项公式为 ann221n20. (1)n 为何值时，an 有最小值？并求出最小值； (2)n 为何值时，该数列的前 n 项和最小？ 21 361 21 (1)因为 ann221n20(n 2)2 ，可知对称轴方程为 n 10.5.又因 n 4 2 N N*，故 n10或 n11时，an 有最小值，其最小值为 11221112090. (2)设数列的前 n 项和最小，则有 an0，由
12、n221n200，解得 1n20，故数 列an从第 21项开始为正数，所以该数列的前 19 或 20项和最小 an 在本例条件下，设 bn ，则 n 为何值时，bn 取得最小值？并求出最小值 n an n221n20 20 解：bn n 21， n n n 20 20 令 f(x)x 21(x0)，则 f(x)1 ，由 f(x)0 解得 x2 5 或 x x x2 2 5(舍)而 40， 则 Sm 最小，这样便可直接利用各项的符号确定最值. 以题试法 n 3(2012江西七校联考)数列an的通项an ，则 数列an中的最大值是( ) n290 A3 10 B19 1 C. D. 19 10 6
13、0 6 1 1 1 解 析：选 C an ，由基本不等式得， ，由于 nN N*，易知当 n9 90 90 2 90 n n n n 1 或 10时，an 最大 19 在数列an中，a13，an2an12n3(n2，且 nN N*) (1)求 a2，a3的值； an3 (2)设 bn (nN N*)，证明：bn是等差数列 2n (1)a13，an2an12n3(n2，且 nN N*)，a22a12231，a32a2 23313. (2)证明：对于任意 nN N*， an13 an3 1 1 bn1 bn 1， 2n1 2n 2n1 2n1 a13 33 数列bn是首项为 0，公差为 1 的等差
14、数列 2 2 由题悟法 1证明an为等差数列的方法： (1)用定义证明：anan1d(d 为常数，n2) an为等差数列； (2)用等差中项证明：2an1anan2 an为等差数列； (3)通项法：an 为 n 的一次函数 an为等差数列； na1an (4) 前 n 项和法：SnAn2Bn 或 Sn . 2 2用定义证明等差数列时，常采用的两个式子 an1and 和 anan1d，但它 们的意义不同，后者必须加上“n2”，否则 n1 时，a0无定义 以题试法 1已知数列an的前 n 项和 Sn 是 n 的二次函数，且 a12，a22，S36. (1)求 Sn； (2)证明：数列an是等差数列
15、 解：(1)设 SnAn2BnC(A0)， 则Error! 解得 A2，B4，C0.故 Sn2n24n. (2)证明：当 n1 时，a1S12. 当 n2 时，anSnSn12n24n4n6. an4n6(nN N*)an1an4， 数列an是等差数列. 7 等差数列的基本运算 典题导入 (2012重庆高考)已知an为等差数列，且 a1a38，a2a412. (1)求an的通项公式； (2)记an的前 n项和为 Sn，若 a1，ak，Sk2成等比数列，求正整数 k的值 (1)设数列an的公差为 d，由题意知 Error!解得Error! 所以 ana1(n1)d22(n1)2n. na1an
16、n22n (2)由(1)可得 Sn n(n1) 2 2 因为 a1，ak，Sk2成等比数列，所以 a2ka1Sk2. 从而(2k)22(k2)(k3)，即 k25k60， 解得 k6 或 k1(舍去)，因此 k6. 由题悟法 na1an 1等差数列的通项公式 ana1(n1)d及前 n项和公式 Sn na1 2 nn1 d，共涉及五个量 a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方 2 程的思想 2数列的通项公式和前 n项和公式在解题中起到变量代换作用，而 a1 和 d是等差 数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法 以题试法 2(1)在等差数列中，已知 a610， S
17、55，则 S8_. S4 S3 (2)(2012江西联考)设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 1，则公差为 12 9 _ 解析：(1)a610，S55， Error! 解方程组得Error! 则 S88a128d8(5)28344. 4 3 3 2 (2)依题意得 S44a1 d4a16d，S33a1 d3a13d，于是有 2 2 4a16d 3a13d 1，由此解得 d6，即公差为 6. 12 9 8 答案：(1)44 (2)6 等差数列的性质 典题导入 (1)等差数列an中， 若 a1a4a739，a3a6a927，则前 9 项和 S9等于( ) A66 B99 C144 D297
18、(2)(2012天津模拟)设等差数列an的前 n 项和 Sn，若 S48，S820，则 a11a12 a13a14( ) A18 B17 C16 D15 (1)由等差数列的性质及 a1a4a739，可 得 3a439，所以 a413.同理 ，由 a3a6 a927，可得 a69. 9a1a9 9a4a6 所以 S9 99. 2 2 (2)设an的公差为d，则a5a6a7a8S8S412，(a5a6a7a8)S416d， 1 解得 d ，a11a12a13a14S440d18. 4 (1)B (2)A 由题悟法 1等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前 n 项和公式等基础知识的 推广与变
19、形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列 问题 2应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系 以题试法 3(1)(2012江西高考)设数列an，bn都是等差数列，若 a1b17，a3b3 21，则 a5b5_. (2)(2012海淀期末)若数列an满足：a119，an1an3(nN N*)，则数列an 的前 n 项和数值最大时，n 的值为( ) A6 B7 C8 D9 解 析：(1)设两等差数列组成的和数列为cn，由题意知新数列仍为等差数列且 c1 7，c321，则 c52c3c1221735. 9 (2)an1an3，数列an是以 19为首项，3 为
20、公差的等差数列，an19 (n1)(3)223n.设前 k 项和最大，则有Error!即Error! 19 22 解得 k .kN N*，k7.故满足条件的 n 的值为 7. 3 3 答案：(1)35 (2)B 数列概念及等差数列 1数列的概念 （1）数列定义 （2）通项公式的定义 （3）数列的函数特征与图象表示 板 （4）数列分类： 书 （5）递推公式定义 设 2 等差数列 计 （1）等差数列定义 * a 1 a d(n N ) 。 n n a a n d ； 1 ( 1) （2）等差数列的通项公式： n （3）等差中项的概念： n(a a ) n(n 1) （4）等差数列的前 n 和的求和公式： S 1 n na d 。 n 1 2 2 10 等差数列是数列的一种常见类型，是研究、解决较复杂数列问题的基础，在复习时，要让 教 学生主动复习相关概念、公式及性质，熟练掌握相关内容。 学 递推公式在考题中经常出现，除由递推公式计算数列的前几项，由递推公式求通项公式是 反 数列中常考题型，应让学生熟练掌握项与和的关系。 思 对等差数列求最值问题，学生应引导学生概况总结求解的各种情况，这样既可以是学生更 好地把握等差数列的概念，也能把不同的知识串起来，提高学生分析问题、解决问题的能力。 11