安徽省宿松县2017届高三数学一轮复习第18讲等比数列教案20170914422.wps

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1、等比数列 教 1通过实例，理解等比数列的概念； 学 2探索并掌握等差数列的通项公式与前 n 项和的公式； 目 3能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。体会等比 标 数列与指数函数的关系。 等比数列与等差数列同样在高考中占有重要的地位，是高考出题的重点。客观性的试题考察 等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等基础知识和基本性质的灵活应用，对基本的运算 命 要求比较高，解答题大多以数列知识为工具。 题 预测 2017年高考对本讲的考察为： 走 （1）题型以等比数列的公式、性质的灵活应用为主的 12 道客观题目； 向 （2）关于等比数列的实际应用问题或知识交汇题

2、的解答题也是重点； （3）解决问题时注意数学思想的应用，象通过逆推思想、函数与方程、归纳猜想、等价转 化、分类讨论等，它将能灵活考察考生运用数学知识分析问题和解决问题的能力。 教 学 多媒体课件 准 备 1等比数列的有关概念 (1)定义 教 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列 学 a n 1 就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比 ，通常用字母 q 表示，定义的表达式为 a n 过 q ( q 0 ， n N N*) 程 (2)等比中项 如果 a、G、b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项即：G 是 a 与 b 的等比中项G

3、2 ab “a，G，b ”“成等比数列 是 G 是 a 与 b ”的等比中项 的充分不必要条件 2等比数列的有关公式 (1)通项公式：ana1qn1 1 na 1 ，q1， (2)前 n 项和公式：Sna1（1qn） a1anq 1q 1q ，q 1.) 3等比数列的性质 已知数列an是等比数列，Sn是其前 n 项和(m，n，p，q，r，kN N*) (1)若 mnpq2r，则 amanap aqa 2r ； (2)数列 am，amk，am2k，am3k，仍是等比数列； (3)数列 Sm，S2mSm，S3mS2m，仍是等比数列(此时an的公比 q1) 1辨明三个易误点 (1)由于等比数列的每一

4、项都可能作分母，故每一项均不为 0，因此 q 也不能为 0，但 q 可为 正数，也可为负数 (2)由 an1qan，q0，并不能立即断言an为等比数列，还要验证 a10. (3)在运用等比数列的前 n 项和公式时，必须注意对 q1 与 q1 分类讨论，防止因忽略 q 1 这一特殊情形而导致解题失误 2等比数列的三种判定方法 an1 (1)定义： q(q 是不为零的常数，nN N*) an是等比数列 an (2)通项公式：ancqn1(c、q 均是不为零的常数， nN N*) an是等比数列 (3)等比中项法：an21anan2(anan1an20，nN N*) an是等比数列 3求解等比数列的

5、基本量常用的思想方法 (1)方程的思想：等比数列的通项公式、前 n 项和公式中联系着五个量：a1，q，n，an，Sn， 已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是 a1与 q，在解题中根据已 知条件建立关于 a1与 q 的方程或者方程组，是解题的关键 (2)分类讨论思想：在应用等比数列前 n 项和公式时，必须分类求和，当 q1 时，Snna1； a1（1qn） 当 q1 时，Sn ；在判断等比数列单调性时，也必须对 a1与 q 分类讨论 1q 1(2014高考重庆卷)对任意等比数列an，下列说法一定正确的是( ) Aa1，a3，a9成等比数列 Ba2，a3，a6成等比数列

6、 Ca2，a4，a8成等比数列 2 Da3，a6，a9成等比数列 a6 a9 解析：选 D.设等比数列的公比为 q，因为 q3，即 a26a3a9，所以 a3，a6，a9成等比数 a3 a6 列故选 D. 2(2015高考全国卷 )已知等比数列an满足a13，a1a3a521，则a3a5a7( ) A21 B42 C63 D84 解析：选 B.因为 a13，a1a3a521，所以 33q23q421. 所以 1q2q47.解得 q22 或 q23(舍去) 所以 a3a5a7q2(a1a3a5)22142.故选 B. 3(必修 5 P58练习 T2改编)设等比数列an的前 n 项和为 Sn.若

7、S23，S415，则 S6( ) A31 B32 C63 D64 解 析：选 C.由等比数列的性质，得(S4S2)2S2(S6S4)，即 1223(S615)，解得 S6 63.故选 C. 4(必修 5 P54习题 2.4A组 T8(1)改编)在 9 与 243 中间插入两个数，使它们同这两个数成 等比数列，则这两个数为_ 解析：设该数列的公比为 q，由题意知， 2439q3，得 q327，所以 q3. 所以插入的两个数分别为 9327，27381. 答案：27，81 5(2015高考全国卷 )在数列an中，a12，an12an，Sn 为an的前 n 项和若 Sn 126，则 n_ 解析：因为

8、 a12，an12an， 所以数列an是首项为 2，公比为 2 的等比数列 2（12n） 又因为 Sn126，所以 126，所以 n6. 12 答案：6 考点一 等比数列的基本运算(高频考点) 等比数列的基本运算是高考的常考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度适中， 属中、低档题 高考对等比数列的基本运算的考查常有以下三个命题角度： (1)求首项 a1、公比 q 或项数 n； 3 (2)求通项或特定项； (3)求前 n 项和 (1)(2015高考湖南卷)设 Sn 为等比数列an的前 n 项和若 a11，且 3S1，2S2，S3 成等差数列，则 an_ (2)(2015高考安徽卷)已知

9、数列an是递增的等比数列，a1a49，a2a38，则数列an 的前 n 项和等于_ (1)因为 3S1，2S2，S3成等差数列，所以 4S23S1S3，即 4(a1a2)3a1a1a2a3.化 a3 简，得 3，即等比数列an的公比 q3，故 an13n13n1. a2 a18， a1a1q39， a11， (2)设等比数列的公比为 q，则有 解得 或 . ) aq38， ) q2 ) 1 q 2 12n a11， 又an为递增数列，所以q2， )所以 Sn 2n1. 12 (1)3n1 (2)2n1 等比数列基本运算的解题技巧 (1)求等比数列的基本量问题，其核心思想是解方程(组)，一般步骤

10、是：由已知条件列出 以首项和公比为未知数的方程(组)；求出首项和公比；求出项数或前 n 项和等其余量. a (2)设元的技巧，可减少运算量，如三个数成等比数列，可设为 ，a，aq(公比为 q)；四个数 q a a 成等比数列且 q0 时，设为 ，aq，aq3. q3 q 1.(1)(2016郑州第二次质量预测)设等比数列an的前n项和为Sn若，27a3a6 S6 0，则 _ S3 (2)(2016江苏省扬州中学期中测试)设等比数列an的各项均为正数，其前 n 项和为 Sn， 若 a11，a34，Sk63，则 k_ 解 析：(1)由题可知an为等比数列，设首项为 a1，公比为 q，所以 a3a1

11、q2，a6a1q5，所以 a1（1qn） 27a1q2a1q5，所以 q3，由 Sn ， 1q a1（136） a1（133） 得 S6 ，S3 ， 13 13 S6 a1（136） 13 所以 28. S3 13 a1（133） 4 a3 (2)设等比数列an的公比为 q，由已知 a11，a34，得 q2 4.又an的各项均为正数， a1 12k 所以 q2.而 Sk 63， 12 所以 2k163，解得 k6. 答案：(1)28 (2)6 考点二 等比数列的判定与证明 3 (2015高考广东卷节选)设数列an的前 n项和为 Sn，nN N*.已知 a11，a2 ，a3 2 5 ，且当 n2

12、 时，4Sn25Sn8Sn1Sn1. 4 (1)求 a4的值； 1 (2)证明：a an为等比数列 n1 2 3 5 3 3 5 (1)当 n2 时，4S45S28S3S1，即 4(1 5 8 4)1， a4) (12 ) (1 2 4 2 7 解得 a4 . 8 (2)证明：由4Sn25Sn8Sn1Sn1(n2)，得4Sn24Sn1SnSn14Sn14Sn(n2)， 即 4an2an4an1(n2) 5 因为 4a3a14 164a2， 4 所以 4an2an4an1， 1 an2 an1 2 4an22an1 4an1an2an1 所以 1 4an12an 4an12an an1 an 2

13、 2an1an 1 ， 2（2an1an） 2 1 1 1 所以数列a an是以 a2 a11 为首项， 为公比的等比数列 n1 2 2 2 在本例条件下，求数列an的通项公式 1 1 n1 解：由本例(2)知，an12an(2 ) ， an1 an 即 4. 1 n1 1 n (2 ) (2 ) 5 an a1 所以数列n是以 2 为首项，4 为公差的等差数列， 1 (2 ) 1 2 an 所以 24(n1)4n2， 1 n (2 ) 1 n1 即 an(2n1)(2 ) ， 1 n1 所以数列an的通项公式为 an(2n1)(2 ) . 证明数列an是等比数列常用的方法 an 一是定义法，

14、证明 q(n2，q为常数)；二是等比中项法，证明 a an1an1.若判断 n2 an1 一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法. 1 2.已知数列an是等差数列，a310，a622，数列bn的前 n项和是 Tn，且 Tn 3 bn1. (1)求数列an的通项公式； (2)求证：数列bn是等比数列 a12d10， 解：(1)设等差数列an的公差为 d，则由已知得a15d22，)解得 a12，d4. 所以 an2(n1)44n2. 1 (2)证明：由 Tn1 bn， 3 1 3 令 n1，得 T1b11 b1.解得 b1 ， 3 4 1 当 n2 时，Tn11 bn1， 3 1

15、 1 1 得 bn bn1 bn，所以 bn bn1， 3 3 4 bn 1 3 所以 ，又因为 b1 0， bn1 4 4 3 1 所以数列bn是以 为首项， 为公比的等比数列 4 4 考点三 等比数列的性质 1 (1)(2015高考全国卷 )已知等比数列an满足 a1 ，a3a54(a41)，则 a2 4 ( ) 6 A2 B1 1 1 C. D 2 8 1 1 (2)(2016昆明三中、玉溪一中统考)已知等比数列an中，a11，q2，则 Tn a1a2 a2a3 1 的结果可化为( ) anan1 1 1 A1 B1 4n 2n 2 1 2 1 C. D 3(14n) 3(12n) (1

16、)法一：因为 a3a5a24，a3a54(a41)， 所以 a244(a41)， 所以 a244a440， a4 2 所以 a42.又因为 q3 8， a1 1 4 1 1 所以 q2，所以 a2a1q 2 ，故选 C. 4 2 法二：因为 a3a54(a41)， 所以 a1q2a1q44(a1q31)， 1 将 a1 代入上式并整理，得 q616q3640， 4 解得 q2， 1 所以 a2a1q ，故选 C. 2 1 1 n 21(4 ) 1 1 1 1 1 2 (2)依题意，an 2n 1 ， ，所以 Tn anan1 2n12n 22n1 2 4n1 1 3 1 4 1 1(4 ) n

17、 ，故选 C. (1)C (2)C 等比数列常见性质的应用 等比数列性质的应用可以分为三类：(1)通项公式的变形；(2)等比中项的变形；(3)前 n 项 7 和公式的变形根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口. 3.(1)设等比数列an中，前 n项和为 Sn，已知 S38，S67，则 a7a8a9等 于( ) 1 1 57 55 A. B C. D. 8 8 8 8 a2a7 (2)设 Sn是等比数列an的前 n项和，S45S2，则 的值为( ) a A2 或1 B1 或 2 C1 或 2 D2 或1 解 析：(1)选 A.因为 a7a8a9S9S6，且 S3， S

18、6S3，S9S6也成等比数列，即 8，1，S9S6 1 成等比数列，所以 8(S9S6)1，即 S9S6 . 8 (2)选 D.由S45S2得a1a2a3a45(a1a2)，即a3a44(a1a2)，q2(a1a2)4(a1a2)， a2a7 a4a5 当 a1a20 时，公比 q1；当 a1a20 时，q2，所以 q，故选 D. a a 方法思想分类讨论思想在求数列前 n项和中的应用 (2016常州模拟)如果有穷数列 a1，a2，a3，am(m为正整数)满足条件 a1am，a2 am1，ama1，即 aiami1(i1，2，m)，我们称其为“对称数列”例如，数列 1， 2，3，4，3，2，1

19、 与数列 a，b，c，c，b，a“都是 对称数列” (1)设bn是 8 项的“对称数列”，其中 b1，b2，b3，b4 是等差数列，且 b11，b513.依次 写出bn的每一项； (2)设cn是 2m1 项的“对称数列”，其中 cm1，cm2，c2m1是首项为 a，公比为 q的 等比数列，求cn的各项和 Sn. (1)设数列 b1，b2，b3，b4的公差为 d，b4b13d13d. 又因为 b4b513，解得 d4， 所以数列bn为 1，5，9，13，13，9，5，1. (2)Snc1c2c2m12(cm1cm2c2m1)cm12a(1qq2qm)a 1qm1 2a a(q1) 1q 而当 q

20、1 时，Sn(2m1)a. （2m1）a，q1， 所以 Sna，q 1.) 1qm1 1q 2a (1)本题是新定义型数列问题，在求等比数列cn的前 n项和时用到了分类讨 8 论思想 (2)分类讨论思想在数列中应用较多，常见的分类讨论有： 已知 Sn与 an的关系，要分 n1，n2 两种情况； 项数的奇、偶数讨论； 等比数列的单调性的判断与 a1，q的取值的讨论 (2014高考山东卷)在等差数列an中，已知公差 d2，a2是 a1与 a4的等比中 项 (1)求数列an的通项公式； (2)设 bnan（n1），记 Tnb1b2b3b4(1)nbn，求 Tn. 2 解：(1)由题意知(a1d)2a

21、1(a13d)， 即(a12)2a1(a16)， 解得 a12， 所以数列an的通项公式为 an2n. (2)由题意知 bnan（n1）n(n1)， 2 所以 Tn122334(1)nn(n1) 因为 bn1bn2(n1)， 可得当 n为偶数时， Tn(b1b2)(b3b4)(bn1bn) n （42n） 2 n（n2） 48122n ， 2 2 （n1）（n1） （n1）2 当 n为奇数时，TnTn1(bn) n(n1) . 2 2 （n1）2 ，n为奇数， 2 所以 Tn，n为偶数. ) n（n2） 2 等比数列 板 1等比数列的有关概念 书 (1)定义 (2)等比中项 设 “a，G，b”

22、“成等比数列 是G是 a与 b”的等比中项 的充分不必要条件 计 2等比数列的有关公式 9 (1)通项公式：ana1qn1 na 1 ，q1， (2)前 n 项和公式：Sna1（1qn） a1anq 1q 1q ，q 1.) 3等比数列的性质 已知数列an是等比数列，Sn 是其前 n 项和(m，n，p，q，r，kN N*) (1)若 mnpq2r，则 amanap aqa 2r ； (2)数列 am，amk，am2k，am3k，仍是等比数列； (3)数列 Sm，S2mSm，S3mS2m，仍是等比数列(此时an的公比 q1) 等比数列的复习应与等差数列对照进行，这样既可以更好地使学生掌握等比数列的概念公式及相 教 关性质。等比数列与等差数列又存在一些不同的地方，复习时，引导学生进行对照分析，加深理解。 学 在涉及等比数列求和时，需提醒学生注意，在公比未知的情况下，应讨论。在只涉及少数几项的和时， 反 往往利用定义比利用求和公式方便。 思 学生在证明较复杂的数列是等比数列时，像例 2 那样的题目，还有一定的困难，后面还需要加强 训练。 10