《安徽省宿松县2017届高三数学一轮复习第6讲基本初等函数教案2017091444.wps》由会员分享，可在线阅读，更多相关《安徽省宿松县2017届高三数学一轮复习第6讲基本初等函数教案2017091444.wps（43页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、基本初等函数 1指数函数 （1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的 14C 的衰减，药物在人体内残留量的变 化等），了解指数函数模型的实际背景； （2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。 （3）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索 并理解指数函数的单调性与特殊点； （4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。 课 2对数函数 标 （1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用 要 对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用； 求 （2）通过具
2、体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念， 体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索 并了解对数函数的单调性与特殊点； 3知道指数函数 y a x 与对数函数 y loga x 互为反函数（a0，a1）。 1 4通过实例，了解幂函数的概念；结合函数 2 y x 2 , 3 , 1 , 的图像，了 , y x y x y x y x 解它们的变化情况。 指数函数、对数函数、幂函数是三类常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要的 地位。从近几年的高考形势来看，对指数函数、对数函数、幂函数的考查，大多以基本函数的 命 性质为依
3、托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题。为此，我们要熟练掌握指数、 题 对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。 走 预测 2017年对本节的考察是： 向 1题型有两个选择题和一个解答题； 2题目形式多以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考察函数的性质。同时 它们与其它知识点交汇命题，则难度会加大。 教 学 多媒体 准 1 备 要点精讲： 1指数与对数运算 （1）根式的概念： 定义：若一个数的 n 次方等于 a(n 1,且n N ) ，则这个数称 a 的 n 次方根。即若 xn ，则 x 称 a 的 n 次方根 n 1 且n N ) ， a 1）
4、当 n 为奇数时， a的n 次方根记作 n a ； 2）当 n 为偶数时，负数 a 没有 n 次方根，而正数 a 有两个 n 次方根且互为相反数，记作 n a(a 0) 。 性质：1） (n a)n a ；2）当 n 为奇数时， n an a ； 对于对 教 a(a 0) a | a | 3）当 n 为偶数时， n 。 a(a 0) 数的定 义和运 学 （2）幂的有关概念 算，通 过 程 规定：1） an a a a(n N N*；2） a0 1(a 0) ； 过复习 n 个 要让学 m 1 3） a p ( p Q Q，4） a n n am (a m、 n N N* 且 n 1) 。 0,
5、 a p 生熟练 把握， 性质：1） ar as ars (a 0,r 、 s Q Q）； 避免混 2） (ar )s ars (a 0,r 、 s Q Q）； 淆、用 错。 3） (a b)r ar br (a 0,b 0,r Q Q）。 （注）上述性质对 r、 s R R 均适用。 （3）对数的概念 定义：如果 a(a 0,且a 1)的 b 次幂等于 N，就是 ab N ，那么数b 称以 a 为底 N 的 对数，记作 loga N b, 其中 a 称对数的底，N 称真数。 1）以 10 为底的对数称常用对数， log N 记作 lg N ； 10 2 2）以无理数 e(e 2.71828
6、) 为底的对数称自然对数， log N ，记作 ln N ； e 基本性质： 1）真数 N 为正数（负数和零无对数）；2） log 1 0 a ； 3） log a 1 a a ；4）对数恒等式： alog N N 。 运算性质：如果 a 0,a 0,M 0, N 0, 则 1） loga (MN) log M log N ； a a M 2） loga log M log N ； a a N 3） loga M nlog M (n R R）。 n a log N 换底公式： ( 0, 0, 0, 1, 0), log N m a a m m N a log a m n 1） loga b l
7、og a 1；2） am log b log b 。 n b a m 2指数函数与对数函数 （1）指数函数： 定义：函数 y a x (a 0,且a 1) 称指数函数， 1）函数的定义域为 R R；2）函数的值域为 (0,) ； 3）当 0 a 1时函数为减函数，当 a 1时函数为增函数。 函数图像： 1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限； 3 2）指数函数都以 x 轴为渐近线（当 0 a 1时，图象向左无限接近 x 轴，当 a 1时，图 象向右无限接近 x 轴） ； 3）对于相同的 a(a 0,且a 1)，函数 y a x与y a x 的图象关于 y 轴对称。 函数值
8、的变化特征： 0 a 1 a 1 x 0时0 y 1， x 0时y 1， 学生利 用图像 x 0时y 1， x 0时y 1， 把握函 x 0 时y 1 x 0时0 y 1， 数性质 的意识 和能力 还不够 强，还 需教师 强调、 （2）对数函数： 定义：函数 y log x(a 0, a 1) a 且 称对数函数， 引导。 1）函数的定义域为 (0,) ；2）函数的值域为 R R； 3）当 0 a 1时函数为减函数，当 a 1时函数为增函数； 4）对数函数 y log x 与指数函数 y a x (a 0,且a 1) 互为反函数。 a 函数图像： 1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都
9、在第一、四象限； 4 2）对数函数都以 y 轴为渐近线（当 0 a 1时，图象向上无限接近 y 轴；当 a 1时， 图象向下无限接近 y 轴） ； 4）对于相同的 a(a 0,且a 1)，函数 y log x 与y x的图象关于 x 轴对称。 a log1 a 函数值的变化特征： 0 a 1 a 1 x 1时y 0 ， x 1时y 0 ， x 1时y 0 ， x 1 时y 0 ， 0 x 1时y 0 . x 0时0 y 1. 3幂函数 y x ( 0,1) 在第一象限的图象，可分为如图中的三类： 1 0 1 0 在考查学生对幂函数性的掌握和运用函数的性质解决问题时，所涉及的幂函数 y x 中
10、限于在集合 2， 1， ， ， ，1，2，3 中取值。 1 1 1 2 3 2 幂函数有如下性质： 它的图象都过（1，1）点，都不过第四象限，且除原点外与坐标轴都不相交； 定义域为 R 或 的幂函数都具有奇偶性，定义域为 R 或0， 的幂函数都不具有奇偶性； 5 幂函数 y x ( 0) 都是无界函数；在第一象限中，当 0时为减函数，当 0 时为增函数； 任意两个幂函数的图象至少有一个公共点（1，1），至多有三个公共点。 典例解析: : 1 1(教材习题改编)化简 (1)0的结果为( ) 2 A9 B7 C10 D9 1 解析： 选 B 原式(26) 17. 2 2(教材习题改编)函数 f(x
11、) 12x的定义域是( ) A( ，0 B 化简下列各式(其中各字母均为正数) 2 1 1 1 a b1 a b 3 2 2 3 (1) ； 6 ab5 7 10 2 37 (2)(29 ) 0.50.12(227 ) 30 . 3 48 1 1 1 1 a b a b 3 2 2 3 (1)原式 1 5 a b 6 6 1 1 1 1 1 5 1 a b . 3 2 6 2 3 6 a 25 1 1 64 2 37 5 9 37 (2)原式(9 )0.12(27 ) 3 100 3 100. 2 3 48 3 16 48 由题悟法 指数式的化简求值问题，要注意与其他代数式的化简规则相结合，遇
12、到同底数幂相乘或相 对幂函 除，可依据同底数幂的运算规则进行，一般情况下，宜化负指数为正指数，化根式为分数指数 数，当 幂对于化简结果，形式力求统一 指数大 以题试法 于零和 1计算： 1 1 7 1 (1)(0.027) ( ) ( ) 2 ( 21) ； 2 0 3 7 9 2 1 1 4ab13 (2)(4 ) . 2 1 0.12a3b3 2 小于零 的单调 性，可 引导学 6 27 1 1 25 1 解：(1)原式(1 000)3(1)2(7 ) 2(9 )1 2 生用导 10 5 49 145. 3 3 数给出 证明。 1 3 4 4 2 2 3 3 3 3 (2)原式 a a b
13、 b 100 2 2 2 2 4 4 a0b0 . 25 25 指数函数的图象及应用 典题导入 1 (2012四川高考)函数 yax (a0，且 a1)的图象可能是( ) a 1 法一：当 00，且 a1)的图象必过点(1,0)，所以选 D. a D 由题悟法 1与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称 变换得到其图象 2一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解 以题试法 7 1 2(1)(2012北京模拟)在同一坐标系中，函数 y2x 与 y(2 )x 的图象之间的关系是 ( ) A关于 y 轴对称 B关于 x 轴对称 C关
14、于原点对称 D关于直线 yx 对称 (2)方程 2x2x 的解的个数是_ 1 解析：(1)y(2 ) x2x，它与函数 y2x 的图象关于 y 轴对称 (2)方程的解可看作函数 y 2x 和 y 2x 的图象交点的横坐标分， 别作出这两个函数图象(如图) 由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解 答案：(1)A (2)1 指数函数的性质及应用 典题导入 2 已知函数 f(x)(3 ) |x|a.则函数 f(x)的单调递增区间为_，单调递减区间为 _ 2 令 t|x|a，则 f(x)(3 ) t， 不论 a 取何值，t 在( ，0上单调递减，在， 单调递减区间是 ( ，0 1 1(教材习题改编
15、)设 Ay|ylog2x，x1，By| y(2 ) x，0 0，By| 0，a1)的图象经过定点 A，则 A 点坐标是( ) 2 2 A.(0，3 ) B.(，0 ) 3 8 C(1,0) D(0,1) 解析：选 C 当 x1 时 y0. 3函数 ylg |x|( ) 学生在 A是偶函数，在区间( ，0)上单调递增 指数运 B是偶函数，在区间( ，0)上单调递减 算时， C是奇函数，在区间(0， )上单调递减 D是奇函数，在区间(0， )上单调递增 出现无 解 析：选 B ylg |x|是偶函数，由图象知在( ，0)上单调递减，在(0， )上单调 谓错误 递增 的情况 4(2012江苏高考)函
16、数 f(x) 12log6x的定义域为_ 较多， 1 解析：由 12log6x0，解得 log6x 0x ，故所求定义域为(0， 6 6 2 提醒学 答案：(0， 6 生，运 5(2012北京高考)已知函数 f(x)lg x，若 f(ab)1，则 f(a2)f(b2)_. 算时， 解 析：由 f(ab)1 得 ab10，于是 f(a2)f(b2)lg a2lg b22(lg alg b)2lg(ab) 过程尽 2lg 102. 可能细 答案：2 一点。 1.在运用性质 logaMnnlogaM 时，要特别注意条件，在无 M0 的条件下应为 logaMn nloga|M|(nN*，且 n 为偶数
17、) 2对数值取正、负值的规律： 当 a1 且 b1，或 00； 当 a1 且 01 时，logab0对数 函数的单调性和 a 的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按 01进行分类 讨论 对数式的化简与求值 典题导入 求解下列各题 1 32 4 (1) lg lg 8lg 245_； 2 49 3 1 1 (2)若 2a5bm，且 2，则 m_. a b 9 1 32 4 (1) lg lg 8lg 245 2 49 3 1 4 3 1 (5lg 22lg 7) lg 2 (lg 52lg 7) 2 3 2 2 5 1 lg 2lg 72lg 2 lg 5lg 7 2 2 1 1 1 1
18、 lg 2 lg 5 lg(25) . 2 2 2 2 (2)由 2a5bm 得 alog2m，blog5m， 1 1 logm2logm5logm10. a b 1 1 2， a b logm102，即 m210. 解得 m 10(m0) 1 (1) (2) 2 10 由题悟法 对数式的化简与求值的常用思路 (1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然 后正用对数运算法则化简合并 (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同 底对数真数的积、商、幂再运算 以题试法 3 1化简：(1)lg lg 70lg 3 lg23
19、lg 91； 7 lg 4lg 60 (2)(lg 3lg 5) 345211. 3 7 70 解：(1)原式lg 3 lg232lg 31 lg 10 lg 312 1|lg 31|lg 3. lg 4lg 4lg 15 (2)原式( lg 15 )3210211 lg 15 (lg 15 ) 321 10 3 . 2 对数函数的图象及应用 典题导入 (1)(2012烟台调研)函数 yln(1x)的图象大致为( ) 1 (2)(2012新课标全国卷)当 00，知 x1 时不满足条 件， (2)： 法一 1 1 当 0 ，所以 a 的取值范围为 . 2 2 1 1 1 法 二：04x1，01
20、时，如图， 要使 x(1,2)时 f1(x)(x1)2 的图象在 f2(x)logax 的图象下 方， 只需 f1(2)f2(2)，即(21)2loga2， 11 又即 loga21. 所以 10； 当 x0 对任意 xR 恒成立 显然 a0 时不合题意， 1 从而必有Error!即Error!解得 a . 3 1 即 a 的取值范围是(，). 3 (2)因为 f(1)1，所以 log4(a5)1，因此 a54，a1， 这时 f(x)log4(x22x3) 由x22x30 得10， 且 a1) 以题试法 3已知 f(x)loga(ax1)(a0且 a1) (1)求 f(x)的定义域； (2)判
21、断函数 f(x)的单调性 解：(1)由 ax10 得 ax1，当 a1 时，x0； 当 01 时，f(x)的定义域为(0， )； 当 01时，设 01 时，f(x)在(0， )上是增函数 类似地，当 0 . 20 3 4 ( 教材习题改编) 已知点M ( ，3)在幂函数f(x) 的图象上，则f(x) 的表达式为 3 _ 3 解析：设幂函数的解析式为 yx，则 3(3 )，得 2.故 yx2. 答案：yx2 5如果函数 f(x)x2(a2)xb(x)的图象关于直线 x1 对称，则函数 f(x)的最小 值为_ 解析：由题意知Error!得Error! 则 f(x)x22x6(x1)255. 答案：
22、5 1.幂函数图象的特点 (1)幂函数的图象一定会经过第一象限，一定不会经过第四象限，是否经过第二、三象 限，要看函数的奇偶性； (2)幂函数的图象最多只能经过两个象限内； (3)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点 2与二次函数有关的不等式恒成立问题 (1)ax2bxc0，a0 恒成立的充要条件是Error! (2)ax2bxc0 时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；1时，曲线下凸； 00时，图象是向下 凸的，结合选项知选 B. (2)(2013淄博模拟)若 a(2 )a(0.2)a B(0.2)a(2 )a2a 15 1 1 C.(2 ) a(0.2)a2a D2a
23、(0.2)a(2 )a 1 解析：选 B 若 a(2 )a0.所 1 以(0.2)a(2 )a2a. 求二次函数的解析式 典题导入 已知二次函数 f(x)有两个零点 0 和2，且它有最小值1. (1)求 f(x)解析式； (2)若 g(x)与 f(x)图象关于原点对称，求 g(x)解析式 (1)由于 f(x)有两个零点 0 和2， 所以可设 f(x)ax(x2)(a0)， 这时 f(x)ax(x2)a(x1)2a， 由于 f(x)有最小值1， 所以必有Error!解得 a1. 因此 f(x)的解析式是 f(x)x(x2)x22x. (2)设点 P(x，y)是函数 g(x)图象上任一点，它关于原
24、点对称的点 P(x，y)必在 f(x) 图象上， 所以y(x)22(x)， 即yx22x， yx22x， 故 g(x)x22x. 由题悟法 求二次函数的解析式常用待定系数法合理选择解析式的形式，并根据已知条件正确地列 出含有待定系数的等式，把问题转化为方程(组)求解是解决此类问题的基本方法 以题试法 2设 f(x)是定义在 R 上的偶函数，当 0x2 时，yx，当 x2 时，yf(x)的图象是顶 点为 P(3,4)，且过点 A(2,2)的抛物线的一部分 (1)求函数 f(x)在( ，2)上的解析式； (2)在下面的直角坐标系中直接画出函数 f(x)的草图； (3)写出函数 f(x)的值域 16
25、 解：(1)设顶点为 P(3,4)且过点 A(2,2)的抛物线的方程为 ya(x3)24，将(2,2)代入 第（2） 可得 a2， 小 题 ， 则 y2(x3)24， 引 导 学 即 x2 时，f(x)2x212x14. 生 画 图 当 x2. 分 析 ， 又 f(x)为偶函数，f(x)f(x)2(x)212x14， 即 f(x)2x212x14. 教 师 给 所以函数 f(x)在( ，2)上的解析式为 予 适 当 f(x)2x212x14. 指导。 (2)函数 f(x)的图象如图， (3)由图象可知，函数 f(x)的值域为( ，4 二次函数的图象与性质 典题导入 已知函数 f(x)x22ax
26、3，x (1)当 a2 时，求 f(x)的最值； (2)求实数 a 的取值范围，使 yf(x)在区间上是单调函数 (1)当 a2 时，f(x)x24x3(x2)21，由于 x 所以 f(x)在上单调递减，在上单调递增， 故 f(x)的最小值是 f(2)1，又 f(4)35，f(6)15，故 f(x)的最大值是 35. (2)由于函数 f(x)的图象开口向上，对称轴是 xa，所以要使 f(x)在上是单调函数，应 有a4 或a6，即 a6 或 a4. 故 a 的取值范围为( ，6， 17 且 f(x)Error! 故 f(|x|)的单调递增区间是(0,6， 单调递减区间是 由题悟法 解决二次函数图
27、象与性质问题时要注意： (1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不 定，要注意分类讨论 (2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上二次函数最值问题的求法 以题试法 3(2012泰安调研)已知函数 f(x)x22ax1a 在 x时有最大值 2，则 a 的值为 _ 解析：f(x)(xa)2a2a1， 当 a1 时，ymaxa； 当 0a1 时，ymaxa2a1； 当 a0 时，ymax1a. 根据已知条件Error!或Error!或Error! 解得 a2 或 a1. 答案：2 或1 二次函数的综合问题 典题导入 (2012衡水月考)已知函数 f(x)
28、x2，g(x)x1. (1)若存在 xR 使 f(x)0b4. 故 b 的取值范围为( ，0)(4， ) (2)F(x)x2mx1m2， m24(1m2)5m24. 2 5 2 5 当 0，即 m 时， 5 5 18 2 5 则必需Error! m0. 5 第 3 小 2 5 2 5 当 0，即 m 时，设方程 F(x)0 的根为 x1，x2(x12xm 恒成立，求实数 m 的取值范围 解：(1)由 f(0)1，得 c1.即 f(x)ax2bx1. 又 f(x1)f(x)2x， 则 a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2x， 即 2axab2x， 所以Error!解得Error! 因此，f
29、(x)x2x1. (2)f(x)2xm 等价于 x2x12xm，即 x23x1m0，要使此不等式在上恒成立， 只需使函数 g(x)x23x1m 在上的最小值大于 0 即可 g(x)x23x1m 在上单调递减， g(x)ming(1)m1， 由m10得，m1. 因此满足条件的实数 m 的取值范围是( ，1) 19 20 21 22 幂函数， 课 标 要 求不高， 复习时， 不 需 要 加 深 难 度。 23 24 25 二 次 函 数 虽 然 是 初 中 学 习 的 知 识 ， 但 高 中 也 会 常 常 涉 及 到 ， 尤 其 在 换 元 解 决 问 题 时 要用到， 复 习 时 不 能 一
30、笔带过。 26 27 28 基本初等函数 1指数与对数运算 板 （1）根式的概念： 书 1）当 n 为奇数时， a 的n 次方根记作 n a ； 例 1 设 2）当 n 为偶数时，负数 a 没有 n 次方根，而正数 a 有两个 计 n 次方根且互为相反数，记作 n a(a 0) 。 性质：1） (n a)n a ；2）当 n 为奇数时， n an a ； 例 2 29 ) a(a 0 3）当 n 为偶数时， n 。 a | a | a(a 0) （2）对数的概念 定义：如果 a(a 0,且a 1)的 b 次幂等于 N，就是 ab N ， 那么数b 称以 a 为底 N 的对数，记作 loga N
31、 b, 其中 a 称对数的底，N 称真数。 基本性质： 1）真数 N 为正数（负数和零无对数）；2） log 1 0 a ； 例 3 3） loga a 1；4）对数恒等式： aloga N 。 N 运算性质：如果 a 0,a 0,M 0, N 0, 则 例 4 1） loga (MN) log M log N ； a a M 2） a log M log N log ； a a N 3） loga M nlog M (n R R）。 n a log N 换底公式： log (a 0,a 0,m 0,m 1, N 0), N m a log a m n 1） log b log a 1 am log a ；2） log b b 。 n b a m 2指数函数与对数函数 （1）指数函数： 定义：函数 y a x (a 0,且a 1) 称指数函数， （2）对数函数： 定义：函数 y log x(a 0, a 1) a 且 称对数函数， 3幂函数 y x ( 0,1) 在第一象限的图象，可分为如图中的三类： 30 教 对数运算是学生高中学习的一种新的运算，要能通过复习，让学生能进行较简单的对数运算，但不需 学 要把难度提得太高。指数函数、对数函数，要求学生通过记图像来把握函数的 反 性质，并会利用图像分析解决问题。 思 31