《安徽省宿松县2017届高三数学一轮复习第9讲导数教案2017091441.wps》由会员分享，可在线阅读，更多相关《安徽省宿松县2017届高三数学一轮复习第9讲导数教案2017091441.wps（22页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、导数 1导数及其应用 （1）导数概念及其几何意义 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的 实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； 通过函数图像直观地理解导数的几何意义。 （2）导数的运算 能根据导数定义求函数 y=c，y=x，y=x2，y=x3，y=1/x，y=x 的导数； 教 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求 导数知识是 学 简单的复合函数（仅限于形如 f（ax+b）的导数； 高考重点之 目 会使用导数公式表。 一。需细致 标 （3）导数在研究函数中的应用 全面复习。 结合实例，借助几何直观
2、探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数 的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间； 结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过 三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值； 体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 （4）生活中的优化问题举例 例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。 导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知 识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样， 以选择题
3、、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式 命 和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值，估计 2017 年高 题 考继续以上面的几种形式考察不会有大的变化： 走 （1）考查形式为：选择题、填空题、解答题各种题型都会考察，选择题、填空题一般难度 向 不大，属于高考题中的中低档题，解答题有一定难度，一般与函数及解析几何结合，属于高考 的中低档题； （2）2017年高考可能涉及导数综合题，以导数为数学工具考察：导数的物理意义及几何意 义，复合函数、数列、不等式等知识。 1 教 学 多媒体课件 准 备 一知识梳理： 利用导数的 1导数的概念
4、 几何意义求 函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x 0 处有增量 x ，那 么函数 y 相应地有增量 y =f（x 0 处有增量 x ，那么函数 y 相应地有增量 y =f（x 0 +x ） 直线方程是 f （ x0 ）， 比 值 y x 叫 做 函 数 y=f（ x ） 在 x 0 到 x0 +x 之 间 的 平 均 变 化 率 ， 即 0 到 x0 +x 之 间 的 平 均 变 化 率 ， 即 y x = 高频考题， 需让学生理 f (x x) f (x ) 0 。 0 x 解、把握。 如果当 x 0 时， y x 有极限，我们就说函数 y=f(x)在点 x 0 处可导，并把这个极限
5、叫 做 f（x）在点 x 0 处的导数，记作 f（x0 ）或 y|x 。 x 0 即 f（x0 ）= y lim x0 x f (x x) f (x ) lim 0 。 0 = x x 0 教 说明： 学 过 （1）函数 f（x）在点 x 0 处可导，是指 x 0 时， y x 有极限。如果 y x 不存在极限， 程 就说函数在点 x0 处不可导，或说无导数。 （2） x 是自变量 x 在 x0 处的改变量， x 0时，而 y 是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数 y=f（x）在点 x 0 处的导数的步骤（可由学生来归纳）： （1）求函数的增量 y =f（x0 +x ）f（x
6、 0 ）； （2）求平均变化率 y x = f (x x) f (x ) 0 0 ； x （3）取极限，得导数 f(x0 )= y lim 。 x0 x 2导数的几何意义 函数 y=f（x）在点 x 0 处的导数的几何意义是曲线 y=f（x）在点 p（x0 ，f（x0 ） 处的切线的斜率。也就是说，曲线 y=f（x）在点 p（x 0 ，f（x0 ）处的切线的斜率是 f（x0 ）。 2 相应地，切线方程为 yy 0 =f /（x 0 ）（xx0 ）。 3常见函数的导出公式 （） (C) 0 （C 为常数） （） (xn ) n xn1 （） (sin x) cos x （） (cos x) si
7、n x 4两个函数的和、差、积的求导法则 法则 1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： (u v) u v. 法则 2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即： (uv) uv uv. 若 C 为常数,则 (Cu) C u Cu 0 Cu Cu .即常数与函数的积的导数等于常数乘 以函数的导数： (Cu) Cu. 法则 3 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积， u 再除以分母的平方： = v uv v 2 uv （v 0）。 5导数的应用 （1）一般地，设函数 y f
8、 (x)在某个区间可导，如果 f (x) 0，则 f (x) 为增函数；如 果 f (x) 0 ，则 f (x) 为减函数；如果在某区间内恒有 f (x) 0 ，则 f (x) 为常数； （2）曲线在极值点处切线的斜率为 0，极值点处的导数为 0；曲线在极大值点左侧切线的 斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正； （3）一般地，在区间上连续的函数 f(x) 在上必有最大值与最小值。求函数 (x) 在(a，b) 内的极值； 求函数 (x) 在区间端点的值 (a)、(b)； 将函数 (x) 的各极值与 (a)、(b) 比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。 二典例分
9、析 考点一：导数的概念 1 例 1已知 s= gt2 ，（1）计算 t 从 3 秒到 3.1 秒 、3.001 秒 、 3.0001秒.各段内平均 2 速度；（2）求 t=3 秒是瞬时速度。 3 解析：（1）3,3.1,t 3.1 3 0.1,t 指时间改变量； 1 1 s s(3.1) s(3) g3.12 g32 0.3059. s 指时间改变量。 2 2 s . 0 3059 v 3.059。 t 1 其余各段时间内的平均速度，事先刻在光盘上，待学生回答完第一时间内的平均速度后， 即用多媒体出示，让学生思考在各段时间内的平均速度的变化情况。 s t （2）从（1）可见某段时间内的平均速度
10、 随 t 变化而变化， t 越小， s 个定值，由极限定义可知，这个值就是 t 0 时， 的极限， t s t 越接近于一 V=lim x0 s t= lim x0 s(3 t) s(3) t 1 1 (3 t)2 g32 2g 2 lim x t 0 1 = g lim （6+t)=3g=29.4(米/秒)。 2 x0 4 例 2求函数 y= 的导数。 x 2 本题通过平 解析： 4 4 4x(2x x) y ， (x )2 x (x ) x 2 x x 2 2 均速度和瞬 时速度以让 y x 4 2x x x2 (x x) 2 ， 学生回顾、 把握导数的 l i m x x 0 l i m
11、 4 2 x x 2 ( x = - 8 x 3 。 引进。 x ) 2 点评：掌握切的斜率、 瞬时速度，它门都是一种特殊的极限，为学习导数的定义奠定基础。 考点二：导数的基本运算 1 1 例 3（1）求 x ) y x( 2 的导数； x x 3 1 （2）求 y ( x 1)( 1) 的导数； x （3）求 x x y x sin cos 的导数； 2 2 （4）求 y= x 2 sin x 的导数； 4 （5）求 y 3x2 x x 5 x 9 x 的导数。 3 1 2 2 解析：（1） y x 1 , y 3x . x x 2 3 1 1 1 1 （2）先化简, 2 y x x 1 x
12、 x 2 x x 1 1 . y 1 x 2 x 2 1 3 1 1 2 2 2 x x （3）先使用三角公式进行化简. x x 1 y x sin cos x sin 2 2 2 x 1 1 1 y x x x x x sin (sin ) 1 cos . 2 2 2 （4）y= ( 2 x )sin x x 2 x sin 2 * (sin x) = 2xsin x sin 2 x cos 2 x x ； 3 1 （5） y3x 2 x9x 2 3 y*（x 2 1 ）x (x 2 ）* 3 2 1 x *（ 2 1 2 3 ） 2 x 对基本的求 9 2 1 x(1 2 ) 。 1 x
13、点评：（1）求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样 导问题，学 生能很好掌 握，但对需 可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；（2）有的函数虽然表面形式为函数的商的形式， 要适当处理 但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导有时可以避免使用商的求 的函数，学 导法则，减少运算量。 生还有一点 考点三：导数的几何意义 例 4（1）若曲线 y x4 的一条切线l 与直线 x 4y 8 0垂直，则l 的方程为（ ） 困难，还要 再增加一点 A 4x y 3 0 B x 4y 5 0 C 4x y 3 0 D x 4y 3 0 带有一定变 （2）过点（
14、1，0）作抛物线 y x2 x 1的切线，则其中一条切线为（ ） 换的题目让 学生巩固。 （A） 2x y 2 0 （B）3x y 3 0 （C） x y 1 0 （D） x y 1 0 解析：（1）与直线 x 4y 8 0垂直的直线l 为 4x y m 0 ，即 y x4 在某一点的导 5 数为 4，而 y 4x3 ，所以 y x4 在(1，1)处导数为 4，此点的切线为 4x y 3 0 ，故选 A； （2） y 2x 1，设切点坐标为 (x , y ) ，则切线的斜率为 2 0 0 x0 1，且 y x2 x ， 0 0 0 1 于是切线方程为y x0 x0 1 (2x0 1)(x x0
15、 ) ，因为点（1，0）在切线上，可解得 2 x 0 0 或4，代入可验正 D 正确，选 D。 点评：导数值对应函数在该点处的切线斜率。 考点四：借助导数处理单调性、极值和最值 例 5（1）对于 R 上可导的任意函数 f（x），若满足（x1） f（x）0，则必有（ ） Af（0）f（2）2f（1） B. f（0）f（2）2f（1） Cf（0）f（2）2f（1） D. f（0）f（2）2f（1） （2）函数 f (x) 的定义域为开区间 (a,b)，导函数 f (x) 在 (a,b)内的图象如图所示，则函 数 f (x) 在开区间 (a,b)内有极小值点（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D
16、4 个 1 x f x e（3）已知函数 ax （3）已知函数 ax 1 x 。（）设 a 0 ，讨论 y f x 的单调性；（ ）若对 任意 x0,1恒有 f x1，求 a 的取值范围。 解析：（1）依题意，当 x1 时，f（x）0，函数 f（x）在（1，）上是增函数；当 x1 时，f（x）0，f（x）在（，1）上是减函数，故 f（x）当 x1 时取得最小值，即有 f （0）f（1），f（2）f（1），故选 C； （2）函数 f (x) 的定义域为开区间 (a,b)，导函数 f (x) 在 (a,b)内的图象如图所示，函数 f (x) 在开区间 (a,b)内有极小值的点即函数由减函数变为增函
17、数的点，其导数值为由负到正的 点，只有 1 个，选 A。 ax2 + 2a （3）：()f(x)的定义域为( ,1)(1,+).对f(x)求导数得 f (x)= eax。 (1x)2 2x2 () 当 a=2 时, f (x)= e 2x, f (x)在( ,0), (0,1)和(1,+) 均大于 0,所以 (1x)2 f(x)在( ,1), (1,+).为增函数； ()当 00, f(x)在( ,1), (1,+)为增函数.； a2 a2 a2 ()当 a2时, 0f(0)=1； 1 a2 ()当 a2时, 取 x0= (0,1),则由()知 f(x0)1且 eax1， 1x 1 + x 1
18、 + x 得：f(x)= e ax 1. 综上当且仅当 a( ,2 时, 对任意 x(0,1) 恒有 1x 1x f(x)1。 点评：注意求函数的单调性之前，一定要考虑函数的定义域。导函数的正负对应原函数增 减。 例 6（1） f (x) x3 3x2 2 在区间1, 1上的最大值是（ ） (A)2 (B)0 (C)2 (D)4 （2）设函数f(x)= 2x3 3(a 1)x2 1,其中a 1.（）求f(x)的单调区间；（ ）讨论f(x) 的极值。 解析：（1） f (x) 3x2 6x 3x(x 2) ，令 f (x) 0可得 x0 或 2（2 舍去 ）， 当1x0 时， f (x)0，当
19、0x1 时， f (x)0，所以当 x0 时，f（x）取得最大值为 2。选 C； （2）由已知得 f x xx a ，令 f (x) 0，解得 ( ) 6 ( 1)（2）由已知得 f x xx a ，令 f (x) 0，解得 x x a 。 1 0, 2 1 （ ）当 a 1 时， f (x) 6x2 ， f (x) 在 (,) 上单调递增； 当 a 1时， f (x) 6x x a 1 f (x), f (x) 随 x 的变化情况如下表： ， x (, 0) 0 (0,a 1) a 1 (a 1,) 7 f (x) + 0 0 f x Z 极大值 极小值 Z ( ) 从上表可知，函数 f (
20、x) 在 (,0)上单调递增；在 (0,a 1) 上单调递减；在 (a 1,)上 单调递增。 （ ）由（ ）知，当 a 1时，函数 f (x) 没有极值；当 a 1时，函数 f (x) 在 x 0 处取 得极大值，在 x a 1处取得极小值1 (a 1)3 。 点评：本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知 识解决实际问题的能力。 考点五：导数综合题 例 7设函数 f (x) x3 3x 2 分别在x、x 处取得极小值、极大值.xoy 平面上点 A、B 1 2 的坐标分别为 x1 f (x1) x2 f (x2 ) （ , ）、（ , ），该平面上动点 P 满足
21、 PA PB 4 ,点Q 是点 P 关于直线 y 2(x 4)的对称点.求 (I)求点 A、B 的坐标； (II)求动点Q 的轨迹方程. 解析： ()令 f (x) (x3 3x 2) 3x2 3 0解得 x 1或x 1； 当 x 1时, f (x) 0， 当 1 x 1时, f (x) 0，当 x 1时， f (x) 0。 所以, 函数在 x 1处取得极小值, 在 x 1取得极大值, 故 1 1, x 1 x , 2 f (1) 0, f (1) 4。 所以, 点 A、B 的坐标为 A(1,0), B(1, 4) 。 （ ） 设 p(m,n)，Q(x, y) ， PA PB m n m n
22、m n n ， 1 , 1 ,4 2 1 2 4 4 1 k ，所以 PQ 2 y x n m 1 2 。 y m x n 又 PQ 的中点在 y 2(x 4) 上，所以 2 4 ，消去 m,n 得 2 2 8 8 2 9 x 。 y 2 2 点评：该题是导数与平面向量结合的综合题。 考点六：导数实际应用题 例 8请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为 1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为 3m 的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点 O 到底面中心 o 的距离为多少时，帐篷的体积最 1 大？ 本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际 问题的能力。
23、解析：设 OO1为 x m,则由题设可得正六棱锥底面边长为3 (x 1) 8 2x x （单 2 2 2 位：m）。 于是底面正六边形的面积为（单位：m2）： 2 2 3 2 2 3 3 2 3 (x 1) 6g g( 8 2x x ) (8 2x x )。 4 2 帐篷的体积为（单位：m3）： 对求极值， V x x x x x x ( ) (8 2 ) ( 1) 1 (16 12 ) 3 3 1 3 2 3 2 3 2 应要求学生 画表格来单 求导数，得 ( ) 3 (12 3 2 ) V x x ； 2 调性情况， 这样可避免 令V(x) 0 解得 x=-2(不合题意，舍去),x=2。
24、把不是极值 当 1x2时，V(x) 0 ,V(x)为增函数；当 2x4时，V(x) 0 ,V(x)为减函数。 的函数值也 作为极值了， 所以当 x=2时,V(x)最大。 应补充这种 答：当 OO1为 2m 时，帐篷的体积最大。 情况的例子。 点评：结合空间几何体的体积求最值，理解导数的工具作用。 例 9 已知函 数 f(x)=x3 + x 3 ，数列 x n (xn 0)的第一项 xn 1，以后各项按如下方式取定：曲线 x=f(x)在 (xn , f (x ) 处的切线 1 n1 与经过（0，0）和（x n ,f (xn )）两点的直线平行（如图）求证：当 n N * 时， 9 ()x 3 2
25、 ; 2 2 n n 1 n1 1 1 （ ） ( n1 x ( )n2 。 ) n 2 2 证明：（I ）因为 f (x) 3x2 2x, 所以曲线 y f (x) 在 ( , ( ) x f x 处的切线斜率 n 1 n 1 k 1 3x 2x 1. 2 n n n1 因为过 (0, 0) 和 ( , ( ) x x 3x 2x . x f x 两点的直线斜率是 x2 x ,所以 2 2 n n n n n n n 1 n 1 （II）因为函数 h(x) x2 x 当 x 0 时单调递增，而 2 2 x x 3x 2x n n n 1 n 1 4x 2x x 2 x 2 ， (2 ) 2
26、n 1 n 1 n 1 n 1 所以x 2x ，即 n n 1 x x x x 1 1 1 , n n 因此 x n n 1 2 ( ) 1. n n x 2 x x x 2 n n1 n2 1 又因为 y x x 则 y 1 1 . x x x x 2 2 2( ),令 2 , n n n n 1 n n n y 2 n 1 n 1 1 因为 1 12 1 2, y x x 所以 y n1 y n2 ( ) ( ) . n 1 2 2 因此 x x2 x (1) 2 , 故 (1) 1 (1) 2. x n n n n n n n 2 2 2 点评：本题主要考查函数的导数、数列、不等式等基础
27、知识，以及不等式的证明，同时考 查逻辑推理能力。 10 本题难度打 了，现在做 不合适，可 放到二轮复 习时再做。 11 导数 1导数的概念 y x = f (x x) f (x ) 0 0 。 x f（x y 0 ）= lim lim x x 0 = f (x x) f (x ) lim 0 。 0 x0 x 2 导数的几何意义 板 书 函数 y=f（x）在点 x0 处的导数的几何意义是曲线 y=f（x）在点 p（x0 ，f（x0 ） 处的切线的斜率。 设也就是说，曲线 y=f（x）在点 p（x0 ，f（x0 ）处的切线的斜率是 f（x0 ）。相应地，切线方程为 yy0 =f / 计 （x0
28、 ）（xx0 ）。 3常见函数的导出公式 （） (C) 0 （C 为常数） （） (xn ) n xn1 （） (sin x) cos x （） (cos x) sin x 4两个函数的和、差、积的求导法则 (u v) u v. 12 (uv) uv uv. 若 C 为常数,则 (Cu) Cu. u v = uv v 2 uv （v 0）。 5导数的应用 教 导数是高考主干知识，在解答题中，函数与导数结合进行考察，其中单调性基本上必考。所以，与单调性 学 有关的导数题还要增加。含有参数的导数题、涉及不等式恒成立问题，需要再搜集、整理一定量的题目加以训 反 练。学生对导数及其应用的基本题已有较好掌握，但具有灵活性的题目还有困难，后续再巩固强化。 思 13