《2017_2018版高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法学案新人教A版选修1_220170719.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017_2018版高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法学案新人教A版选修1_220170719.doc（11页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2.2.2反证法1了解间接证明的一种基本方法反证法2了解反证法的思考过程、特点，理解反证法的推理过程，证明步骤(重点)3体会直接证明与间接证明的区别与联系，会用反证法证明数学问题(难点、易混点)基础初探教材整理反证法阅读教材P42P43的内容，完成下列问题1反证法的定义假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法2反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、定理、公理、事实矛盾等判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)反证法属于
2、间接证明问题的方法()(2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理()(3)反证法推出的矛盾不能与已知相矛盾()【解析】(1)正确反证法其实是证明其逆否命题成立，所以它属于间接证明问题的方法(2)错误反证法从证明过程看是一种严谨的演绎推理(3)错误反证法推出的矛盾可以与已知相矛盾【答案】(1)(2)(3)小组合作型用反证法证明否定性命题等差数列an的前n项和为Sn，a11，S393.(1)求数列an的通项an与前n项和Sn；(2)设bn(nN*)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列【精彩点拨】第(1)问应用ana1(n1)d和Snna1n(n1)d两式求解第(2)
3、问先假设存在三项bp，bq，br成等比数列，再用反证法证明【自主解答】(1)设等差数列an的公差为d，由已知得d2，故an2n1，Snn(n)(2)证明：由(1)得bnn.假设数列bn中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，则bbpbr，即(q)2(p)(r)，(q2pr)(2qpr)0.p，q，rN*，2pr，(pr)20，pr，这与pr矛盾所以数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列1当结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适合应用反证法例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾2反证法必须从否定结论进
4、行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法3常见否定词语的否定形式如下表所示：否定词语否定词语的否定形式没有有不大于大于不等于等于不存在存在再练一题1已知方程f(x)ax(a1)，证明：方程f(x)0没有负数根【解】假设x0是方程f(x)0的负数根，则x00，x01且ax00，所以ax0.又当x00时，0ax01，故01，即011,12，解得x02.这与x00矛盾， 所以假设不成立，故方程f(x)0没有负数根用反证法证明“至多、至少”问题已知x，y，z均大于零，求证：x，y，z这三个数中至少有一个不小于4.【精彩点拨
5、】本题中含有“至少”，不宜直接证明，故可采用反证法证明【自主解答】假设x，y，z都小于4，即x4，y4，z4，于是得12，而2 2 2 12，这与0，y0，且xy2，求证：与至少有一个小于2. 【导学号：81092026】【证明】假设与都不小于2，即2，2.x0，y0，1y2x,1x2y，两式相加得2(xy)2(xy)xy2，这与已知中xy2矛盾假设不成立，原命题成立故与至少有一个小于2.探究共研型用反证法证明“唯一性”命题探究1用反证法证明命题：“过已知直线a外一点A有且只有一条直线b与已知直线a平行”的过程归纳为以下三个步骤：因为ba，由平行公理知bb.这与假设bbA矛盾，所以假设错误原命
6、题成立；由两条直线平行的定义可知，过点A至少有一条直线与直线a平行；假设过点A还有一条直线b与已知直线a平行，即bbA，ba.请指出正确顺序的排列序号【提示】由反证法证明的步骤知，先反设，再推出矛盾，最后作出判断，肯定结论，即正确顺序应为：.探究2如何证明两条相交直线有且只有一个交点？【提示】假设两条直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A，B的直线就有两条，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾所以两条相交直线有且只有一个交点已知一点A和平面.求证：经过点A只能有一条直线和平面垂直【精彩点拨】【自主解答】根据点A和平面的位置关系，分两种情况证明(1)如图，点A在平面
7、内，假设经过点A至少有平面的两条垂线AB，AC，那么AB，AC是两条相交直线，它们确定一个平面，平面和平面相交于经过点A的一条直线a.因为AB平面，AC平面，a，所以ABa，ACa，在平面内经过点A有两条直线都和直线a垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾(2)如图，点A在平面外，假设经过点A至少有平面的两条垂线AB和AC(B，C为垂足)，那么AB，AC是两条相交直线，它们确定一个平面，平面和平面相交于直线BC，因为AB平面，AC平面，BC，所以ABBC，ACBC.在平面内经过点A有两条直线都和BC垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾综上，
8、经过一点A只能有一条直线和平面垂直证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性.当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其唯一性就较简单明了.再练一题3若函数f(x)在区间a，b上的图象连续不断，且f(a)0，且f(x)在a，b上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点. 【导学号：81092027】【证明】由于f(x)在a，b上的图象连续不断，且f(a)0，即f(a)f(b)m，则f(n)f(m)，即00，矛盾；若nm，则f(n)f(m)，即00，矛盾因此假设不正确，即f(x)在(a，b)内有
9、且只有一个零点1应用反证法推出矛盾的推理过程中可作为条件使用的是()结论的否定；已知条件；公理、定理、定义等；原结论ABCD【解析】根据反证法的基本思想，应用反证法推出矛盾的推导过程中可把“结论的否定”“已知条件”“公理、定理、定义”等作为条件使用【答案】C2实数a，b，c不全为0等价于()Aa，b，c均不为0Ba，b，c中至多有一个为0Ca，b，c中至少有一个为0Da，b，c中至少有一个不为0【解析】不全为0即至少有一个不为0，故选D.【答案】D3有下列叙述：“ab”的反面是“ab”；“xy”的反面是“xy或xy”；“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；“三角形最多有
10、一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”其中正确的叙述有()A0个B1个C2个D3个【解析】错，应为ab；对；错，应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上；错，应为三角形可以有2个或2个以上的钝角【答案】B4用反证法证明某命题时，对某结论：“自然数a，b，c中无偶数”，正确的假设为_【解析】a，b，c中无偶数，即a，b，c都是奇数，反设应是“a，b，c中至少有一个偶数”【答案】a，b，c中至少有一个偶数5若a，b，c互不相等，证明：三个方程ax22bxc0，bx22cxa0，cx22axb0至少有一个方程有两个相异实根. 【导学号：81092028】【证明】假设三个方程中都没有两个相异实根，则1
11、4b24ac0，24c24ab0，34a24bc0.相加得a22abb2b22bcc2c22aca20，(ab)2(bc)2(ca)20，abc，这与a，b，c互不相等矛盾假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是()A有两个内角是钝角B有三个内角是钝角C至少有两个内角是钝角D没有一个内角是钝角【解析】“最多有一个”的反设是“至少有两个”，故选C.【答案】C2下列命题错误的是()A三角形中至少有一个内角不小于60B四面体的三组对棱都是异面直线C闭区间a，b上的单调函
12、数f(x)至多有一个零点D设a，bZ，若a，b中至少有一个为奇数，则ab是奇数【解析】ab为奇数a，b中有一个为奇数，另一个为偶数，故D错误【答案】D3“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定正确的为() 【导学号：81092029】Aa，b，c都是奇数Ba，b，c都是偶数Ca，b，c中至少有两个偶数Da，b，c中都是奇数或至少有两个偶数【解析】自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：(1)3个都是奇数；(2)2个奇数，1个偶数；(3)1个奇数，2个偶数；(4)3个都是偶数所以否定正确的是a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数【答案】D4设x，y，z都是正实数，ax，by，cz，则a，b，c三个数
13、()A至少有一个不大于2B都小于2C至少有一个不小于2D都大于2【解析】若a，b，c都小于2，则abc180，这与三角形内角和为180相矛盾，AB90不成立；所以一个三角形中不能有两个直角；假设三角形的三个内角A，B，C中有两个直角，不妨设AB90，正确顺序的序号为()ABCD【解析】根据反证法的步骤，应该是先提出假设，再推出矛盾，最后否定假设，从而肯定结论【答案】D二、填空题6命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是_【解析】“至少有一个”的否定是“没有一个”【答案】任意多面体的面没有一个是三角形或四边形或五边形7用反证法证明命题“如果ab，那么”时，假设的内容
14、应是_【解析】与的关系有三种情况：，和”的反设应为“或”【答案】或2；a2b22.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是_(填序号)【解析】若a，b，则ab1，但a1，b2，故不能推出对于，即ab2，则a，b中至少有一个大于1.反证法：假设a1且b1，则ab2与ab2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.【答案】三、解答题9已知xR，ax2，b2x，cx2x1，试证明：a，b，c至少有一个不小于1. 【导学号：81092030】【证明】假设a，b，c均小于1，即a1，b1，c1，则有abc3.而与abc2x22x32233矛盾，故假设不成立，即a，b，c至少有一个不小于1.
15、10已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证： ， ， 不成等差数列【证明】假设， ， 成等差数列，则2，两边同时平方得ac24b.把b2ac代入ac24b，可得ac2b，即a，b，c成等差数列，这与a，b，c不成等差数列矛盾所以， ， 不成等差数列能力提升1有以下结论：已知p3q32，求证pq2，用反证法证明时，可假设pq2；已知a，bR，|a|b|2，故的假设是错误的，而的假设是正确的【答案】D2已知命题“在ABC中，AB.求证sin Asin B”若用反证法证明，得出的矛盾是()A与已知条件矛盾B与三角形内角和定理矛盾C与已知条件矛盾且与三角形内角和定理矛盾D与大边对大角定
16、理矛盾【解析】证明过程如下：假设sin Asin B，因为0A，0B，所以AB或AB.其中AB与AB矛盾；AB与三角形内角和定理矛盾，所以假设不成立所以sin Asin B.【答案】C3有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是_【解析】因为只有一人获奖，所以丙、丁只有一个说的对，同时甲、乙中只有一人说的对，假设乙说的对，这样丙就说的错，丁就说的对，也就是甲也说的对，与甲说的错矛盾，所以乙说的错，从而知甲、丙说的对，所以丙为获奖歌手【答案】丙4用反证法证明：对于直线l：yxk，不存在这样的实数k，使得l与双曲线C：3x2y21的交点A、B关于直线yx对称【证明】假设存在实数k，使得A、B关于直线yx对称，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则线段AB的中点M在直线yx上，由得2x22kx1k20.x1x2k，可得M.这与M在直线yx上矛盾所以假设不成立，故不存在实数k，使得A、B关于直线yx对称11