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1、1.11.1 任意角、弧度 典题精讲 例 1 一条弦的长度等于半径 r，求: (1)这条弦所对的劣弧长； (2)这条弦和劣弧所组成的弓形的面积. 思路分析: :解决此类问题，首先要根据题意画出相关的图形，然后对涉及的量的大小进行确定. 由已知可知圆心角的大小为 ，然后用公式求解即可求弧长，弓形面积可以由扇形面积减三 3 角形面积求得. 解:(1)如图 1-1-1，因为 半径为 r 的圆 O 中弦 AB=r，则OAB 为等边三 角形，所以AOB= 则弦 AB所对的劣弧长为 3 r. 3 . 图 1-1-1 (2)SAOB= 1 2 OAOBsinAOB= 3 4 r2， S扇形 OAB= 1 2
2、 |r2= 1 2 3 r2= 6 r2， S 弓形=S扇形 OAB-SAOB= 6 r2- 3 4 r2=( 6 - 3 4 )r2. 绿色通道: :图形的分解与组合是解决数学问题的基本方法之一，本例把扇形看成三角形与弓 形的组合，即可运用已有知识解决要求解的问题.此类数形结合的题目，要尽可能地从图中， 从各种图形的组合关系中找到解决问题的突破口. 变式训练 地球赤道的半径是 6 370 km，所以赤道上 1的弧长是_(精确到 0.01 km). 1 1 思路解析: :1= rad，弧长 l=r|=6 370 =1.85(km). 60 180 60 180 答案: :1.85 km 例 2
3、 （2005全国高考卷，1） 已知 为第三象限角，则 A.第一或第二象限 B.第二或第三象限 C.第一或第三象限 D.第二或第四象限 2 所在的象限是( ) 思路解析: :因为第三象限角与 2 之间的角并不等价，由 在第三象限, 应在区间 1 3 (2k+,2k+ )(kZ Z)内，要判定 在第几象限，需分 k 是奇数，k 是偶数两种情况去 2 2 3 3 讨论解决，即 2k+2k+ k+ k+ , 2 2 2 4 当 k 为偶数时， 在第二象限，当 k 为奇数时， 在第四象限. 2 2 答案: :D 绿色通道: :(1)由 的象限确定 2 的象限时，应注意 2 可能不再是象限角，对此特殊情
4、况应特别指出.如 =45，2=90就不再是象限角. (2)在本例的基础上，还可以进一步推导出各个象限角的半角范围.可以借助图 1-1-2 来记忆. 图中 、 、分别指第一、二、三、四象限角的半角范围.如当 为第一象限角时， 2 为第一、三象限角的前半区域；当 为第二象限角时， 为第一、三象限角的后半区域.依 2 此类推. 图 1-1-2 黑色陷阱: :(1)由 是第二象限角，仅想到 90180，从而得到 45 2 得到 为第一象限角，而将 是第三象限角的可能性丢掉. 2 2 90和仅 (2)解题时容易将 的范围误认为 90180,即误认为 是钝角，导致错误.同时在得 出 的范围时,不进行分类讨
5、论,或者讨论时不按奇数和偶数分类. 变式训练 1 已知单位圆上一点 A(1,0)按逆时针方向做匀速圆周运动，1 秒钟时间转过 (0)角， 经过 2 秒钟到达第三象限，经过 14秒钟转到与最初位置重合的位置，求 角的弧度数. 思路分析: :这是一个涉及终边相同的角和匀速圆周运动的问题 ，可以根据题意画图分析，并由 此列出角的等式或不等式. 解:由 0,得 022， 3 又因为 2 在第三象限，所以 2 . 2 2k 由 14=2k(kZ Z)，得 2= (kZ Z)， 7 2k 3 7 21 所以 ,即 k . 7 2 2 4 4 5 所以 k=4或 5;= 或 . 7 7 变式训练 2 若锐角
6、 的终边与它的 10倍角的终边相同，求 . 2 思路分析: :与角 终边相同的角均可以表示为 2k+(kZ Z)的形式，注意题目中 是锐角. 可以根据题意列出方程解出 “”，这一方法也体现了在三角函数中 方程思想 的应用. 2k 解:由题意，得 10=2k+(kZ Z)，= (kZ Z). 9 又 为锐角，k 可以取 1、2 两个值，即 =40或 =80. 例 3 已知扇形的周长为 20 cm，当扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最 大？ 思路分析: :根据题中的已知条件，列出扇形的半径、圆心角及周长的关系表达式，然后把扇形 的面积表示成半径的函数，然后利用求函数最值的方法求解.
7、 解:设扇形的圆心角为 ,半径为 r，由已知条件,得扇形的弧长 l=r. 20 2r 2r+r=20,= . r 1 1 20 2r S 扇形= r2= r2 2 2 2 =r(10-r)=-r2+10r. 当 r=- 10 2(1) =5时，S扇形最大=25，此时 =2. 绿色通道: :几何图形求最值的途径有两种:一是利用几何意义，从图形中直接找出(本例不好 找)；二是利用函数求解，即设出未知量，建立函数关系式，然后用函数的方法解决. 变式训练 一个半径为 r 的扇形，若它的周长等于弧所在半圆的弧长，那么扇形的圆心角是_弧度， 扇形的面积是_. 思路解析: :设扇形的圆心角是 弧度，则扇形的
8、弧长是 r，扇形的周长是 2r+r. 由题意,知 2r+r=r，=-2. 1 扇形的面积为 S= r2= 2 1 答案: :-2 r2(-2) 2 问题 探究 1 2 r2(-2). 问题 1 在体操、花样滑冰、跳台跳水比赛中，常常听到“转体三周”“转体两周半”的说法， 像这种动作名称表示的角是多大？ 导思: :解答此类问题 时，要考虑到问题 的多种情况，不要上来就盲目地解答.首先对问题 有个大体的了解，然后再联系所学知识进行解答，可能起到事半功倍的效果.此题不要忽视了 转体的顺、逆方向会影响到角的正负号.利用角的定义及正角、负角的概念，这个问题 就迎 刃而解. 探究: :如果是逆时针转体，则
9、分别是 3603=1 080和 3602.5=900；若是顺时针 转体，则分别为-1 080和-900. 问题 2 在炎炎夏日，用纸扇驱走闷热，无疑是很好的办法.纸扇在美观的设计上，可考虑用 料、图案和形状.若从数学角度看，能否利用黄金比例(0.618)去设计一把有美感的白纸扇呢？ 此时的张角是多大呢？ 导思: :在设计纸扇张开角()时，可以考虑从一圆形(半径为 r)分割出来的扇形的面积(A1) 与剩余面积(A2)的比值.若这一比值等于黄金比例，便可找到 . 3 探究: :若 A 1 A 2 1 2 1 r 2 2 r (2 2 ) =0.618， 以弧度表示.则 =0.618(2-). 所以 =0.764140(精确到度).我们可以找市面上的纸扇去检验其张开的角度是否接近 140，也可以自制不同形状的纸扇，去测试一下是否 接近 140时纸扇最美观. 4