《高中数学第一章三角函数1.2任意角的三角函数1.2.2同角三角函数关系导学案苏教版必修4201708.wps》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第一章三角函数1.2任意角的三角函数1.2.2同角三角函数关系导学案苏教版必修4201708.wps（11页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、1.2.21.2.2 同角三角函数关系 课堂导学 三点剖析 1.同角三角函数关系 【例 1】已知 sin-cos= 1 2 ,则 sin3-cos3=_. 思路分析：把 sin3-cos3 变形凑出含有 sin-cos 的代数式代入求值. 解析 ：sin-cos= 1 (sin-cos)2= . 4 1 1-2sincos= . 4 3 sincos= . 8 sin3-cos3 1 2 , =(sin-cos)(sin2+sincos+cos2) 1 3 = (1+ 2 8 11 答案： 16 温馨提示 11 )= . 16 若已知 sin-cos 与 sin+cos 其中一个条件，求 si
2、n2cos2 ,sin3cos3 时，常用凑出 sincos 与 sincos 的关系来变化. 2求三角函数式的值及证明三角函数恒等式 【例 2】 已知 cos= 8 ,求 sin 及 tan 的值. 17 思路分析：用同角三角函数关系解题. 解：cos0,且 cos-1 是第二或第三象限角. 如果 是第二象限角，那么 sin= 8 15 1 cos2 a 1 ( )2 . 17 17 tan= sin cos 15 17 = 17 8 (- 15 . 8 )= 如果 是第三象限角，那么 15 17 sin=- 温馨提示 15 8 ,tan = . (1)要会用公式 sin2+cos2=1 的
3、变形 sin2=1-cos2,cos2=1-sin2. (2)若已知正弦、余弦正切中的某一个三角函数值，但没有指定角所在的象限，要求另外两个 三角函数值时，可按角所在象限分别进行讨论，进行运算，这时有两组结果，本题就属这种类 1 型. 1 cos sin 1 sin 【例 3】求证： 1 cos sin cos . 思路分析 1：注意到已给等式中含有正弦与余弦，因此采用正、余弦基本关系证明. 1 1 证法 1：左边= cos cos sin sin = cos cos2 cos(1 cos sin cos sin) = cos(1 sin) 1 sin2 cos(1 cos sin) = (
4、1 sin)(cos 1 sin) 1 sin cos(1 cos sin) cos =右边. 原式成立. 思路分析 2：注意到欲证式中只含有一个角 的函数，因此可用三角函数定义证明. 证法 2：设 P（x,y）是象限角 终边上一点，|OP|=r0,则由三角函数的定义知： sin= y r ,cos= x r ,且 x2+y2=r2. 所以，左式= 1 1 x r x r y r y r = x x r r y y x(x r y) x2 x(y r) r 2 y2 x(r x(x r y) x(x r y) x(x r y) y) (r )( y r y x) r x(x r y) x y
5、y 1 1 sin r = x cos r 故原式成立. =右式. 思路分析 3 3：考虑到 A=B A-B=0,故此题可采用比较法. 1 cos sin 1 sin 证法 3：因为 - = 1 cos sin cos cos(1 cos sin) (1 sin)(1 cos sin) cos(1 cos sin) sin2 2 cos 1 = 0 cos(1 cos sin) , 2 1 cos sin 1 sin 所以 1 cos sin cos 3.“关于 1”的变换 . 【例 4】 已知 tan=2,求 sin2-3sincos+1 的值. 思路分析：“主要应用 1”的变换. 解：si
6、n2-3sincos+1 =sin2-3sincos+(sin2+cos2) =2sin2-3sincos+cos2 2 sin 2 3sin sin 2 cos cos 2 cos 2 2 tan 2 3 tan 1 tan 2 1 = 22 2 2 2 3 1 21 3 5 . 温馨提示 已 知 tan 的 值 ， 求 形 如 asin2+bsincos+ccos2 的 值 ， 可 将 分 母 1 化 为 1=sin2+cos2 代入，从而转化为关于 tan 的表达式后再求值. 各个击破 类题演练 1 1 tan 已知 =-1,求值. tan 1 sin 3cos . sin cos 解析
7、：由已知，tan = 1 2 ,所以， 1 3 sin 3 3 cos tan 2 sin cos tan 1 1 1 2 5 3 变式提升 1 1 已知 tan 为非零实数，用 tan 表示 sin,cos. 解：sin2 +cos2 =1, sin2=1-cos2. sin 又 =tan, cos sin 1 cos2 1 2 tan2= 1 . cos cos cos 2 2 2 于是 1 cos 2 =1+tan2 cos2= 1 1 tan 2 . 由于 tan 为非零实数，可知角 的终边不在坐标轴上， 3 1 , , , 当 为第一 四象限角 tan 1 2 从而 cos= 1 ,
8、 当 为第二,三象限角. 1 tan 2 sin=costan = 2 tan , 为第一,四象限角, 当 1 tan 2 tan2 , . ,当 三象限角 为第二 1 tan 2 类题演练 2 2 已知 sin+cos= 1 5 ,(0,)，求 tan 的值. 解：将已知等式平方，得 2sincos= sin+cos= 24 . 25 1 0,sin0,cos0 5 cos0sin,sin-cos0. 而（sin-cos）2=1-2sincos= 和已知等式联立，便可解得 49 25 ,于是 sin-cos= 7 5 . sin= 4 5 ,cos= 3 3 ,tan= . 5 4 变式提升
9、 2 2 已知 f(x)= 1 1 x x ,若 ( 2 ,),则 f(cos)+f(-cos)可化简为_. 解： f(cos) +f(-cos)= 1 1 c o s c o s 1 1 cos cos 1 cos 2 1 cos 2 = . | sin | | sin | | sin | | sin | 答案： 2 sin 类题演练 3 3 求证：（1） tan tan sin sin tan tan sin sin ; (2) (sin x 2 sin x 1 cos xcos cos x 1)(sin x cos x 1) sin x x . 思路分析：（1）切化弦，（2）左边入手，利
10、用平方差公式. 4 证明：（1） 左边= sin cos 2 sin cos sin sin sin 2 sin cos 1 cos 2 sin(1 cos) 1 cos sin = 1 cos 1 1 tan sin =右边. sin sin sin tan tan sin 所以,原命题成立. （2）左边= sin x 2 sin xcos x (cos x 1)sin x (cos x 1) = 2 sin xcos x sin2 x (cos x 1) 2 = = 2 sin xcos x sin2 x cos x 2 cos x 1 2 2 sin xcos x sin 2 cos x
11、 2 cos2 1 cos x x = sin x(1 cos x) (1 cos x)(1 cos x) = sin x(1 sin 2 cos x x) 1 cos sin x x 所以，原命题成立. 变式提升 3 3 已知 tan2=2tan2+1,求证：sin2=2sin2-1. 证明：因为 tan2=2tan2+1, sin 2 sin 2 2 所以 1 cos cos 2 2 = 2 sin 2 cos 2 2 , 1 sin cos cos 2 2 sin 2 所以 1 sin 2 1 1 sin 2 sin 2 . 所以 sin2(1-sin2)=(1-sin2)(1+sin2
12、). 所以 sin2=2sin2-1. 类题演练 4 4 1 2sin cos 的值为（ ） A.sin+cos B.sin-cos C.cos-sin D.|sin+cos| 解析：1+2sincos=sin2+2sincos+cos2 =(sin+cos)2 5 原式= (sin cos)2 =|sin+cos|, 故选 D. 答案：D 变式提升 4 4 若 0,2),且 1 cos2 + 1sin2 =sin-cos,则 的取值范围是（ ） A.0, 2 ) B. 2 , C., 3 2 D. 3 2 ,2) 解析： 1 cos2 + 1sin2 = sin2 cos2 =|sin|+|cos|=sin-cos, sin0,cos0, 是第二象限角（包括 x 轴负半轴和 y 轴正半轴）. 02, ,. 2 答案：B 6