《高中数学第一章三角函数1.3三角函数的图象和性质1.3.1三角函数的周期性导学案苏教版必修42017.wps》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第一章三角函数1.3三角函数的图象和性质1.3.1三角函数的周期性导学案苏教版必修42017.wps（6页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、1 13.13.1 三角函数的周期性 课堂导学 三点剖析 1.周期函数与周期的意义 【例 1】 求下列三角函数的周期. （1）y=sin(x+ );（2）y=3sin( 3 x 2 + 5 ). 思路分析：运用周期函数的定义即可. 解：（1）令 z=x+ 3 ,而 sin(2+z)=sinz, 即 f(2+z)=f(z), f(2+x)+ =f(x+ 3 3 ). 周期 T=2. x (2)令 z= + 2 5 则 f(x)=3sinz =3sin(z+2) , =3sin( =3sin( x 2 x + +2) 5 4 ) 2 5 =f(x+4). T=4. 温馨提示 理解好周期函数与周期的
2、意义.对定义中的任意一个 x 满足 f(x+T)=f(x),而非某一个 x 值. 2 也可用公式 T= 求周期. 2.判断函数是否具有周期性和求周期 【例 2】 求证：（1）y=cos2x+sin2x 的周期为 ; (2)y=|sinx|+|cosx|的周期为 . 2 思路分析：观察特征，运用定义. 证明：（1）f(x+)=cos2(x+)+sin2(x+)=cos(2+2x)+sin(2+2x)=cos2x+sin2x=f(x), y=cos2x+sin2x 的周期是 . (2)f(x+ )=|sin(x+ )|+|cos(x+ 2 2 y=|sinx|+|cosx|的周期是 . 2 温馨提
3、示 2 )|=|cosx|+|-sinx|=|sinx|+|cosx|=f(x), “f(x+T)=f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个值都成立.可以用上式验证 一个量是否是一个函数的周期. 1 3.判断函数是否具有周期性 【例 3】证明 y=sin|x|不是周期函数. 思路分析：运用定义进行证明. 证明：假设 y=sin|x|是周期函数，且周期为 T，则 sin|x+T|=sin|x|(xR R). (1)当 T 时， 2 令 x= ,得 sin| +T| 2 2 =sin| +T)=sin cosT=1; |sin( 2 2 2 令 x=- ,得 sin|- +T|=sin|
4、- | 2 2 2 sin(- +T)=sin 2 2 -cosT=1cosT=-1. 由此得 1=-1,这一矛盾说明 T 不可能. 2 (2)当 T- 时, 2 令x=x-T 得,sin|x-T+T|=sin|x-T|sin|x-T|=sin|x|,即-T是函数的周期.但-T ,由(1)知这是不可能的. 2 (3)当- T 时, 2 2 令 x=0得,sin|T|=sin|0|sinT=0T=0(周期不为零). 由此可知原函数无周期,故 y=sin|x|不是周期函数. 温馨提示 进一步理解定义, 存在一个常数 T0; 当 x 取定义域内每一个值时(而不是某一个),都 有 f(x+T)=f(x
5、)恒成立. 各个击破 类题演练 1 1 求下列函数的最小正周期. （1）f(x)=3sinx; (2)f(x)=sin2x; (3)f(x)=2sin( 1 x 2 4 ). 解：（1）f(x)=3sinx=3sin(x+2)=f(x+2),函数的最小正周期为 2. (2)f(x)=sin2x=sin(2x+2)=sin2(x+)=f(x+), 函数的最小正周期为 . (3)f(x)=2sin(1 x 2 4 ) =2sin( 1 x 2 4 +2) 2sin 1 2 (x + 4 ) + 4 =f(x+4),函数 的最 小正周期为 4. 变式提升 1 1 定义在 R R 上的函数 f(x)既
6、是偶函数又是周期函数,若 f(x)的最小正周期是 ,且当 x 2 0, 2 时,f(x)=sinx,则 f( 5 3 )的值为（ ） A. 1 B. 2 1 2 C. 3 D. 2 3 2 解 析： 由 题 意: f( 5 3 )= f( - 5 3 )=f (- 5 3 +2)= f( 3 )=sin 3 = 3 2 答案：D 类题演练 2 2 设 f(x)是定义在 R R 上以 2 为周期的周期函数，且 f(x)是偶函数，在区间2，3上， f(x)=-2(x-3)2+4，求 x1,2时，f(x)的解析表达式. 解：当 x-3,-2时，-x，3. f(x)是偶函数， f(x)=f(-x)=-
7、2(-x-3)2+4=-2(x+3)2+4. 又f(x)是以 2 为周期的周期函数， 当 x1,2时，-3x-4-2, f(x)=f(x-4)=-2（x-4）+32+4=-2(x-1)2+4. f(x)=-2(x-1)2+4(1x2). 变式提升 2 2 定义在 R 上的偶函数 f(x)，其图象关于直线 x=2 对称，当 x(-2,2)时，f(x)=x2+1，则 x(-6,-2)时，f(x)=_. 解析：偶函数 f(x)其图象关于直线 x=2 对称， f(x+4)=f(x)，f(x)是周期函数，且 4 是它的一个周期. 当 x(-6,-2),x+4(-2,2). f(x)=f(x+4)=(x+
8、4)2+1=x2+8x+17. 答案：x2+8x+17 类题演练 3 3 证明下列函数不是周期函数. （1）y=x3;(2)y=sinx2. 证明：（1）因为 y=x3在 xR R 上单调，设 y 取到值 a,方程 x3=a不可能有两个不同的根，因此 y=x3不是周期函数. （2）设函数 y=sinx2是周期函数，周期为 T，那么对所有的 xR R，sin(x+T)2=sinx2.由 x 的任 意性，T=0，所以函数 y 不可能是周期函数. 变式提升 3 3 (1)证明 f（x)=1(xR R)是周期函数，但没有最小正周期. 证明：因为对于任意实数 T0，都有 f(x+T)=f(x)=1，所以
9、此函数是周期函数，其周期为任意 非零实数.但所有正实数中没有最小值存在,故此函数没有最小正周期. (2)偶 函 数 f(x)的 定 义 域 为 R,若 f(x-1)=f(x+1)对 一 切 xR R 恒 成 立 , 又 当 0x1 时,f(x)=-x2+4. 求证 f(x)是周期函数,并确定它的周期; 求当 1x2 时,f(x)的解析式. 证明：f(x)定义域为 R 且 f(x-1)=f(x+1), f(x+2)=f(x+1+1)=f(x+1-1)=f(x). 则 f(x)的一个周期为 2,且 2n(nZ Z,n0)都是 y=f(x)的周期. 解：设 1x2,则-2-x-1， 3 因此，02-x1, 由已知有：f(2-x)=-(2-x)2+4, f(x)的周期为 2，且为偶函数， f(2-x)=f(-x)=f(x). 当 1x2 时，f(x)=-(2-x)2+4. 4