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1、1.3.21.3.2 三角函数的图象与性质 课堂导学 三点剖析 1.正弦函数、余弦函数的主要性质 【例 1】求下列函数的定义域： （1）y= 36 x2 +lgcosx; (2)y=logsinx(cosx+ 1 2 ). 思路分析：利用三角函数单调性求解. 解：（1）由 36 x2 cos x 0 0, 得 6 x 6, 2k x 2 2k 2 ,k Z. 3 3 由上图可知不等式组的解集为-6，- )( )(- , 2 2 2 2 3 3 故原函数的定义域为-6，- ）( )(- , ,6. 2 2 2 2 ,6. (2)由 x 0, sin sin x 1, cos x 1 2 , 得
2、2k x x 2k 2 2k 3 2k 2 , x , 2k 2 3 , (kZ Z). 原函数的定义域为（2k,2k+ 温馨提示 2 ）（2k+ 2 ,2k+23）kZ Z. 求函数的定义域,就是求使函数式有意义的 x 值集合.三角不等式常借助图象或三角函数 线求解.若不等式组由三角不等式和普通不等式组成，不等式组的解集可由数轴找出.若不等式 1 组只由三角不等式组成，不等式组的解集可借助象限或单位圆求出. 【例 2】 比较下列各组中四个值的大小： （1）sin1,sin2,sin3,sin4; (2)cos1,cos2,cos3,cos4. 思路分析：转化到同一单调区间再比较. 解析：（1
3、）01 2 3 234 2 , sin40,sin2=sin(-2),sin3=sin(-3). 而 0-31-2 ,正弦函数 y=sinx 在（0， 2 sin(-3)sin1sin(-2), 即 sin2sin1sin3sin4. 2 ）上为增函数， (2)由（1）可知，cos10,cos2=-cos(-2),cos3=-cos(-3), cos4=-cos(4-).而 0-34-2 ,余弦函数 y=cosx在（0， 2 cos(-3)cos(4-)cos(-2), cos(-3)-cos(4-)-cos(-2), 即 cos3cos4cos2cos1. 答案：（1）sin2sin1sin
4、3sin4; (2)cos3cos4cos2cos1. 温馨提示 2 ）上为减函数， 要判断函数值的大小，主要依据是函数在这个区间上的单调性. 求三角函数的单调区间， 可利用换元思想把角的某个代数式看作新的变量. 对于复合函数，应先考虑函数的定义域， 再结合函数的单调性来确定单调区间. 2.正弦函数和余弦函数图象间的关系 【例 3】作函数 y= 1 cos2 x 的图象. 思路分析：首先将函数的解析式变形，化为最简形式，然后作函数的图象. 解：y= 1 cos2 x 化为 y=|sinx|, sin x,2 k 即 y= sin x,2k x 2k x , 2k 2, (kZ Z) 其图象如下
5、图. 温馨提示 画 y=|sinx|的图象可分两步完成，第一步先画了 y=sinx,x 0, 、 y=-sinx,x ,2上的图象，第二步将得到的图象向左、右平移，即可得到完整的曲线. 由图象可 以看到函数 y=|sinx|的最小正周期是 . 3.三角函数图象和性质综合应用 【例 4】 作出函数 y=|tanx|及 y=tan|x|的图象，观察图象，指出函数的单调区间，并判断它 2 们的奇偶性及周期性.若为周期函数，求出它的最小正周期. 思路分析：利用分段函数图象的画法. 解：（1）y=|tanx|= tan x, tan x tan x, tan x 0, 0, 由 y=tanx图象可知，y
6、=|tanx|的图象如下： 由图象可知，y=|tanx|仍为周期函数，最小正周期 T=,函数是偶函数.函数的单调增区间是 （k,k+ 2 ）（kZ Z）,减区间（k- 2 ,k）(kZ Z). (2)y=tan|x|= tan x, x tan x, x 0, 0, 由 y=tanx 图象可知，y=tan|x|的图象如下： 由 y=tan|x|图象可知，函数不是周期函数.但 y=tan|x|是偶函数，单调增区间0, ）（k+ 2 3 3 ,k+ ,0（k- ）（kN）.函数的单调减区间（- ,k- )(kZ Z 且 k0). 2 2 2 2 2 各个击破 类题演练 1 1 求 y= sin x
7、 25 x2 的定义域. 解：根据函数表达式可得 sin x 0, k 2 x 2k 25 x2 0, 5 x 5. (k Z), 作出下图. 由图示可得，函数定义域为-5,-0,. 变式提升 1 1 求下列函数的定义域. （1）y= sin x tan x ; 3 (2)y= lg(2sin x 1) x cos( 2 tan x ) 8 1 解：(1) sin x tan x 0, 0, 将正弦函数和正切函数的图象画在同一坐标系内，如图 由图显然可得函数定义域集合为 x|2kx2k+ ,kZ Zx|x=2k+,kZ Z. 2 (2）由 x 1 0, 2 sin cos( tan x 1 0
8、, x 2 + 8 )0 得 1 sin x , 2 tan x 1, x k 2 8 2 ,k Z. 可利用单位圆中三角函数线直观地求得上述不等式组的解集（如图） 5 2k x 2k , 6 6 k x k , k 其中 2 4 3 x 2k . 4 Z 函数定义域为x|2k+ 类题演练 2 2 2 x2k+ 3 4 ,kZ Z. 已知函数 y=acosx+b的最大值是 1，最小值是-3，试确定 f(x)=bsin(x+ 3 )的单调区间. 4 解：若 a0.则 a+b=1,-a+b=-3,解得 a=2,b=-1，此时，f(x)=-sin(2x+ 3 设 kZ Z,2k- 2x+ 2k+ 时
9、，f(x)单调递减，2k+ 2x+ 2 3 2 2 3 单调递增. ). 3 2k+ 2 的 f(x) 5 于 是 ， 单 调 递 减 区 间 为 k- 12 7 k+ ,kZ Z. ,k+ 12 12 若 a0,则-a+b=1,a+b=-3, ,k+ 12 (kZ Z), 单 调 递 增 区 间 为 a=-2,b=-1. f(x)=-sin(-2x+ )=sin(2x- ). 3 3 5 其单调递增区间为k- ,k+ ,kZ Z, 12 12 5 11 单调递减区间为k+ ,k+ ,kZ Z. 12 12 变式提升 2 2 函数 y=2sin( 2x )(x0,)为增函数的区间是（ ） 6
10、7 5 5 A.0, B. , C. , D. , 3 12 12 3 6 6 思路分析：利用三角函数的性质，求出 y=2sin( -2x)在 R 上的单调增区间，取特殊值验证即 6 可解决此类问题. 3 解：2sin( -2x)=-2sin(2x 2x ),当 2k+ 2k+ 6 6 2 6 2 5 (kZ Z),当 k=0时得在0,上的单调增区间为 , . 3 6 答案：C 类题演练 3 3 ,即 k+ 3 xk+ 5 6 函数 y=3sinx,x- 2 , 3 2 的简图是（ ） 5 思路分析：用五点法作图即可得出答案. 答案：A 变式提升 3 3 函数 y=-cosx的图象与余弦函数的
11、图象（ ） A.只关于 x 轴对称 B.只关于原点对称 C.关于原点、x 轴对称 D.关于原点、坐标轴对称 解析：对于 y=cosx与 y=-cosx，当 x 取相同值时，y 值相反，所以图象关于 x 轴对称. 答案：A 类题演练 4 4 (2006全国高考 ，理 5 文 6)函数 f(x)=tan(x+ )的单调增区间为（ ） 4 A.(k- ,k+ ),kZ Z B.(k,(k+1),kZ Z 2 2 3 3 C.(k ),kZ Z D.(k- ,k+ ),kZ Z ,k+ 4 4 4 4 解析：k- x+ k+ (kZ Z), 2 4 2 3 单调增区间为(k ),kZ Z. ,k+ 4
12、 4 答案：C 变式提升 4 4 (2004 天津)定义在 R R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数，若 f(x)的最小正周期是 ,且 当 x0, 2 5 时，f(x)=sinx，则 f( 3 )的值为（ ） A.- 1 2 B. 1 2 C. 2 D. 3 2 3 5 2 2 解：f( )=f(+ )=f( )=f(- 3 3 3 3 )=f(- 3 )=f( 3 ). 当 x0, 时，f(x)=sinx, 2 6 f( 3 )=sin 3 = 2 3 . 答案：D 温馨提示 三角函数的奇偶性的判断，首先要看定义域，若定义不关于原点对称则函数一定是非奇非 1 1 偶函数.如 f(x)= sin sin x x cos cos x x 奇偶性的判断，另外，奇偶函数的四则运算具有的一些性质， 也可用来判断函数的奇偶性.如：偶函数的和、差、积、商仍为偶函数；奇函数的和、差为奇 函数；奇函数的积、商为偶函数.奇函数与偶函数的积、商为奇函数等. 7