高中数学第一章三角函数1.3蝗制教案北师大版必修420170825245.wps

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1、1.31.3 弧度制 整体设计 教学分析 在物理学和日常生活中,一个量常常需要用不同的方法进行度量,不同的度量方法可以满 足我们不同的需要.现实生活中有许多计量单位,如度量长度可以用米、厘米、尺、码等不同的 单位制,度量重量可以用千克、斤、吨、磅等不同的单位制,度量角的大小可以用度为单位进行 度量,并且一度的角等于周角的 1 360 ,记作 1. 通过类比引出弧度制,给出 1 弧度的定义,然后通过探究得到弧度数的绝对值公式,并得出 角度和弧度的换算方法.在此基础上,通过具体的例子,巩固所学概念和公式,进一步认识引入 弧度制的必要性.这样可以尽量自然地引入弧度制,并让学生在探究过程中,更好地形成

2、弧度的 概念,建立角的集合与实数集的一一对应,为学习任意角的三角函数奠定基础. 通过探究讨论,关键弄清 1 弧度角的定义,使学生建立弧度的概念,理解弧度制的定义,达 到突破难点之目的.通过电教手段的直观性,使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠 性、可行性.通过周角的两种单位制的度量,得到角度与弧度的换算公式.使学生认识到角度制、 弧度制都是度量角的制度,二者虽单位不同,但却是互相联系、辩证统一的.进一步加强对辩证 统一思想的理解,渗透数学中普遍存在、相互联系、相互转化的观点. 三维目标 1.通过类比长度、重量的不同度量制,使学生体会一个量可以用不同的单位制来度量,从而引出 弧度制. 2.

3、通过探究使学生认识到角度制和弧度制都是度量角的制度,通过总结引入弧度制的好处,学 会归纳整理并认识到任何新知识的学习,都会为解决实际问题带来方便,从而激发学生的学习 兴趣. 重点难点 教学重点:理解弧度制的意义,并能进行角度和弧度的换算. 教学难点:弧度的概念及其与角度的关系. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.(类比导入)测量人的身高常用米、厘米为单位进行度量,这两种度量单位是怎样换 算的?家庭购买水果常用千克、斤为单位进行度量,这两种度量单位又是怎样换算的?度量角的 大小除了以度为单位度量外,还可采用哪种度量角的单位制?它们是怎样换算的? 思路 2.(情境导入)利用古代度量

4、时间的一种仪器日晷,或者利用普遍使用的钟表.实 际上我们使用的钟表是用时针、分针和秒针角度的变化来确定时间的.无论采用哪一种方法,度 量一个确定的量所得到的量数必须是唯一确定的.在初中,已学过利用角度来度量角的大小,现 在来学习角的另一种度量方法弧度制. 推进新课 新知探究 提出问题 问题:在初中几何里,我们学习过角的度量,1的角是怎样定义的呢? 问题:我们从度量长度和重量上知道,不同的单位制能给我们解决问题带来方便.那么角的度 量是否也能用不同单位制呢? 活动: :教师先让学生思考或讨论问题,并让学生回忆初中有关角度的知识,为更好地理解角度弧 1 度的关系奠定基础.我们知道,半径不同时,同样

5、的圆心角所对的弧长是不相等的,但通过度量 和计算发现,当半径不同时,同样的圆心角所对的弧长与半径之比是常数,这个常数我们称为该 角的弧度数.讨论后教师提问学生,并对回答好的学生及时表扬,对回答不准确的学生提示引导 考虑问题的关键.教师引导学生进一步探究,对任意一个 0360的角,我们以它的顶点为圆 心,画单位圆就能得到它的弧度数.不难看出,不同的角,其弧度数一定不相同,而且角越大,它 的弧度数越大.因此,我们可以用角的弧度数来度量角的大小.我们规定长度等于半径长的圆弧 所对的圆心角叫作 1 弧度的角.以弧度为单位来度量角的制度叫作弧度制;在弧度制下,1 弧 度记作1 rad.如图1 中, 的长

6、等于半径r, 所对的圆心角AOB 就是1 弧度的角, 即 l r =1. 图 1 讨论结果:1的角可以理解为将圆周角分成 360等份,每一等份的弧所对的圆心角就是 1. 它是一个定值,与所取圆的半径大小无关. 能,用弧度制. 提出问题 问题:作半径不等的甲、乙两圆,在每个圆上作出等于其半径的弧长,连接圆心与弧的两 个端点,得到两个角,将乙图移到甲图上,两个角有什么样的关系? 问题:如果一个半径为 r 的圆的圆心角 所对的弧长是 l,那么 的弧度数是多少?既 然角度制、弧度制都是角的度量制,那么它们之间如何换算? 活动: :教师引导学生学会总结和归纳角度制和弧度制的关系,提问学生归纳的情况,让学

7、生找出 区别和联系.教师给予补充和提示,对表现好的学生进行表扬,对回答不准确的学生提示和鼓励. 引入弧度之后,应与角度进行对比,使学生明确:第一,弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单 位制,角度制是以“度”为单位来度量角的单位制;第二,1 弧度是等于半径长的弧所对的圆心 角(或这条弧)的大小,而 1的角是周角的 1 360 ;第三,无论是以“弧度”还是以“度”为单位, 角的大小都是一个与半径大小无关的定值.教师要强调为了让学生习惯使用弧度制,本教科书 在后续的内容中尽量采用弧度制. 讨论结果: : 完全重合,因为都是 1 弧度的角. 1 = ; 将 角 度 化 为 弧 度 :360=2rad,

8、1= rad0.01745rad, 将 弧 度 化 为 角 r 180 180 度:2rad=360,1rad=( )57.30=5718.弧度制与角度制的换算公式:设一个角 180 的弧度数为 rad=( ),n=n (rad). 180 提出问题 问题:引入弧度之后,在平面直角坐标系中,终边相同的角应该怎么用弧度来表示?扇形 的面积与弧长公式用弧度怎么表示? :填写下列的表格,并找出某种规律. 2 的长 OB 旋转的方向 AOB 的弧度数 AOB 的度数 r 逆时针方向 2r 逆时针方向 r 1 -2 - 0 180 360 活动:教师先点明教科书上为什么设置这个“探究”?其意图是先根据所

9、给图像对一些特殊角填 表,然后概括出一般情况.通过学生合作交流,讨论并总结出规律,提问学生的总结情况,让学生 板书.教师对做正确的学生给予表扬,对没有总结完全的学生进行必要的提示. 由上表可知,如果一个半径为 r 的圆的圆心角 所对的弧长是 l,那么 的弧度数的绝对 值是 l r 这里,应当注意从数学思想的高度引导学生认识“换算”问题,即角度制、弧度制都是角 的度量制,那么它们一定可以换算.推而广之,同一个数学对象用不同方式表示时,它们之间一 定有内在联系,认识这种联系性也是数学研究的重要内容之一. 教师点拨:角的概念推广后,在弧度制下,角的集合与实数集 R R 之间建立起一一对应关系:每 一

10、个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一 个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.值得注意的是:今后在表示与角 终边相同的角 时,有弧度制与角度制两种单位制,要根据角 的单位来决定另一项的单位,即两项所用的单 位制必须一致,绝对不能出现 k360+ 3 或者 2k+60一类的写法.在弧度制中,与角 终 边相同的角,连同角 在内,可以写成 =+2k (kZ Z)的形式.如图 2 为角的集合与实数集 R R 之间的一一对应关系. 图 2 讨论结果: 与角 终边相同的角,连同角 在内,可以写成 =+2k (kZ Z)的形式.弧度 制下关于扇形的公式为 l

11、=R,S= 1 2 1 R2,S= l 2 R. 的长 OB旋转的方向 AOB的弧度数 AOB 的度数 r 逆时针方向 180 2r 逆时针方向 2 360 r 逆时针方向 1 57.3 2r 顺时针方向 -2 -114.6 r 顺时针方向 - -180 0 未施转 0 0 3 r 逆时针方向 180 2r 逆时针方向 2 360 应用示例 思路 1 1 例 1 下列各命题中,是真命题的是( ) A.一弧度是一度的圆心角所对的弧 B.一弧度是长度为半径的弧 C.一弧度是一度的弧与一度的角之和 D.一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角,它是角的一种度量单位 活动:本例目的是让学生在教师的指导下

12、理解弧度制与角度制的联系与区别,以达到熟练掌握 定义.从实际教学上看,弧度制不难理解,学生结合角度制很容易记住. 根据弧度制的定义:我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作一弧度的角.对照各项, 可知 D 为真命题. 答案:D 点评: :本题考查弧度制下角的度量单位:1 弧度的概念. 变式训练 下列四个命题中,不正确的一个是( ) A.半圆所对的圆心角是 rad B.周角的大小是 2 C.1 弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径 D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是 1 弧度 答案: :D 例 2 把 45化成弧度. 解: :45= 45rad= rad. 180 4 3 例 3 把 ra

13、d化成度. 5 3 3 解: : rad= 180=108. 5 5 例 4 将下列用弧度制表示的角化为 2k+kZ Z,0,2)的形式,并指出它们所在 的象限:- 15 4 32 ; ;-20;-2 3 . 3 活动:本题的目的是让学生理解什么是终边相同的角,教师给予指导并讨论归纳出一般规律.即 终边在 x 轴、y 轴上的角的集合分别是:|=k,kZ Z,|= 三、四象限角的集合分别为: 2 |2k2k+ ,kZ Z, 2 |2k+ 2k+,kZ Z, 2 |2k+2k+,kZ Z, 3 |2k+ 2k+2,kZ Z. +k,kZ Z.第一、二、 2 4 解: :- 15 4 =-4+ 4

14、,是第一象限角. 32 3 =10+ 2 3 ,是第二象限角. -20=-36.28-1.16,是第四象限角. -2 3 -3.464,是第二象限角. 点评:在这类题中对于含有 的弧度数表示的角,我们先将它化为 2k+ kZ Z, 0,2)的形式,再根据 角终边所在的位置进行判断,对于不含有 的弧度数表示的角, 取 =3.14,化为 k6.28+,kZ Z,|0,6.28)的形式,通过 与 估计出角所在的象限. 变式训练 (1)把-1 480写成 2k+(kZ Z,0,2)的形式; (2)若 -4,0),且 与(1)中 终边相同,求 . 2 , 3 2 比较大小, 解: :(1)-1 480=

15、- 74 9 16 =-10+ 9 ,0 16 9 2, -1 480=2(-5)+ 16 9 . 16 (2) 与 终边相同,=2k+ 9 ,kZ.Z. 又-4,0),1=- 2 9 ,2=- 20 9 . 思路 2 2 1.已知 02,且 与 7 终边相同,求 . 活动: :本例目的是让学生在教师的指导下会用弧度制求终边相同的角,并通过独立完成课后练 习真正领悟弧度制的要领,最终达到熟练掌握.从实际教学来看,用弧度制解决角的问题很容易 却难掌握,很有可能记错或者混淆或者化简错误,学生需多做些这方面的题来练基本功.可先让 学生多做相应的随堂练习,在黑板上当场演练,教师给予批改指导,对易出错的

16、地方特别强调.对 学生出现的种种失误,教师不要着急,在学生的练习操作中一一纠正,这对以后学习大有好处. 解: :由已知,得 7=2k+,kZ Z,即 6=2k.= k 3 . 又02,0 k 3 2. kZ Z,当 k=1、2、3、4、5 时,= 3 、 2 3 、 4 3 、 5 3 点评:本题是在一定的约束条件下,求与角 终边相同的角,一般地,首先将这样的角表示为 2k+kZ Z,0,2)的形式,然后在约束条件下确定 k 的值,进而求适合条件的角. 例 2 已知一个扇形的周长为 a,求当扇形的圆心角多大时,扇形的面积最大,并求这个最大值. 活动: :这是一道应用题,并且考查了函数思想,教师

17、提示学生回顾一下用函数法求最值的思路与 步骤,教师提问学生对已学知识的掌握和巩固,并对回答好的学生进行表扬,对回答不全面的学 生给予一定的提示和鼓励.教师补充.函数法求最值所包括的五个基本环节:(1)选取自变量;(2) 建立目标函数;(3)指出函数的定义域;(4)求函数的最值;(5)作出相应结论.其中自变量的选取 不唯一,建立目标函数结合有关公式进行,函数定义域要根据题意确定,有些函数是结构确定求 最值的方法,并确保在定义域内能取到最值. 5 解: :设扇形的弧长为 l,半径为 r,圆心角为 ,面积为 S.由已知,2r+l=a,即 l=a-2r. S= 1 2 lr= 1 2 (a-2r)r=

18、-r2+ a 2r=- (r- a 4) 2+ a 2 1 6 . r0,l=a-2r0,0r a 2 . 当 r= a 4 时,S = ma x a 2 1 6 此时,l=a-2 a 4= a 2,= 1 r =2 . 故当扇形的圆心角为 2rad时,扇形的面积取最大值 a 2 16 点评:这是一个最大值问题,可用函数法求解,即将扇形的面积S 表示成某个变量的函数,然后求 这个函数的最大值及相应的圆心角. 变式训练 已知一个扇形的周长为 8 9 +4,圆心角为 80,求这个扇形的面积. 解: :设扇形的半径为 r,面积为 S,由已知知道,扇形的圆心角为 80 180 = 4 9 , 扇 形的

19、 弧长 为 故扇 形的 面积 为 4 9 r , 由 已 知 , 4 9 r + 2 r = 8 9 + 4 , r = 2 , S = 1 2 点评: :求解扇形问题的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量.相反,也 可由扇形的面积结合其他条件,求扇形的圆心角、半径、弧长.解题时要注意公式的灵活变形及 方程思想的运用. 知能训练 习题 13 1、2、3、4、5. 课堂小结 由学生总结弧度制的定义,角度与弧度的换算公式与方法.教师强调角度制与弧度制是度 量角的两种不同的单位制,它们是互相联系,辩证统一的;角度与弧度的换算,关键要理解并牢 记 180=rad 这一关系式,由此可以

20、很方便地进行角度与弧度的换算;三个注意的问题,同学 们要切记;特殊角的弧度数,同学们要熟记. 重要的一点是,同学们自己找到了角的集合与实数集 R R 的一一对应关系,对弧度制下的弧 长公式、扇形面积公式有了深刻的理解,要把这两个公式记下来,并在解决实际问题中灵活运用, 表扬学生能总结出引入弧度制的好处,这种不断总结,不断归纳,梳理知识,编织知识的网络,特 别是同学们善于联想、积极探索的学习品质,会使我们终生受用,这样持之以恒地坚持下去,你 会发现数学王国的许多宝藏,以服务于社会,造福于人类. 作业 习题 13 6、8. 设计感想 本节课的设计思想是:在学生的探究活动中通过类比引入弧度制这个概念

21、并突破这个难点. 因此一开始要让学生从图形、代数两方面深入探究,不要让开始的探究成为一种摆设.如果学生 一开始没有很好的理解,那么以后有些题怎么做就怎么难受.通过探究让学生明确知识依附于 问题而存在,方法为解决问题的需要而产生.将弧度制的概念的形成过程自然地贯彻到教学活 动中去,由此把学生的思维推到更宽的广度. 本节设计的特点是由特殊到一般、由易到难,这符合学生的认知规律;让学生在探究中积累 知识,发展能力,对形成科学的探究未知世界的严谨作风有着良好的启迪.但由于学生知识水平 的限制,本节不能扩展太多,建议让学有余力的学生继续总结归纳用弧度来计量角的好处并为 6 后续三角函数的学习奠定基础.

22、根据本节特点可考虑分层推进、照顾全体.对优等生,重在引导他们变式思维的训练,培养 他们求同思维、求异思维的能力,以及思维的灵活性、深刻性与创造性.鼓励他们独立思考,勇 于探索,敢于创新,对正确的要予以肯定,对暴露出来的问题要及时引导、剖析纠正,使课堂学习 成为再发现再创造的过程. 备课资料 一、密位制度量角 度量角的单位制,除了角度制、弧度制外,军事上还常用密位制.“”密位制的单位是 密位 .1 密位就是圆的 1 6000 所对的圆心角(或这条弧)的大小.因为 360=6 000 密位,所以 1= 6000 密位 16.7 密位, 360 360 1 密位= =0.06=3.6216. 600

23、0 密位的写法是在百位上的数与十位上的数之间画一条短线,例如 7 密位写成 007,读作 “零,”零七 ,478密位写成 478,“读作 四,”七八 . 二、备用习题 1.一条弦的长度等于圆的半径,则这条弦所对的圆心角的弧度数是( ) A. 3 B. 6 C.1 D. 2.圆的半径变为原来的 2 倍,而弧长也增大到原来的 2 倍,则( ) A.扇形的面积不变 B.扇形的圆心角不变 C.扇形的面积增大到原来的 2 倍 D.扇形的圆心角增大到原来的 2 倍 3.下列表示的为终边相同的角的是( ) A.k+ 4 与 2k+ 4 (kZ Z) B. k 2 与 k+ 2 (kZ Z) C.k- 2 3

24、 与 k+ 3 (kZ Z) D.(2k+1) 与 3k(kZ Z) 4.已知扇形的周长为 6cm,面积为 2cm2,求扇形的中心角的弧度数. 5.若 (- 2 ,0),(0, 2 ),求 +,- 的范围,并指出它们各自所在的象限. 6.用弧度表示顶点在原点,始边重合于 x 轴的非负半轴,终边落在阴影部分内的角的集合(不包 括边界,如图 3 所示). 图 3 7.(1)角 , 的终边关于直线 y=x对称,写出 与 的关系式; (2)角 , 的终边关于直线 y=-x对称,写出 与 的关系式. 参考答案: :1.A 2.B 3.C 7 4.解: :设扇形所在圆的半径为 R,扇形的中心角为 ,依题意

25、有 R+2R=6,且 R=1,=4 或 R=2,=1. =4 或 1. 1 2 R2=2, 5. .解: :- 2 + 2 , + 在第一象限或第四象限,或 + 的终边在 x 轴的非负半轴上.-0, - 在第三象限或第四象限,或 - 的终边在 y 轴的非正半轴上. 6. .解: :(1)|2k- 6 2k+ 5 12 ,kZ Z; (2)|2k- 3 4 2k+ 3 4 ,kZ Z; (3)|2k+ 6 2k+ 2 ,kZ Z|2k+ 7 6 2k+ 3 2 ,kZ Z =|n+ 6 + 2 ,nZ Z. 7.解: :(1)= 2 -+2k,kZ Z; (2)= 2 +2k,kZ.Z. 三、钟

26、表的分针与时针的重合问题 弧度制、角度制以及有关弧度的概念,在日常生活中有着广泛的应用,我们平时所见到的时 钟上的时针、分针的转动,其实质都反映了角的变化.时间的度量单位时、分、秒分别与角 2 (rad), 30 (rad), 1800 (rad)相对应,只是出于方便的原因,才用时、分、秒.时钟上的数学问题 比较丰富,下面我们就时针与分针重合的问题加以研讨. 例题 在一般的时钟上,自零时开始到分针与时针再一次重合,分针所转过的角的弧度数是多 少(在不考虑角度方向的情况下)? 甲生:自零时(此时时针与分针重合,均指向 12)开始到分针与时针再一次重合,设时针转过了 x 弧度,则分针转过了 2+x

27、 弧度,而时针走 1 弧度相当于经过 6 h= 360 min,分针走 1 弧度相当 于经过 30 min,故有 360 x= 30 (2+x),得 x= 2 11 , 到分针与时针再一次重合时,分针转过的弧度数是 2 11 +2 +2= 24 11 (rad). 乙生:设再一次重合时,分针转过弧度数为 ,则 =12(-2)(因为再一次重合时,时针比分 针少转了一周,且分针的旋转速度是时针的 12 倍),得 = 24 11 , 到分针与时针再一次重合时,分针转过的弧度数是 24 11 (rad). 点评: :两名同学得出的结果相同,其解答过程都是正确的,只不过解题的角度不同而已.甲同学 是从时针与分针所走的时间相等方面列出方程求解,而乙同学则从时针与分针所转过的弧度数 入手,当分针与时针再次重合时,分针所转过的弧度数 -2 与时针所转过的弧度数相等,利 用弧度数之间的关系列出方程求解. 8