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1、1.31.3 弧度制 5 5 分钟训练(预习类训练，可用于课前) 1.下列诸命题中，真命题是（ ） A.一弧度是一度的圆心角所对的弧 B.一弧度是长度为半径的弧 C.一弧度是一度的弧与一度的角之和 D.一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位 解析：由 1 弧度的意义可知，选 D. 答案：D 2.下列诸命题中，假命题是（ ） A.“”“”度 与 弧度 是度量角的两种不同的度量单位 B.1 度的角是周角的 1 360 ，1 弧度的角是周角的 1 2 C.根据弧度的定义，180一定等于 弧度 D.不论用角度制还是用弧度制度量角，它们与圆的半径长短有关 解 析：由角和弧度的定义，
2、可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与半径的长短无关，而是 与弧长与半径的比值有关.故应选. 答案：D 3.单位圆中，长为 2 个单位长度的弧所对的圆心角的弧度数为_ rad. 解析：由 = l r ，可得圆心角 的弧度为 2 1 =2 rad. 答案：2 8 4.-300化为弧度是， 弧度化为角度是_. 5 5 解析：-300= （-300）rad= , 180 3 8 8 rad=180 =288. 5 5 5 答案： rad 288 3 1010分钟训练(强化类训练，可用于课中) 1.在直角坐标系中，集合 S=|=k 2 ，kZ Z的元素所表示的角的终边在（ ） A.第一象限 B.x轴上
3、 C.y 轴上 D.坐标轴上 解 析：终边落在坐标轴上的角的集合应为|= k 2 ，kZ Z易知当整数 k 为偶数时， 的终 边落在 x 轴上；当 k 为奇数时， 的终边落在 y 轴上.所以 角的终边应落在坐标轴上. 答案：D 2.下列两组角中，终边不相同的是（ ） A. 4 +k 与 3 +k（kZ Z） B. 4 2 +2k 与 3 4 3 2k （kZ Z） 1 13 5 7 C. +2k 与 +2k（kZ Z） D. +2k 与 +2k（kZ Z） 6 6 12 12 解析：对整数 k 的取值进行分类讨论.一一验证，易知 B、C 中两组角终边相同.A中，k+ 4 3 5 7 和 k-
4、（kZ Z）的终边相同；D 中，由于 和 不在一个象限，所以它们的终边不 4 12 12 相同. 答案：D 4 3. rad 化为度应是_. 5 4 4 解析： rad=180， rad= 5 5 答案：144 180=144. 4.把下列各角化为 2k+（02）的形式，并指出所在的象限. 27 39 （1） ； （2） 4 6 27 3 27 解：（1） =6+ , 在第二象限； 4 4 4 39 39 （2） 的终边落在 y 轴的正半轴上. 6 , 6 2 6 . 5.某飞轮直径为 1.2 m，每分钟按逆时针方向旋转 300圈，求： （1）飞轮每分钟转过的弧度数； （2）轮周上的一点每秒钟
5、经过的弧长. 解：（1）因为飞轮每分钟按逆时针方向旋转 300 圈，而逆时针方向旋转一周的弧度数为 2， 所以飞轮每分钟转过的弧度数是 3002=600 rad. （2）飞轮每分钟按逆时针方向旋转 300 圈，每秒钟转 5 圈. 又飞轮直径为 1.2 m， 一圈的长（即圆的周长）为 1.2 m. 因此轮周上的一点每秒钟经过的弧长是 51.2 m=6 m. 3030分钟训练(巩固类训练，可用于课后) 1.下列各命题中正确的是（ ） A.地球到太阳的距离 y 与时间 t 构成的函数是周期函数 B.用弧度制表示的角都是正角 C.大圆中 1 弧度角比小圆 1 弧度角大 D.圆心角为 1 弧度的扇形的弧
6、长相等 解 析：据物理学知识，任何一时刻，地球与太阳的距离 y 是唯一确定的，且每经过一年地球绕 太阳旋转一周，无论哪个时刻 t，经过一年，地球又回到原来的位置，所以我们有 f（T+t）=f （t），故 y=f（t）是周期函数.所以 A 正确；对于弧度制，定义为弧长等于 1 个单位长度所对 的圆心角大小为 1 弧度，与圆的大小无关.大小不同的圆 1 弧度的扇形的弧长不等，所以 C、D 均不正确.又采用弧度制表示的角，是任意角，可正可负，所以 B 不正确. 答案：A 2.圆的一段弧长等于这个圆的内接正三角形的一条边长，那么这段弧所对的圆心角是弧度. 解 析：设圆的半径为 r，则圆内接正三角形的边
7、长为 3r ，即弧长为 3r ，所以所求圆心角的 2 l 3r 弧度数为|= 3 r r . 答案： 3 3.地球赤道的半径是 6 370 km，赤道上 1的弧长是_ km.（可用计算器） 解析：由于 1= 180 0.017 45 rad， 所以赤道上 1的弧长是 0.017 456 370 km=111.156 5 km. 答案：111.156 5 3 4.已知 ( ,),求 +2,-2 的范围. , )，( 4 3 4 3 3 3 解： , ,则 22,-2-2 ， 4 3 4 2 2 5 9 7 7 , 2 2 . 4 3 4 6 5.将下列各角从弧度化为度： 5 （1） ； （2）-
8、20. 12 5 5 解：（1） rad= 180=-75； 12 12 （2）-20 rad57.3（-20）=-1 146. 6.将下列角度数化为弧度数： （1）-1245； （2）11230. rad 17 解：(1)-1245=-1275=-12.75 180 240 rad 5 （2）11230=112.5=112.5 rad. 180 8 ； 7.已知一扇形的周长是 40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大?最大 面积是多少? 解：设扇形的圆心角为 ，半径为 r，弧长为 l，面积为 S，则 l+2r=40，l=40-2r. 1 lr （40-2r）r=20r-
9、r 1 S= 2=-（r-10）2+100. 2 2 当半径 r=10 cm 时，扇形的面积最大，这个最大值为 100 cm2，这时 = l r (40 210) 10 rad=2 rad. 8.已知圆中一段弧长正好等于该圆外切正三角形的边长，求这段弧所对的圆心角. 解：设圆的半径为 r，则圆的外切正三角形的边长为 2 3r ，由题意知弧长为 2 3r ， 2 3 r 所以这段弧所对的圆心角的弧度数为 2 3 r rad. 9.已知圆上一点 A(1,0)按逆时针方向做匀速圆周运动，1 秒钟时间转过 (0)角，经 过 2 秒钟到达第三象限，经过 14秒钟转到与最初位置重合的位置，求 角的弧度数. 解：0，可得 022. 3 3 又2 在第三象限，2 . 2 2k 由 14=2k(kZ Z),可得 2= (kZ Z)， 7 4 5 k=4 或 5.= 或 . 7 7 2k 7 3 2 ,即 7 k 21. 2 4 10.在已知圆内，1 弧度的圆心角所对的弦长为 2，求这个圆心角所对的弧长及扇形的面积. 解：如图，作 OCAB 于 C，则 C 为 AB的中点，且 AC=1，AOC= 1 2 ，所以 AC 1 r=OA= . sin AOC 1 sin 2 1 则弧长 l=|r= ,面积 S= 1 sin 2 1 2 1 lr . 1 2 sin 2 2 4