《高中数学第一章三角函数1.4.3单位圆与诱导公式教案北师大版必修420170825237.wps》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第一章三角函数1.4.3单位圆与诱导公式教案北师大版必修420170825237.wps（20页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、1.4.31.4.3 单位圆与诱导公式 整体设计 教学分析 本节教学内容的安排是学生学过的三角函数定义等知识的延续和拓展.根据上一节任意角 的正弦、余弦函数的定义，我们知道某角的三角函数值是由该角的终边上点的坐标给出的.我 们根据这一点，即三角函数的定义，结合角 的终边与角 +，-，- 的终边的对称 性，找出这些角的三角函数值与角 的三角函数值之间的关系，并利用这些关系求一些角的 三角函数值，化简一些三角函数式，即我们不仅要探索出这些关系式，还要掌握并能利用它们 解决一些简单的问题. 诱导公式是求三角函数值的基本方法，求三角函数值是三角函数中的重要问题之一.诱导 公式的重要作用是把求任意角的三
2、角函数值问题转化为求 0-90角的三角函数值问题.诱导 公式的推导过程，体现了数学的数形结合和归纳转化的思想方法，反映了从特殊到一般的数学 归纳思维形式，这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力、,掌握数学的思想方法具有 重大的意义. 在本节诱导公式的学习中，关键是紧紧抓住单位圆这一图形工具，充分利用数形结合思想， 将化归思想贯穿始终，这些典型的数学思想，无论在本节中的分析导入,还是利用诱导公式将 求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值，都清晰地得到体现.在教学中注意数学思 想渗透于知识的传授之中，让学生了解化归思想，形成初步的化归意识，特别是在本课时的几 个转化问题引入后，为什么确定
3、 180+ 角为第一研究对象，- 角为第二研究对象，正是 化归思想的运用.本节内容的重点是诱导公式的推导及运用，在公式的推导中，首先确定 180+ 角、- 角的终边与角 的终边有何位置关系，找出它们与单位圆交点的坐标，由 正弦函数、余弦函数的定义得出结论.另外，运用公式进行一般的化简，实际上也是熟悉公式、 巩固公式的一种方法，因此它同样属于本课时的重点之一. 本节课教学方法主要采用了引导、观察、分析、归纳、讨论、类比发现法，在教案设计过 程中，一是立足于知识的发生、发展形成过程，不断创设问题情境，让学生从已有的知识及感 知中去观察、分析、总结公式的特点提炼公式的含义；二是力求以学生为主体，对课
4、本上内容 进行重新处理，特别是通过设疑和学生间互相讨论，以及画图思考来引导学生发展思维，获取 新知识，形成技能.这样既注重学生的认知结构培养，也体现数学教学是数学思维活动过程的 教学；三是注重数学思想方法，如数形结合、化归、类比等数学思想方法，把握数学中最本质 的东西，为学生进一步学习数学奠定坚实的基础. 三维目标 1.通过学生的探究，明确三角函数的诱导公式的来龙去脉，理解诱导公式的推导过程；培养学 生的逻辑推理能力及运算能力，渗透转化及分类讨论的思想. 2.通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推 理思维方式，并通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提
5、高学生分析问题和解决问题的实 践能力. 3.通过诱导公式的推导，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识及学 生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辩证唯物主义思 想，提高分析问题和解决问题的能力,体会数学式子的简洁美、对称美以及数学式子变化的无 穷魅力. 重点难点 教学重点：诱导公式的推导及灵活运用，如三角函数式的求值、化简和证明 等. 教学难点：相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识. 课时安排 1 2 课时 教学过程 第 1 1 课时 导入新课 思路 1.(复习引入)我们前面利用单位圆得到了任意角的正弦、余弦函数，周期函数，最 小正周
6、期等概念.它在转化任意角的三角函数中所起的作用是什么呢？从周期函数的概念中我 们知道正弦、,余弦函数值每隔 2 就会重复出现，那么在单位圆中是怎样体现的呢？有什么 内在的联系呢？由此引入新课. 思路 2.在单位圆中，216角的终边 OP在第三象限内，将 OP 反向延长，与单位圆交于 P 点，则在 090之间找到一个角 =216-180=36.由于OPMOPM，所以有 MP=MP.又因为 sin216=MP，sin36=MP，而 MP与 MP的长度相同、方向相反， 所以有 sin216=-sin36.这样便把求 sin216的值的问题，转化为可查表的 36角的三角 函数求值问题.你能把以上几何变
7、换的过程，用三角关系式表示出来吗？由此引入新课. 或者从猜想中引入：比如学生根据上节所求，会得到以下结果： sin 5 6 sin 6 1 2 ， cos 5 6 - cos 6 - 1 2； sin 2 3 sin 3 3 2 2 ，cos - cos - 3 3 3 2 ,等 等. 教师由此 发问:观察 角 5 6 与 6 角的关系会得到什么结论？ 把角 6 、 5 6 放到单位圆 中又 有什么发现呢？让学生在强烈的探求欲望中展开新课，这也是一种很不错的选择. 推进新课 新知探究 提出问题 让学生回忆任意角的正弦、余弦函数是怎样定义的？ 观察单位圆，角 与 - 的正弦、余弦函数值具有怎样的
8、关系？ 观察单位圆，角 与-，2- 的正弦、余弦函数值具有怎样的关系？ 观察单位圆，角 与 + 的正弦、余弦函数值具有怎样的关系？ 活动: :教师在唤起学生对任意角的正弦、余弦函数定义的回忆后，指导学生画出单位圆，并在 单位圆中画出角 3 、 2 3 ，思考分析它们的关系. 图 1 教师与学生一起观察图 1，MOP= 3 ,MOP= 2 3 ,在直角坐标系的单位圆中，点 P 与点 P 关于 y 轴对称，它们的坐标分别为( 的绝对值相等且符号相反. 1 2 ， 3 2 )、(- 1 2 ， 3 2 )，即它们的纵坐标相等，横坐标 2 sin2 3 3 2 sin 3， cos 2 3 - 3 2
9、 - cos 3. 这很自然地引起学生的猜想：对任意的角 与 - 是否也具有这种关系呢？教师引导学生 做进一步探究.教师出示课件，将 的终边绕单位圆一周，让学生在动态中思考 与 - 的关系.让学生观察图 2，或由学生在单位圆中，作MOP=,MOP-.不难看出，点 P(a,b)和 点 P(-a,b)关于 y 轴对称.因此，它们的纵坐标相等，横坐标的绝对值相等且符号相反，即 sin(-)=sin, cos（-)=-cos. 图 2 有了上述探究过程的经历，学生会想到用类比的思想方法来进一步探究角 与-，2- 的正弦、余弦函数值的关系.教师演示课件，让学生在动态中感知 与- 的位置关系(如图 4).
10、在引导学生观察图 3 时，可让学生自己独立探究、归纳发现公式，体验在自己的发现中成 功的愉悦感，以提高数学学习的自信心和进一步探究的欲望.事实上，在单位圆中，作 MOP=,MOP-(或 2-)，不难看出，点 P(a,b)和 P(a,-b)关于 x 轴对称.因此， 它们的横坐标相等，纵坐标的绝对值相等且符号相反,即 sin(-)=-sin,sin(2-)=-sin, cos(-)=cos,cos(2-)=cos. 图 3 3 图 4 同样学生可自主探究角 与 + 的正弦、余弦函数值的关系.教师演示课件，动态的表 示出 与 + 的位置关系(如图 6).然后引导学生观察图 5，在单位圆中，作MOP
11、,MOP+，不难看出，点 P(a,b)和 P(-a,-b)关于原点对称.因此，它们的横坐标 绝对值相等且符号相反，纵坐标绝对值相等且符号相反,即 sin(+)=-sin, cos（+)=-cos. 图 5 图 6 通过以上探究，我们得到了三组公式，这给我们的三角函数求值、化简、证明带来了极大 便利.教师与学生一起观察分析公式的结构特征，找出记忆的诀窍，强调无论 是锐角还是任 意角，公式均成立；可以这样概括说明记忆：-,2- 的三角函数值等于 的同 名函数值，前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号.或者进一步简记为：“函数名不变， 4 符号看象限”，点拨、引导学生注意公式中 的任意性. 讨论结
12、果:略. 应用示例 例 1 求下列各角的三角函数值： (1)sin(- 7 4 ); (2)cos 2 3 ; (3)cos(- 31 6 ). 活动: :本例是直接运用公式的题目，目的是让学生熟悉公式，初步体会公式的简单应用.通过练 习,加深对公式的理解，逐步达到正确熟练的公式应用.解答时可让学生观察题目中角的范围， 对照公式找出哪个公式适合解决这个问题，可让学生独立解答，对个别有困难的学生教师对其 适时的点拨引导. 解: : (1)sin(- 7 4 )=-sin 7 4 =-sin(2- 4 )=-(-sin 4 )=sin 4= 2 2 (2)cos 2 3 =cos（- 3 )=-c
13、os 3 =- 1 2 （3)cos(- 31 6 )=cos 31 6 =cos（4+ + 6 ) =cos（ + 6 )=- cos 6=- 3 2 . 点评:利用公式可把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数，一般可按下列步骤进行： 任意负角的三角函数任意正角的三角函数0-2 三角函数锐角三角函数，这种变化体现 了由未知转化为已知的转化与化归的思想方法.教师应提醒学生注意：这仅仅是一种转化模式 或求解思路，不要记诵这个步骤.在实际解题中只要灵活地应用公式求解，明确先用哪个公式、 后用哪个公式是没有什么固定要求的，否则就违背了学习的本质要义，解题就成了死解题、解 死题，可谓题目解了千千万万，
14、一到考试不得分，其学习当然也就成了死学习，越学越不得要 领，结果把自己本来的灵活学成了呆板.如本例(1)完全可以这样来解： sin(- 7 4 )=sin(-2+ 4 )=sin 4 = 2 2 . 变式训练 利用公式求下列三角函数值： (1)cos(-51015); (2)sin(- 17 3 ). 解: :(1)cos(-51015)= cos51015=cos(360+15015) =cos15015=cos(180-2945)=-cos2945=-0.868 2. (2)sin(- 17 3 )=sin( 3 -32)=sin 3 = 3 2 例 2 化简 cos(180 ) sin(
15、 ) cos(180 sin( 180 活动: :教师引导学生认真仔细观察题目，题中四个三角函数是对诱导公式进一步的复习和巩固， 重点训练学生对知识的掌握程度和应用的灵活程度.可适时地提醒学生注意，利用诱导公式时 尽可能将角统一，从而达到化简的目的.本例可由学生自己完成，教师也可在学生解完此题后 让学生变化题目，进行一题多变.如可在 180及 360的前面添加偶数 n 或奇数 n 或整数(此 时需要分类讨论)n；亦或将角 “前面的 +、-”进行变化，这样可达到一题多用的目的，提 高学生的兴趣，长此以往学生就能达到解一题会一片，就能融会贯通而灵活多变，达到我们常 “说的 越学越省劲,”越学越聪明
16、 的境界. 5 解: :sin(-180)=sin-(180+)=sin(180+)=-(-sin)=sin, cos(-180-)=cos-(180+)=cos(180+)=-cos, cos(180+)=-cos, sin(360+)=sin. 所以，原式= cos sin sin (cos) =1. 点评: :运用诱导公式时可首先将负角化为正角，这有利于解题的简洁. 变式训练 化简 cos315+sin(-30)+sin225+cos480. 解: :cos315+sin(-30)+sin225+cos480 =cos(360-45)-sin30+sin(180+45)+cos(360+
17、120) =cos(-45)- 1 2 -sin45+cos120 =cos45- 1 2 - 2 2 +cos(180-60) = 2 2 - 1 2 - 2 2 -cos60=-1. 3.已知函数 f(x)=asin(x+)+bcos(x+).其中 a,b, 都是非零实数，又知 f(2 003)=-1，求 f(2 004)的值. 活动: :解决本题的关键是寻求 f(2 003)=-1与 f(2 004)之间的联系，这个联系就是我们解答问题 的钥匙.显然通过诱导公式，我们可以将 f(x)的表达式化为只有 , 的代数式.然后逐步转 化利用条件解之，教师可让学生独立探究，适时地给以点拨. 解:
18、:f(2 003)=asin(2 003+)+bcos(2 003+) =asin(2 002+)+bcos(2 002+) =asin(+)+bcos(+) =-asin-bcos =-(asin+bcos), f(2 003)=-1,asin+bcos=1. f(2 004)=asin(2 004+)+bcos(2 004+) =asin+bcos=1. 点评: :解决问题的实质就是由未知向已知转化的过程，在这个过程中一定要抓住关键和要害， 注意“整体代入”这一思想的应用.解答本题的关键就是求得式子 asin+bcos=1，它是联 系已知和未知的纽带. 知能训练 课本练习 1、2. 课堂小
19、结 由学生回顾本节课的学习过程，归纳总结本节课所学到的数学知识及数学思想方法.本节 的重点是公式的推导过程及应用.在突出重点的同时，要抓住公式结构特点，善于记忆公式.如 本节公式：-,2- 的三角函数值等于它的同名函数值，前面加上一个把 看成 锐角时原函数值的符号，也可简单记忆为：“函数名不变，符号看象限”；切实掌握利用单位 圆探究问题的数形结合思想，掌握由未知向已知转化的化归思想,并且在合作探究中学会交流， 提高我们的合作意识和探究能力. 作业 课本习题 14 4、5、6. 6 设计感想 “本课的教学设计是依据新课程标准和学生已有知识水平和思维能力，按照 教师为主导， 学生为主体，思维为主线
20、”的原则而设计的.教师的主导作用在于激发学生的求知欲，为学生 创设探索的情境，指引探索的途径，引导学生不断地提出新问题，解决新问题. 本教案的设计思路是：采用问题设疑，观察演示，步步深入，层层引发，引导联想、类比， 进而发现、归纳的探究式思维训练教学方法.旨在让学生充分感受和理解知识的产生和发展过 程.在教师适时的启发点拨下，学生在类比、归纳的过程中积极主动地去探索、发现数学规律(公 式)，培养学生的创新意识、创新精神和灵活思维能力. 第 2 2 课时 导入新课 思路 1.首先让学生回忆上一节课探究诱导公式的过程与方法，是怎样借助单位圆导出的？ 利用的是单位圆的哪些几何性质？并让学生默写上节课
21、所学公式.在此基础上,教师提出可否 借助单位圆找出 与 2 + 或 2 - 的关系？由此展开新内容的探究，揭示课题. 思 路 2 . 通 过 计 算 猜 想 引 入 ， 让 学 生 计 算 3 ，2 3 ， 观察结果. sin 3= 3 2 , cos 5 6 = - 3 2 ,这 里 5 6 2+ 3 ,sin 6 1 2 = 2 1 ,这里 2 ,cos 3 2 3 2 + 6. 5 1 1 5 2 3 3 2 sin = ,cos = ,这里 + ，sin = ,cos = ,这里 + . 6 2 3 2 6 2 3 3 2 6 2 3 2 6 猜 想：sin( +)=cos,cos(
22、+)=-sin.由此在单位圆中进一步去探寻验证，在学生急 2 2 欲探究的欲望中展开新课，这样引入很符合新课程理念，也是一个不错的选择. 推进新课 新知探究 提出问题 以下按两种思路来探究 与 2 + 或 2 - 的关系. 思路 1.先得出 与 2 - 的关系. 先计算 sin 3 、cos 6 、 sin 3 、 c o s 6 的值( 怎样验证探究 与 2 - 的关系呢？在单位圆 中，让学生画出终边与角 的终边关于直线 y=x 对称的角，观察它们有什么样的位置关系？ 如何由 与 2 - 的关系，得到 与 2 + 的关系？ 7 图 7 活动: :学生很容易得到如下猜想：cos( 2 -)=s
23、in,sin( 2 -)=cos.这时教师适时点拨， 以上猜测是正确的，但还要小心求证.没有大胆猜测，就没有事物的发展和进步(鼓励猜想)， 没有经过严格证明的结论总还是猜想,不一定正确.为了得到进一步的证明，教师引导学生画出 单位圆及角 、 2 、-,探究终边与角 的终边关于直线 y=x 对称的角的数量关系.先让学 生充分探究，启发学生借助单位圆的几何性质，点拨学生从终边关于直线 y=x对称的两个角之 间的数量关系，关于直线 y=x对称的两个点的坐标之间的关系进行探究(如图 7).设任意角 2 - 的终边与单位圆的交点 P1(x,y)，由于角 的终边与角 2 - 的终边关于直线 y=x对称，
24、角 2 - 的终边与单位圆的交点 P2与点 P1关于直线 y=x 对称，因此点 P2的坐标是(y,x)，于 是，我们有 sin=y, cos=x, cos（ 2 -)=y, sin( 2 -)=x. 从而得到我们的猜想，也就是如下公式： sin( 2 -)=cos,cos（ 2 -)=sin. 教师进一步引导学生，因为 2 + 可以转化为 -( 2 -).所以求 2 + 角的正弦、余弦问题 就转化利用上节课所学公式进行变形的问题，由此易得 sin( 2 +)=cos,cos（ 2 +)=-sin. 讨论结果:略. 思路 2.先得出 与 2 + 的关系. 图8 教师引导学生观察图 8，设任意角
25、的终边与单位圆交于点 P(a,b)，则角 2 + 的终边 与单位圆交于点 P1.由平面几何知识,可知 RtOPMRtP1OM1，不难证明，点 P1 的坐标为 (-b，a)，且 a=cos, b=sin.所以点 P 的横坐标 cos 与点 P1的纵坐标 sin( 2 +)相等， 即 sin( 2 +)cos.点 P 的纵坐标 sin 与点 P1的横坐标 cos（ 2 +)的绝对值相等且符 号相反，由此得到公式 8 sin( 2 +)=cos,cos（ 2 +)=-sin. 教师进一步引导学生，因为 2 -=-( 2 +)，所以求 2 - 角的正弦、余弦问题就转 化为利用上节课所学公式进行变形的问
26、题，由此易得 sin( 2 -)=cos,cos（ 2 -)=sin. 至此，我们得到了任意角 的三角函数公式 sin(k2+)=sin，cos（k2+)=cos. sin(-)=-sin，cos（-)=cos. sin(-)=sin，cos（-)=-cos. sin(+)=-sin，cos（+)=-cos. sin( 2 +)=cos,cos( 2 +)=-sin sin( 2 -)=cos,cos（ 2 -)=sin. 以上公式分别叫作正弦函数、余弦函数的诱导公式.2k+(kZ Z)，-，2- 的正(余)弦函数值，等于 的相应的正(余)弦函数值，前面加上把 看成锐角时原函数值的 符号； 2
27、 的正(余)弦函数值，等于 的相应的余(正)弦函数值，前面加上把 看成锐 角时这些角所在象限的正(余)弦函数值的符号. 教师与学生共同进一步归纳总结：以上诱导公式又可以概括为： k (kZ Z)的三角 2 函数值，当 k 为偶数时，得角 的同名函数值；当 k 为奇数时，得 相应的余弦函数值.然 后前面加上把 看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为：“”奇变偶不变，符号看象限 .这 “里特别要弄清 把 看成锐角”的含义，不管 是字母还是数值，不管其多大，仅是“”看成 而已.以上公式就这样记忆非常方便，这个规律可以扩展，用在选择题、填空题上也很方便. 应用示例 1.求下列函数值： (1)sin(5
28、2 + 4); (2)sin(- 55 6 ); (3)sin 5 6 cos（ - 4 11 )+sin 6 co s 5 4 . 活动: :本例是让学生熟悉刚刚学过的诱导公式，让学生自己探究.由于考虑问题的视角不同会有 不同的切入方式，这对学生灵活理解公式很有好处. 5 2 解: :(1)sin( + )sin( + )=cos = . 2 4 2 4 4 2 55 55 7 (2)sin(- )=-sin =-sin(8+ )-sin 6 6 6 7 6 =-sin(+ 6 )=sin 6 = 1 2 (3)sin 5 6 cos（ - 4 ) + s i n 1 1 6 c o s 5
29、 4 =sin( ) cos 6 =sin 6 cos 4 +(-sin 6 )(-cos 4 ) 9 =1 2 2 2 +1 2 2 2 2 2 . 点评: :解完本例后教师引导学生反思总结，对于学生不同的转化方式，教师都应给予鼓励.比如(2) 第一步也可这样转化：sin(- 55 6 )=sin(-10+ 5 6 ).以此活化学生的思路. 例 2 化简： sin(2 sin( ) cos(3 ) sin(3 3 ) cos( 2 ) cos( ) ) 活动: :本例属于化简求值一类，这种题目要求学生正确灵活地运用诱导公式，教师提醒学生特 别注意各式符号的确定.教学时要让学生充分探究，合作交
30、流，通过不同的切入方式获得问题 的解决，要充分利用本例的训练价值，达到活跃学生思维的目的. (sin) cos( ) cos( ) 解: : 原式 sin ( ) sin( ) cos ( ) a = (sin) (cos) (sin)1sin cos( 2 (cos) ) = sin sin =1. 点评:化简求值题需充分利用公式变形，而公式变形中可以充分体现数学公式的转化和简化功 能，充分体现数学思想和方法，因而备受高考命题人的青睐，成为出题频率较多的题型.解完 本例后，教师要引导学生对其探究过程进行反思与总结. 变式训练 1.求 sin(-870)的值. 解 法 一 :sin(-870)
31、=-sin870=-sin(2360+150)=-sin150=-sin(180-30)=-sin30 =- 1 2 . 解法二:sin(-870)=sin(-1090+30)=-sin30- 1 2 点评: :以上两种解法中，解法一是按我们常规思路来解的，解法二是按本节介绍的记忆口诀来 解的.这样做的目的不是提倡学生寻求奇妙解法，而是想说明对诱导公式的深刻理解及灵活运 用，不要死板记忆公式的形式，孤立地记忆这么多诱导公式，要记忆公式的特征、规律等共同 的本质的东西.如本例解法二，这里 k=-10是偶数，所以得到同名函数，得到右边的符号是正 弦在第三象限(-870)的符号，为负值.当然，这个方
32、法要求学生的口算能力很好，能很快算 出角在第几象限；当然，根据规律，也可以这样： sin(-870)=sin(-990-60)=-cos(-60)-cos60- 1 2 2.已知 cos( 6 -)=m(|m|1),求 sin( 2 3 -)的值. 解: :- 2 3 -( 6 -)= 2 , 2 3 10 sin( 2 3 -)=sin 6 +( 6 -)=cos( 6 -)=m. 点评:(1)当两个角的和或差是的整数倍时，它们的三角函数值可通过诱导公式联系起来；(2) 化简已知与所求，然后探求联系，这是解决问题的重要思想方法. 3.(1)已知 f(cosx)=cos17x,求证:f(sin
33、x)=sin17x; (2)对于怎样的整数 n,才能由 f(sinx)=sinnx 推出 f(cosx)=cosnx? (1) 证 明 : :f(sinx)=f cos( -17x)=sin17x, 即 f(sinx)=sin17x. 2 -x) =cos 17( 2 -x) =cos(8+ 2 -17x)=cos( 2 (2)解: :f(cosx)=fsin( 2 -x)=sinn( 2 -x)=sin( n 2 -nx) = sin nx,n 4k,k Z, cosnx,n 4k 1,k Z, sin nx,n 4k 2,k Z, cosnx,n 4k 3,k Z). 故所求的整数 n=4
34、k+1(kZ Z). 点评:正确合理地运用公式是解决问题的关键所在.对诱导公式的应用需要较多的思维空间，要 善于观察题目特点，灵活变形.观察本例条件与结论在结构上类似,差别在于一个含余弦,一个 含正弦,注意到正弦、余弦转化可借助 sinx=cos( 2 -x)或 cosx=sin( 2 -x).要善于观察条件和 结论的结构特征,找出它们的共性与差异;要注意诱导公式可实现角的形式之间及互余函数名 称之间的转移. 知能训练 课本练习 2 14. 课堂小结 先由学生回顾本节进程，然后教师与学生一起归纳总结：本节与上节一样，都是利用单位 圆推导诱导公式，并应用这些公式进行三角函数的求值、化简及证明的.
35、这里诱导公式比较多， 不可死记硬背，要通过练习来记忆它，再结合公式特征，利用歌诀记忆法记忆诱导公式：“奇 变偶不变，符号看象限”“”，角的运算总原则是： 负化正，大化小、化到锐角再查表 . 作业 1.课本习题 14 A 组 7、8. 2.B 组 1、2、3. 设计感想 根据本节教学内容的结构特征和学生学习数学的心理规律，本节教案的设计思路是“问题、 类比、发现、猜想、归纳、论证”的探究式教学方法.这种设计模式符合本册课程标准的教学 要求及实验教材的新教学理念，符合中学生的认知特点.通过课件的演示，为教学内容的鲜活 注入了新的活力.使学生在动态的过程中，愉快地探究新知识，闪现智慧的灵感，使学生身
36、心 得以健康发展. 首先利用学生已有知识提出新的问题，创设问题情境，引起学生学习兴趣，激发学生的求 知欲，达到以旧拓新的目的.学生对“ 为任意角”的认识更具完备性，通过联想、引导学生 进行问题类比、方法迁移，猜想任意角 与 2 的数量关系，进而借助单位圆探求出严格 的证明，旨在让学生充分感受和理解知识的产生和发展过程.最后师生一起总结、归纳寻找公 11 式的特征等规律性的东西，在应用中进一步拓展.本节把归纳推理和演绎推理有机地结合起来， 开阔了学生的视野，发展了学生的思维能力，也提升了学生的思维层次. 备课资料 一、备用习题 1.sin(- 19 6 )的值等于( ) A. 1 2 B- 1
37、2 C. 3 2 D.- 3 2 2.已知 sin(+)= 3 5 ， 是第四象限角，则 cos(-2)的值是( ) A. 4 5 B- 4 5 C 4 5 D. 3 5 3.cos(-660)+sin(-330)的值是 ( ) A.1 B.-1 C.0 D. 3 4.已知 f(cosx)=cos3x，则 f(sin30)的值为_. 5.若 是三角形的一个内角，且 cos( 3 2 +)= 1 2 ，则 =_. 6.化简(1) sin(k ) cos (k 1) sin k k ( 1) cos( ) (kZ Z); (4n ) 1 (2)sin a 4 +cos (4n 1) 4 -(nZ
38、Z). 7.若函数 f(n)=sin n 6 (nZ Z)，则 f(1)+f(2)+f(3)+f(102)=_. 8.已知 sin 是方程 5x2-7x-6=0 的根，且 为第三象限角， 求 3 3 sin( ) sin( ) tan2 (2 ) 2 2 cos( ) cos( ) 2 2 tan( ) 的值. 参考答案: : 1.A 2.A 3.C 4.-1 5.30或 150 6.解: :(1)当 k 为偶数时，原式= 故当 kZ Z 时，原式=-1. sin sin (cos) cos =-1；当 k 为奇数时,同理可得，原式=-1， (2)原式=sinn-( 4 +)+cosn+( 4
39、 -). 当 n 为奇数时，设 n=2k+1(kZ Z)， 则原式=sin2k+-( 4 +)+cos2k+( 4 -) =sin( 4 +)-cos( 4 -)=cos( 4 -)-cos( 4 -)=0. 当 n 为偶数时，设 n=2k(kZ Z)，同理可得原式=0. 12 7.解析: :sin n 6 =sin( n 6 +2)=sin (n 12) 6 , f(n)=f(n+12), 从而有 f(1)+f(2)+f(3)+f(12)=0. f(1)+f(2)+f(3)+f(102) =f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6) =2f(1)+f(2)+f(3) =2+
40、3 . 答案:2+ 3 8.解: :5x2-7x-6=0 的两根 x=2 或 x=- 3 5 , -1x1,sin=- 3 5 , 又 为第三象限角，cos=- 1 sin2 =- 4 5 .tan= 3 4 . 原式= (cos 2 ) (cos) tan ( tan) tan sin a (sin) 3 4 点评:综合运用相关知识解决综合问题. 二、关于数学公式的变形与数学公式的记忆 1.数学公式变形 学习数学，很多同学都对数学公式感到头痛，一是公式繁多，二是有些公式容易混杂，三 是有的公式带有限制条件.要解决这些问题,最根本的一条，就是要通过对公式形式上形象化解 读和公式内在含义的理解，
41、从中发现记忆的规律，从而达到记忆的熟练和持续程度.对于数学 公式,除简单加以应用之外,还应在深刻理解其内涵的基础上会进行适当的公式变形.数学公式 变形是中学数学教学的重要组成部分,是不可缺少的内容.数学公式变形应做到三有：即:变之 有用,变之有规,变之有益. 公式变形的目的最终应体现在其实用的价值,一个公式的等价变形往往有多种,教学中应 择其有用的变形,以提高应用公式的效能.数学公式变形的方法多种多样,揭示数学公式变形的 一般规律对深化公式教学会有积极的意义.由于公式中的字母可以代表数、式、函数等数学意 义的式子,因此可以根据需要对公式进行适当的数学处理,或代换,或迭代,或取特殊值等等.公 式
42、变形不仅仅是标准公式功能的拓宽,而且在变形过程中可以充分体现数学思想和观点,充分 体现数学公式的转化和简化功能,使学生深刻理解数学公式的本质.数学公式的学习方法是：书 写公式，记住公式中字母间的关系；懂得公式的来龙去脉，掌握推导过程；用数字验算公式， 在公式具体化过程中体会公式中反映的规律；将公式进行各种变换，了解其不同的变化形式； 将公式中的字母想象成抽象的框架，达到自如地应用公式. 2.数学公式的记忆 确切的说应该是数学的记忆，数学记忆方法及相应的记忆能力应该是制约学习成功的重要 因素之一.掌握科学而有效的数学记忆方法，尽快提升自己的数学记忆方法及相应能力已经成 为众多学子们梦寐以求的理想
43、及目标.譬如：本册的三角函数，内容多且易混淆，记忆负担 重，学完新课之后，可以借助表格形式，将正、余弦及正切等函数的主要性质,如定义域、值 域、周期性、奇偶性及单调性、图像等整理成条理分明的图式，进而形成了一个明晰的三角公 式的记忆系统.实践证明这种方法特别有效，同时节省了大量的学习时间，可以说，对于高中 13 数学每章内容均可采用这种方法加以复习及记忆这叫分类归纳，系统记忆法这是指 大的方面数学记忆. 关于数学公式的记忆，可采用以下几种方法进行记忆：串联记忆法.把一系列内容相关、 相近的公式串联在一起进行记忆. 类比记忆法.如等差数列和等比数列中有许多公式，只要记 住等差数列的一组，搞清等差等比的异同点，另一组也就容易记住了. 图形记忆法.如三角函 数定义等. 形象记忆法. 歌诀记忆法.如本节的三角函数的诱导公式有好几组，学生很容易 混淆.这些公式就可以用一句口诀来概括：“奇变偶不变，符号看象限.”在这句口诀中，有个 前提必须牢记：将 视为锐角. 14