《高中数学第一章三角函数1.5正弦函数的图像与性质1.5.2正弦函数的性质教案北师大版必修420170.wps》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第一章三角函数1.5正弦函数的图像与性质1.5.2正弦函数的性质教案北师大版必修420170.wps（12页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、1.5.21.5.2 正弦函数的性质 整体设计 教学分析 对于函数性质的研究,在高一必修中学生已经熟悉了.研究了幂函数、指数函数、对数函数 的图像与性质.因此作为高中最后一个基本初等函数的性质的研究,学生已经有些经验了.其中, 通过观察函数的图像,从图像的特征获得函数的性质是一个基本方法,这也是数形结合思想方 法的应用. 由于三角函数是刻画周期变化现象的重要数学模型,这也是三角函数不同于其他类型函数 的最重要的地方,而且对于周期函数,我们只要认识清楚它在一个周期区间上的性质,那么就完 全清楚它在整个定义域内的性质. 正弦函数性质的难点,在于对函数周期性的正确理解与运用,以下的奇偶性,无论是由图
2、像 观察,还是由诱导公式进行证明,都很容易.单调性只要求由图像观察,不要求证明,而正弦的最 大值和最小值可以作为单调性的一个推论,只要注意引导学生利用周期进行正确归纳即可. 三维目标 1.通过创设情境,如单摆运动、波浪、四季变化等,让学生感知周期现象;理解周期函数的概念; 能熟练地求出简单三角函数的周期, 运用并能根据周期函数的定义进行简单的拓展运用 . 2.通过本节的学习,使同学们对周期现象有一个初步的认识,感受生活中处处有数学,从而激发 学生的学习积极性,培养学生学好数学的信心,学会运用联系的观点认识事物. 重点难点 教学重点:正弦函数的主要性质(包括周期性、单调性、奇偶性、最值或值域);
3、深入研究函数性 质的思想方法. 教学难点:正弦函数性质的理解及灵活运用,特别是周期性的理解. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.(类比导入)我们在研究一个函数的性质时,如幂函数、指数函数、对数函数的性质,往 往通过它们的图像来研究.本节可先让学生画出正弦函数的图像,从学生画图像、观察图像入手, 由此展开正弦函数性质的探究. 思路 2.(直接导入)研究函数就是要讨论函数的一些性质,y=sinx 是函数,我们当然也要探讨它 们的一些性质.本节课,我们就来研究正弦函数最基本的几条性质.请同学们回想一下,一般来 说,我们是从哪些方面去研究一个函数的性质的呢(定义域、值域、奇偶性、单调性
4、、最值)?然 后逐一进行探究. 推进新课 新知探究 提出问题 回忆并画出正弦曲线,观察它的形状及在坐标系中的位置; 观察正弦曲线,说出正弦函数的定义域是什么? 观察正弦曲线,说 出正弦函数的值域是什么?由值域又能得到什么? 观察正弦曲线,函数值的变化有什么特点? 观察正弦曲线,它有哪 些对称? 1 图 1 活动: :先让学生充分思考、讨论后再回答.对回答正确的学生,教师可鼓励他们按自己的思路继 续探究,对找不到思考方向的学生,教师可参与到他们中去,并适时地给予点拨、指导. 在上一节中,要求学生不仅会画图,还要识图,这也是学生必须熟练掌握的基本功.因此,在 研究正弦函数性质时,教师要引导学生充分
5、挖掘正弦函数曲线或单位圆中的三角函数线,当然 用多媒体课件来研究三角函数性质是最理想的,因为单位圆中的三角函数线更直观地表现了三 角函数中的自变量与函数值之间的关系,是研究三角函数性质的好工具.用三角函数线研究三 角函数的性质,体现了数形结合的思想方法,有利于我们从整体上把握有关性质. 对问题,学生不一定画准确,教师要求学生尽量画准确,能画出它的变化趋势. 对问题,学生很容易看出正弦函数的定义域是实数集 R或(-, +). 对问题,学生很容易观察出正弦曲线上、下都有界,得出正弦函数的值域是-1,1.教 师要引导学生从代数的角度思考并给出证明. 正弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度, |si
6、nx|1,即-1sinx1. 也就是说,正弦函数的值域是-1,1.对于正弦函数 y=sinx(xR R), 1当且仅当 x= 2 +2k,kZ Z 时,取得最大值 1. 2当且仅当 x=- 2 +2k,kZ Z 时,取得最小值-1. 对问题,教师可引导、点拨学生先截取一段来看,选哪一段呢?如图 2,通过学生充分讨论 后确定,选图像上的- 的道理,其他类似. 2 , 3 2 (如图 3)这段.教师还要强调为什么选这段,而不选0,2 图 2 图 3 这个变化情况也可从下表中显示出来: x - 2 0 2 3 2 sinx -1 0 1 0 -1 就是说,函数 y=sinx,x- 2 , 3 2 .
7、 当 x- 2 , 2 时,曲线逐渐上升,是增函数,sinx 的值由-1增大到 1; 2 当 x 2 , 3 2 时,曲线逐渐下降,是减函数,sinx的值由 1 减小到-1. 结合正弦函数的周期性可知: 正弦函数在每一个闭区间- 2 +2k, 2 +2k(kZ Z)上都是增函数,其值从-1增大到 1;在 每一个闭区间 2 +2k, 3 2 +2k(kZ Z)上都是减函数,其值从 1 减小到-1. 对问题,学生能直观地得出正弦曲线关于原点 O 对称.在 R R 上,y=sinx为奇函数.教师要 恰时恰点地引导,并提问学生怎样用学过的知识方法给予证明呢? 由诱导公式,sin(-x)=-sinx,
8、y=sinx 为奇函数. 至此,一部分学生已经看出来了,在正弦曲线上还有其他的对称点和对称轴,如正弦曲线还 关于直线 x= 2 对称,等等,这是由它的周期性而来的.教师可就此引导学生进一步探讨,为今后 的学习打下伏笔. 讨论结果: : 略. 定义域为 R R. 值域为-1,1,最大值是 1,最小值是-1. 单调性(略). 奇偶性(略). 应用示例 思路 1 1 1.函数 y=-3sin2x,xR R 有最大值、最小值吗?如果有,请写出取最大值、最小值时的自变量 x 的集合,并说出最大值、最小值分别是什么. 解: :令 z=2x,使函数 y=-3sinz,zR R 取得最大值的 z 的集合是z|
9、z=- 2 +2k,kZ Z, 由 2x=z=- 2 +2k,得 x=- 4 +k. 因此使函数 y=-3sin2x,xR R 取得最大值的 x 的集合是x|x=- 4 +k,kZ Z. 同理,使函数 y=-3sin2x,xR R 取得最小值的 x 的集合是x|x= 函数 y=-3sin2x,xR R 的最大值是 3,最小值是-3. 4 +k,kZ Z. 点评: :以前我们求过最值,本例也是求最值,但这里最值对应的自变量x 的值却不唯一,这从正弦 函数的周期性容易得到解释.求解本例的基本依据是正弦函数的最大(小)值的性质,对于形如 y=Asin(x+)+B 的函数,一般通过变量代换(如设 z=
10、x+ 化归为 y=Asinz+B 的形式),然后 进行求解.这种思想对于利用正弦函数的其他性质解决问题时也适用. 2.利用三角函数的单调性,比较 sin(- 18 )与 sin(- )的大小. 10 解: :因为- - - 0,正弦函数 y=sinx在区间- 2 10 18 2 所以 sin(- )sin(- ). 18 10 ,0上是增函数, 点评: :推进本例时应提醒学生注意,在今后遇到的三角函数值大小比较时,必须将已知角化到同 一个单调区间内,其次要注意首先大致地判断一下有没有符号不同的情况,以便快速解题. 3 3.求函数 y=sin( 1 2 x+ 3 ),x-2,2的单调递增区间.
11、活动: :可以利用正弦函数的单调性来求所给函数的单调区间.教师要引导学生的思考方向: 把 1 2 x+ 3 看成 z,这样问题就转化为求 y=sinz 的单调区间问题,而这就简单多了. 解: :令 z= 1 2 x+ 3 .函数 y=sinz的单调递增区间是- 2 +2k, 2 +2k. 由 - 2 +2 k 1 2 x + 3 +2k , 得- 5 3 + 4 k x 3 + 4 k , k Z Z . 由 x-2,2可知,-2- 5 3 +4k 且 3 1 +4k2,于是- 12 k 以 k=0,即- 5 3 x 3 ,而- 5 3 , 3 -2,2, 因此,函数 y=sin( x 2 +
12、 3 ),x- 2,2的单 调递增区间是 - 5 3 , 3 . 点评: :本例的求解是转化与化归思想的运用,即利用正弦函数的单调性,将问题转化为一个关于 x 的不等式问题.然后通过解不等式得到所求的单调区间,要让学生熟悉并灵活运用这一数学思 想方法,善于将复杂的问题简单化. 4.“”利用 五点法 画出函数 y=sinx-1的简图,并根据图像讨论它的性质. 解: :列表,根据表中数据画出简图(如图 4 所示). x 0 2 3 2 2 Sinx 0 1 0 -1 0 y=sinx-1 -1 0 图 4 观察图像得出 y=sinx-1的性质(如下表所示). 函数 y=sinx-1 定义域 R R
13、 值域 -2,0 奇偶性 非奇非偶函数 周期 2 单调性 当 x2k- 当 x2k+ 2 2 ,2k+ ,2k+ 2 3 2 (kZ Z)时,函数是递增的; (kZ Z)时,函数是递减的 最大值与最小值 当 x=2k+ 当 x=2k+ 2 3 2 (kZ Z)时,最大值为 0; (kZ Z)时,最小值为-2 4 思路 2 2 例 1 求函数 y= 1 1 sin x 的定义域. 活动: :学生思考操作,教师提醒学生充分利用函数图像,根据实际情况进行适当的指导点拨,纠 正学生出现的一些错误或书写不规范等. 解: :由 1+sinx0,得 sinx-1,即 x 3 2 +2k(kZ Z). 原函数
14、的定义域为x|x 3 2 +2k,kZ Z. 点评:本例实际上是解三角不等式,可根据正弦曲线直接写出结果.本例可分作两步,第一步转 化,第二步利用三角函数曲线写出解集. 2.在下列区间中,函数 y=sin(x+ 4 )的单调增区间是( ) A. 2 , B.0, 4 C.-,0 D. 4 , 2 活动: :函数y=sin(x+ 4 ) 是一个复合函数, 即 y=sin(x) ,(x)=x+ 4 , 欲求 y=sin(x+ 4 )的单调增区间,因 (x)=x+ 4 在实数集上恒递增,故应求使 y 随 (x)递增而递增的区间. 也可从转化与化归思想的角度考虑,即把 x+ 4 看成一个整体,其道理是
15、一样的. 解: :(x)=x+ 故令 2k- 4 在实数集上恒递增,又 y=sinx在2k- 2 ,2k+ 2 (kZ Z)上是递增的, 2 x + 4 2 k + 2 . 2 k - 3 4 x 2 k + 4 . y = s i n ( x + 4 ) 的 递 增 区 间 是 2k- 3 4 ,2k+ 4 . 取 k = - 1 、 0 、 1 分 别 得 - 1 1 4 , 7 4 、- 3 4 , 4 、 5 4 , 9 4 . 答 案 : B 点评: :像这类题型,上述解法属常规解法,而运用 y=Asin(x+)的单调增区间的一般结论,由 一般到特殊求解,既快又准确,若本题运用对称轴
16、方程求单调区间,则是一种颇具新意的简明而 又准确、可靠的方法.当然作为选择题还可利用特殊值、图像变换等手段更快地解出. 解题规律:求复合函数单调区间的一般思路是: (1)求定义域;(2)确定复合过程,y=f(t),t=(x);(3)根据函数f(t)的单调性确定(x)的单调 性;(4)写出满足 (x)的单调性的含有 x 的式子,并求出 x 的范围;(5)得到 x 的范围,与其定义 域求交集,即是原函数的单调区间. 结论:对于复合函数的单调性,可以直接根据构成函数的单调性来判断. 变式训练 1.如果函数 f(x)=sin(x+)(02)的最小正周期是 T,且当 x=2时取得最大值,那么 ( ) 5
17、 A.T=2,= 2 B.T=1,= C.T=2,= D.T=1,= 2 解: :T= 2 2 =2,又当 x=2 时,sin(2+)=sin(2+)=sin,要使 f(x)取得最大值,可取 = 答案:A 2.求函 数 y= 1 2 si n( 4- 2 x 3 )的单调递减区间及单调递增区间. 解 : :y= 1 2 si n( 4- 2 x 3 )=- 1 2 sin( 2x 3 x3k + 9 8 (kZ Z),为单调减区间; 由 2k+ 2 2 x 3 - 4 2k+ 3 2 ,可得 3k+ 9 8 原 函 数 的 单 调 减 区 间 为 3k- 3 8 , 3k + 9 8 (k Z
18、 Z); 原 函 数 的 单 调 增 区 间 为 3k+ 9 8 , 3k + 21 8 (kZ Z). 知能训练 课本本节练习 2 1、2、3. 课堂小结 1.由学生回顾归纳并说出本节学习了哪些数学知识,学习了哪些数学思想方法.这节课我们研 究了正弦函数的性质.重点是掌握正弦函数的性质,通过对正弦函数从定义域、值域、最值、奇 偶性、周期性、增减性、对称性等几方面的研究,更加深了我们对这个函数的理解.同时也巩固 了上节课所学的正弦函数的图像的画法. 2.进一步熟悉了数形结合的思想方法,转化与化归的思想方法,类比思想的方法及观察、归纳、 特殊到一般的辩证统一的观点. 作业 判断下列函数的奇偶性:
19、 (1)f(x)=xsin(+x);(2)f(x)= 1 sin x cos2 1 sin x x . 解 答 : :(1) 函 数 的 定 义 域 为 R R, 它 关 于 原 点 对 称 . 又 f(x)=xsin(+x) =-xsinx, f(-x)=-(-x)sin(-x)=-xsinx=f(x),函数为偶函数. (2)函数应满足 1-sinx0,函数的定义域为x|xR R 且 x2k+ 2 ,kZ Z. 函数的定义域关于原点不对称,函数既不是奇函数也不是偶函数. 设计感想 1.本节是三角函数的重点内容,设计的容量较大,指导思想是让学生在课堂上充分探究、大量活 动.作为函数的性质,从初
20、中就开始学习,到高中学习了幂函数、指数、对数函数后有了较深的 认识,这是高中所学的最后一个基本初等函数.但由于以前所学的函数不是周期函数,所以理解 较为容易,而正弦函数除具有以前所学函数的共性外,又有其特殊性,共性中包含特性,特性又 离不开共性,这种普通性与特殊性的关系通过教学应让学生有所领悟. 6 2.在解题中突出数形结合思想,在训练中降低变化技巧的难度,加大应用图像与性质解题的力 度.较好地利用图像解决问题,这也是本节课主要强调的数学思想方法. 3.学习三角函数的性质后,引导学生对过去所学的知识重新认识,例如 sin(+2)=sin 这 个公式,以前我们只简单地把它看成一个诱导公式,现在我
21、们认识到了,它表明正弦函数的周期 性,以提升学生的思维层次. 备课资料 一、近几年三角函数知识的变动情况 三角函数一直是高中固定的传统内容,但近几年对这部分内容的具体要求变化较大.1998 年 4 月 21 日,国家教育部专门调整了高中数学的部分教学内容,其中的调整意见第(7)条 为:“对三角函数中的和差化积、积化和差的 8 个公式,不要求记忆”.1998 年全国高考数学卷 中,已尽可能减少了这 8 个公式的出现次数,在仅有的一次应用中,还将公式印在试卷上,以供 查阅.而当时调整意见尚未生效(应在 1999 年生效),这不能不说对和积互化的 8 个公式的要求 是大大降低了.但是,如果认为这次调
22、整的仅仅是 8 个公式,仅仅是降低了对 8 公式的要求,那就 太表面、太肤浅了. 我们知道,三角中的和积互化历来是三角部分的重点内容之一,相当部分的三角题都是围 绕它们而设计的,它们也确实在很大程度上体现了公式变形的技巧和魅力.现在要求降低了,有 关的题目已不再适合作为例(习)题选用了.这样一来,三角部分还要我们教些什么呢?又该怎样 教?立刻成了部分教师心头的一大困惑.有鉴于此,我们认为很有必要重新审视这部分的知识体 系,理清新的教学思路,以便真正落实这次调整的意见,实现“三个有利于(有利于减轻学生过重 的课业负担,有利于深化普通高中的课程改革,有利于稳定普通高中的教育教学秩序)”的既定 目标
23、. 1.是“三角”还是“函数” 应当说,三角函数是由“三角”和“函数”两部分知识构成的.三角本是几何学的衍生物, 起始于古希腊的希帕克,经由托勒玫、利提克思等至欧拉而终于成为一门形态完备、枝繁叶茂 的古典数学学科,历史上的很长一段时期,只有三角学盛行于世,却无“三角函数”之名.“三 角函数”概念的出现,自然是在有了函数概念之后,从时间上看距今不过 300 余年.但是,此概念 一经引入,立刻极大地改变了三角学的面貌,特别是经过罗巴切夫斯基的开拓性工作,致使三角 函数可以完全独立于三角形之外,而成为分析学的一个分支,其中的角也不限于正角,而是任意 实数了.有的学者甚至认为可将它更名为角函数,这是有
24、见地的,所以,作为一门学科的三角学 已经不再独立存在.现行中学教材也取消了原来的代数三角几何的格局,将三角并入 了代数内容.这本身即足以说明“函数”在“三角”中应占有的比重. 从代数学的历史演变来看,在相当长的历史时期内,“式与方程”一直是它的核心内容, 那时的教材都是围绕着它们展开的.所以,书中的分式变形、根式变形、指数式变形和对数式变 形可谓连篇累牍,所在皆是.这是由当时的数学认知水平决定的.而现在,函数已取代了式与方 程成为代数的核心内容,比起运算技巧和变形套路来,人们更关注函数思想的认识价值和应用 价值.1963 年颁布的数学教学大纲提出数学三大能力时,首要强调的是“形式演算能 力”,
25、1990年的大纲突出强调的则是“逻辑思维能力”.现行高中代数课本中,充分阐发了 幂函数、指数函数、对数函数的图像和性质及应用,对这三种代数式的变形却轻描淡写.所以, 三角函数部分应重在“函数的图像和性质”是无疑的, 观点这也是国际上普遍认可的观点 . 2.是“图像”还是“变换” 现行高中三角函数部分,单列了一章专讲三角函数,这是与数学发展的潮流相一致的.大多 数师生头脑中反映出来的,还是“众多的公式,纷繁的变换”,而三角函数的“图像和性质”倒 是在其次的,这一点,与前面所述的“幂、指、对”函数有着极大的反差.调整以后,降低了对这 部分的要求,大面积地减少了题量.把“函数”作为关键词,将目光放在
26、“图像和性质”上,应当 是正确的选择,负担轻了,障碍小了,这更方便于我们将注意力转移到对函数图像和性质的关注 7 上,“”这才是 三个有利于 得以贯彻的根本. 3.国外的观点及启示 下面来看一下美国和德国的观点: 美国没有全国统一的教材和考试说明,只有一个课程标准,在课程标准中,他 们对三角函数提出了下面的要求:“会用三角学的知识解三角形;会用正弦、余弦函数研究客观 实际中的周期现象;掌握三角函数图像;会解三角函数方程;会证基本的和简单的三角恒等式;懂 得三角函数同极坐标、复数等之间的联系”.他们还特别指出,不要在推导三角恒等式上花费过 多的时间,只要掌握一些简单的恒等式推导就可以了,比较复杂
27、的恒等式就应该完全避免了. 德国在 10到 12 年级(相当于中国的高一到高三)每年都有三角内容,10 年级要求如下:(1) 一个角的弧度;(2)三角函数 sinx、cosx、tanx和它们的图像周期性;(3)三角形中角和边的计 算;(4)重要关系(特指同角三角函数的平方关系、商数关系和倒数关系).另外,在 11年级和 12 “”年级的 无穷小分析 中,继续研究三角函数的图像变换、求导、求积分、求极限. 从以上罗列,我们可以看出下面的共同点: 第一,突出强调三角函数的图像和性质; 第二,淡化三角式的变形,仅涉及同角变换,而且要求较低,8公式根本不予介绍; 第三,明确变换的目的是为了三角形中的实
28、际计算; 第四,注意三角函数和其他知识的联系. 这带给我们的启示还是很强烈的,美国和德国的中学教育以实用为主,并不太在乎教材体 系是否严谨,知识系统是否完整;我国的教材虽作调整,怎样实施且不去细说,有一个意图是可 猜到的,那就是要让学生知道教材是严谨与完整的.现在看来严谨的东西,在更高的观点下是否 还严谨?在圈内看是完整的,跳出圈子看,是否还完整?在一个小地方钻得太深,在另外更大的地 方就可能无暇顾及.人家能在中学学到向量、行列式、微分、积分,我们却热衷于在个别地方穷 追不舍,这早已引起行家的注意,从这个意义上说,此次调整应当只是第一步.在中学阶段即试 图严谨与完整,其实是受前苏联教育家赞可夫
29、的三高(高速度、高难度、高理论)影响太深的缘 故. 二、备用习题 1.函数 y=sin( -2x)的单调减区间是( ) 3 5 5 11 A.2k- ,2k+ (kZ Z) B.4k- ,4k+ (kZ Z) 12 12 3 3 5 11 5 C.k- ,k+ (kZ Z) D.k- ,k+ (kZ Z) 12 12 12 12 1 2.满足 sin(x- ) 的 x 的集合是( ) 4 2 5 13 A.x|2k+ x2k+ ,kZ Z 12 12 7 B.x|2k- x2k+ ,kZ Z 12 12 5 C.x|2k+ x2k+ ,kZ Z 6 6 5 D.x|2kx2k+ ,kZ Zx|2k+ x(2k+1),kZ Z 6 6 3.求函数 y=lgsinx的定义域和值域. 1 1 4.已知函数 y=f(x)的定义域是0, ,求函数 f( sin2 x )的定义域. 4 2 8 参考答案: : 1.D 2.A 3.解: :由题意得 sinx0,2kx(2k+1),kZ Z.又0sinx1,lgsinx0. 故函数的定义域为(2k,(2k+1),kZ Z，值域为(-,0. 1 1 sin2 x 2 4 4. .解: :由题意得 0 ,- 2 xk+ ,k+ k+ 4 3 3 3 2 sinx- 或 2 2 3 ,k+ ,kZ Z. 4 2 2 sinx 3 2 9