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1、1.91.9 三角函数的简单应用 5 5 分钟训练(预习类训练，可用于课前) 1.初速度为 v0，发射角为 ，则炮弹水平移动的距离 x 与 v0之间的关系式（t 是飞行时间） 为（ ） A.x=|v0t| B.x=|v0|sint C.x=|v0|sint- 1 2 |g|t2 D.x=|v0|cost 解析：由速度的分解可知炮弹水平移动的速度为 v0cos，如图所示： 故炮弹水平移动的距离为|v v0|cost. 答案：D 2.在 200米高山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 30、60，则塔高为（ ） A. 400 3 400 米 B. 3 3 200 米 C. 3 3 米 D. 2
2、00 3 米 解: :如图，设塔高为 h 米，则 200tan30=(200-h)tan60,h= 答案：A 400 3 米. 3.甲、乙两楼相距 60 米,从乙楼底望甲楼顶的仰角为 45,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为 30, 则甲、乙两楼的高度分别为_、_. 解析: :如图,甲楼的高度 AC=AB=60 米, 在 RtCDE 中,DE=CEtan30=60 3 3 =20 3 . 乙楼的高度为 BD=BE-DE=（60-20 3 ）（米）. 答案: :60 米 (60-20 3 )米 1010分钟训练(强化类训练，可用于课中) 1.图 3-3-1 中哪一个图像准确地描述了某物体沿粗糙斜面滑下时其
3、加速度和斜面倾斜角 之 1 间的关系（动摩擦因数不变）？（ ） 图 3-3-1 解析：由物理知识可知，当斜面倾斜角 比较小时，物体处于静止状态，加速度为 0,故排除 A,B.根据受力分析,受到的合外力 F=mgsin-mgcos. a=g(sin-cos)= g 1 2 sin(-)(其中 tan=).故选 D. 答案：D 2.一树干被台风折成 60角, 树干底部与树尖着地处相距 20 米, 树干原来的高度为 _. 20 解析: :如图,BC=20tan30= 3 3 . AC 40 AB= 3 sin 60 3 , 所以树干原来的高度为 AB+BC=20 3 (米). 答案: : 20 3
4、米 3.图 3-3-2是一弹簧振子做简谐运动的图像，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，则 这个振子振动的函数解析式是_. 图 3-3-2 解析：设函数解析式为 y=Asin(x+)，则 A=2，由图像可知 4 5 2 T=2(0.5-0.1)= ,= . 5 T 2 5 0.1+= .= . 2 2 4 5 函数的解析式为 y=2sin( x+ ). 2 4 4.某动物种群数量 1 月 1 日低至 700，7 月 1 日高至 900，其总量在此两值之间依正弦曲线变 2 化. （1）画出种群数量关于时间变化的图像； （2）求出种群数量作为时间 t 的函数表达式（其中 t 以年初以来的月为计
5、量单位）. 解：（1）种群数量关于时间变化的图像如图所示： （2）设表示该曲线的三角函数为 y=Asin(t+)+k， 由已知平均数量为 800，最高数量与最低数量之差为 200，数量变化周期为 12个月， 200 所以振幅 A= =100， 2 2 即 = ,k=800. 12 6 又 7 月 1 日种群数量达到最高， .= 6 . 6 2 2 种群数量关于时间 t 的函数表达式为 y=100sin 6 (t-3)+800. 5.如图 3-3-3 所示, 某人身高 a=1.77 米, 在黄浦江边测得对岸的东方明珠塔尖的仰角 =75.5,测得在黄浦江中的倒影的塔尖的俯角 =75.6,求东方明珠
6、的塔高 h. 图 3-3-3 解: :设黄浦江的宽为 b 米,则 btan=h-a,btan=h+a.消去 b 得 tan sin( tan ) h= tan tan sin( ) . 当 =75.5,=75.6,a=1.77米时,h= 490.1 米. 3030分钟训练(巩固类训练，可用于课后) 1.如图3-3-4 所示,有一块以点O 为圆心的半圆形空地,要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD 辟为绿地,使其一边 AD 落在圆的直径上,另两点 B、C 落在半圆的圆周上.已知半圆的半径长为 a, 如何选择关于点 O 对称的点 A、D 的位置,可以使矩形 ABCD的面积最大? 图 3-3-4 解
7、: :如图,令AOB=,则 AB=asin,OA=acos, 3 则矩形 ABCD的面积为 S=asin2acos=a22sincos=a2sin2a2. “”其中中等号成立的条件是 sin2=1, 即 2=90,于是 =45时,S为最大. A、D 两点与 O 的距离都是 2 2 a. 2.三角函数的叠加问题：在交流电、简谐运动及各种“波”等问题的研究中，三角函数发挥了 重要的作用，在这些实际问题中，经常会涉及“波”的叠加，在数学上常常可以归结为三角函 数的叠加问题.设 y1=3sin(2t+ )，y2=4sin2t 表示两个不同的正弦“波”，试求它们叠加后的 2 振幅和周期. 解：它们叠加后
8、的函数是 y1+y2=3sin( =3cos2t+4sin2t 3 4 = 32 42 ( cos 2t sin 2t) 5 5 3 =5sin(2t+)(其中 tan= ), 4 2t )+4sin2t 2 所以，叠加后的函数的振幅为 5，周期仍为 ，初相为 arctan 即叠加后的“波”的振幅为 5，周期仍为 . 3 4 , 3.以一年为一个周期调查某商品出厂及该商品在商店的销售价格时发现：该商品的出厂价格是 在 6 元的基础上按月份随正弦曲线波动的，已知 3 月份出厂价格最高为 8 元，7 月份出厂价格 最低为 4 元；而该商品在商店内的销售价格是在 8 元的基础上也是按月份随正弦曲线波
9、动的， 并且已知 5 月份价格最高为 10元，9 月份价格最低为 6 元.假设某商店每月购进这种商品 m 件， 且当月能售完，请估计哪个月份赢利最大？并说明理由. 解：由条件得：出厂价格函数是 y1=2sin( 4 3 销售价格函数为y2=2sin( x- )+8. 4 4 x )+6, 4 则利润函数为 y=m(y2-y1) 3 =m2sin( x ) 8 2sin( x ) 6 m(2 2 2 sin x) . 4 4 4 4 4 所以当 x=6时,y=(2+2 2 )m 最大. 所以 6 月份赢利最大. 4.如图 3-3-5，某大风车的半径为 2 米，每 12秒旋转一周，它的最低点 O
10、离地面 0.5米.风车 圆周上一点 A 从最低点 O 开始运动，t 秒后与地面的距离是 h 米. 4 图 3-3-5 （1）求函数 h=f(t)的关系式； （2）画出函数 h=f(t)的图像. 解：（1）如图，以 O 为原点，过点 O 的圆的切线为 x 轴，建立直角坐标系. 设点 A 的坐标为(x,y)，则 h=y+0.5. 2 y 设OO1A=，则 cos= ,y=-2cos+2. 2 2 又 = t,即 = t, 12 6 所以 y= 2 cos 2 t . 6 所以 h(t)= 2 cos 2.5 t . 6 （2）h(t)= 2 cos 2.5 t 的图像如下图. 6 5.一根细线的一
11、端固定,另一端悬挂一个小球,小球来回摆动时,离开平衡位置的位移 S(单位 cm)与时间 t(单位:s)的函数关系是 S=6sin(2t+ (1)画出它的图像; (2)回答以下问题： 6 ). 小球开始摆动(即 t=0),离开平衡位置多少厘米? 小球摆动时,离开平衡位置的最大距离是多少厘米? 小球来回摆动一次需要多少时间? 解: :（1）先求周期：T= 列表： 3 2 =1(s). t 0 2t+ 6 6 1 6 2 5 12 2 3 3 2 11 1 12 2 2+ 6 6sin(2t+ 3 6 0 -6 0 3 5 6 ) 描点画图： （2）小球开始摆动(t=0)，离开平衡位置为 3 cm.
12、 小球摆动时离开平衡位置的最大距离是 6 cm(即振幅). 小球来回摆动一次需要 1 s（即周期）. 6.某港口水深 y(米)是时间 t(0t24,单位：小时)的函数,下面是水深数据: t(时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米） 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 据上述数据描成的曲线如图 3-3-6所示，经拟合，该曲线可近似看成正弦函数y=Asinx+B 的图像. 图 3-3-6 (1)试根据数据表和曲线求出 y=Asinx+B 的表达式; (2)一般情况下,船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5 米是安全的,如果某船的吃
13、水度(船底 与水面的距离)为 7 米,那么该船在什么时间段能够安全进港?若该船欲当天安全离港,它在港内 停留的时间最多不能超过多长时间(忽略离港所用的时间)? 解: :(1)从拟合的曲线可知,函数 y=Asinx+B 在一个周期内由最大变为最小需要 9-3=6 个小时, 2 此为半个周期,所以函数的最小正周期为 12 小时,因此 =12,= .又当 t=0时,y=10,当 6 t=3 时,ymax=13,所以 B=10,A=13- 10=3. 于是所求函数解析式为 y=3sin x+10. 6 (2)由于船的吃水深度为 7 米,船底与海底的距离不少于 4.5米,故在船舶航行时水深 y 应大于
14、等于 7+4.5=11.5(米). 由拟合的曲线可知,一天 24 小时,水深 y 变化两个周期,故要使船舶在一天内停留港口的时间最 长,则应从凌晨 3 点前进港,而从第二个周期中的下午 15点后离港. 令 y=3sin +1011.5,可得 sin x 6 6 5 2k+ x2k+ (kZ Z). 6 6 6 12k+1x12x+5(kZ Z). 1 2 . 取 k=0,则 1x5;取 k=1,则 13x17; 6 而取 k=2时,则 25x29(不合题意). 从而可知,船舶要在一天之内在港口停留的时间最长,就应从凌晨 1 点(1 点到 5 点都可以)进港, 而下午 17点(即 13点到 17 点之间)前离港,在港内停留的时间最长为 16小时. 7