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1、三角函数的简单应用 整体设计 教学分析 我们已经知道周期现象是自然界中最常见的现象之一,三角函数是研究周期现象最重要的 数学模型.在这一节,我们将通过实例,让同学们初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问 题. 三角函数模型的简单应用的设置目的,在于加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习. 本节教材通过例题及变式训练,循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用,在素材的 选择上注意了广泛性、真实性和新颖性,同时又关注到三角函数性质(特别是周期性) 应的应 用. 通过引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题,培养他们综合应用数学和其他学科的 知识解决问题的能力.培养学生的建模、分析问题、数形
2、结合、抽象概括等能力.由于实际问题 常常涉及一些复杂数据,因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据,包括建立有关数据的 散点图,根据散点图进行函数拟合等. 三维目标 1.能正确分析收集到的数据,选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律,将实际问题抽 象为三角函数有关的简单函数模型. 2.通过切身感受数学建模的全过程,体验数学在解决实际问题中的价值和作用,及数学与日常 生活和其他学科的联系.认识数学知识在生产、生活实际中所发挥的作用.体会和感受数学思想 的内涵及数学本质,逐步提高创新意识和实践能力. 3.通过实际问题的解决,提高数学建模能力.并在探究中激发学生的学习兴趣,培养锲而不舍的 钻研精
3、神,培养学生勇于探索、勤于思考的科学精神. 重点难点 教学重点:分析、整理、利用信息,从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模型, 用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题. 教学难点:将某些实际问题抽象为三角函数的模型, 问题并调动相关学科的知识来解决问题 . 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.1.(情境导入)既然大到宇宙天体的运动,小到质点的运动以及现实世界中具有周期性变化 的现象无处不在, 它 到那么究竟怎样用三角函数解决这些具有周期性变化的问题？它到 底能发 挥哪些作用呢？由此展开新课. 思路 2.2.我们已经学习了三角函数的概念、图像与性质,特别研究了三
4、角函数的周期性.在现实 生活中,如果某种变化着的现象具有周期性,那么是否可以借助三角函数来描述呢？面临一个 实际问题,应当如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？以下通过几个具体例子,来探究这种 三角函数模型的简单应用. 推进新课 新知探究 提出问题 回忆从前所学,指数函数、对数函数以及幂函数的模型都是常用来描述现实世界中的哪些规 律的?又是怎样解决实际问题的? 数学模型是什么,建立数学模型的方法是什么? 上述的数 学模型是怎样建立的?解决实际问题的一般程序是什么? 1 活动:师生互动,唤起回忆,充分复习前面学习过的建立数学模型的方法与过程,做好知识迁移 的准备.对课前已经做好复习的学生给予表扬,并
5、鼓励他们类比以前所学知识方法,继续探究新 的数学模型.对还没有进入状态的学生,教师要帮助回忆并快速激起相应的知识方法.在教师的 引导下,学生能够较好地回忆起解决实际问题的基本过程是:收集数据画散点图选择函数模 型求解函数模型检验用函数模型解释实际问题. 这点很重要,学生只要有了这个认知基础,本节的简单应用便可迎刃而解.新课标下 的教学要求,不是教师给学生解决问题或带领学生解决问题,而是教师引领学生逐步登高,在合 作探究中自己解决问题,探求新知. 讨论结果: : 描述现实世界中不同增长规律的函数模型.解决的方法是首先建立数学模型. 简单地说,数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括,再从数学角度
6、来反映或近似地反 映实际问题时,所得出的关于实际问题的数学描述.数学模型的方法,是把实际问题加以抽象概 括,建立相应的数学模型,利用这些模型来研究建立实际问题的一般数学方法. 解决实际问题的一般程序是: 1审题:逐字逐句的阅读题意,审清楚题目条件、要求,理解题目中的数量关系； 2建模:分析题目变化趋势,选择适当函数模型； 3求解: :对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论； 4还原:把数学结论还原为实际问题的解答. 提出问题 在自然界中,存在着大量的周期函数,两个周期函数合成后,是否还是周期函数呢?周期函 数的类型是否发生了改变?比如:两个正弦电流 i1=3sin(100t+ 3 ),i2
7、=4sin(100t- 6 )合成 后是否仍是正弦电流呢?类似地,两个声波和光波合成后又是怎样的? 活 动 : 函 数 y=A1sin(1x+),y=A2sin(2x+) 叠 加 后 , 即 函 数 y=A1sin(1x+)+A2sin(2x+)是否仍是正弦型函数呢?若不是,需满足怎样的条件? 讨论结果: :一,利用图形计算器或其他绘图工具绘制一些函数,如:y=sinx+ 3 cosx,y= 3 sin2x+cosx,y=sinx+cosx,y=3sinx+4cosx,y= 3 sinx+cos3x, 观 察 这 些 函 数 的 图 像 , 得 出 y=asin1x+bcos2x 仍是正弦型函
8、数的条件. 二,下面用图形计算器或其他绘制函数工具研究函数 y=asinx+bcosx 与化简后的正弦型函数 y=Asin(x+)的振幅,周期,初相与 a,b 的联系. 三,通过实验验证你的猜想.可从具体函数入手,例如:先依据你猜测的函数类型,借助图形计算 器或软件中测量等工具猜测出函数 y=sinx+ 3 cosx解析式的化简形式.绘制它的图像,验证它 是否与 y=sinx+ 3 cosx的图像完全吻合. 四,请在上面实验或进一步猜测实验的基础上,尝试确定该类型函数中参量与 y=asinx+bcosx 中 a,b 的关系,得出三角式 asinx+bcosx 的化简公式,这个公式在正弦电流,声
9、波和光波的合成 中经常用到. 五,请尝试证明你得出的化简公式,指出与其相关联的三角变换公式并说明两者间的联系. 六,试求前面提到的两正弦电流合成后的电流的振幅,周期,初相. 应用示例 例 1 如图 1,某地一天从 614 时的温度变化曲线近似满足函数 y=sin(x+)+b. 2 图 1 (1)求这一天的最大温差; (2)写出这段曲线的函数解析式. 活动:这道例题是2002年全国卷的一道高考题,探究时教师与学生一起讨论.本例是研究温度随 时间呈周期性变化的问题.教师可引导学生思考,本例给出模型了吗？给出的模型函数是什么？ 要解决的问题是什么？怎样解决？然后完全放给学生自己讨论解决. 题目已经给
10、出了某个时间段的温度变化曲线这个模型.其中第(1)小题实际上就是求函数 图像的解析式,然后再求函数的最值差.教师应引导学生观察思考:“求这一天的最大温差”实 际指的是“求 6 时到 14时这段时间的最大温差”,可根据前面所学的三角函数图像直接写出而 不必再求解析式.让学生体会不同的函数模型在解决具体问题时的不同作用.第(2) 小题只要 用待定系数法求出解析式中的未知参数,即可确定其解析式.其中求 是利用半周期(14-6) , 通过建立方程得解. 解: :(1)由图可知,这段时间的最大温差是 20 . (2)从图中可以看出,从 614时的图像是函数 y=Asin(x+)+b 图像的半个周期的图像
11、, A= 1 2 (30-10)=10,b= 1 2 (30+10)=20. 1 2 2 =14-6, = 8 .将 x=6,y=10 代入上式,解得 = 3 4 . 综上,所求解析式为 y=10sin( 8 x+ 3 4 )+20,x6,14. 点评: :本例中所给出的一段图像实际上只取 614 即可,这恰好是半个周期,提醒学生注意抓关 键.本例所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况,因此应当特别注意自 变量的变化范围,这点往往被学生忽略掉. 例 2 (2007 全国高考)函数 y=|sinx|的一个单调增区间是( ) A.(- 4 , 4) B.( 4, 3 4 ) C.(
12、, 3 2 ) D.( 3 2 ,2) 答案: :C 例 3 水车问题. 水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具,图 2 是一个水车工作的示意图,它的直径为 3 m,其中心(即圆心)O距水面 1.2m,如果水车逆时针匀速旋转,旋转一圈的时间是 边缘上取一点 P,点 P 距水面的高度为 h(m). 4 3 min.在水车轮 3 图 2 (1)求 h 与时间 t 的函数解析式,并作出这个函数的简图. (2)讨论如果雨季河水上涨或旱季河流水量减少时,所求得的函数解析式中的参数将会发生哪 些变化.若水车转速加快或减慢,函数解析式中的参数又会受到怎样的影响? 活动与解答: :不妨设水面的高度为 0,当
13、P 点旋转到水面以下时,P点距水面的高度为负值.显然,h 与 t 的函数关系是周期函数的关系. 如图2,设水车的半径为R,R=1.5 m;水车中心到水面的距离为b,b=1.2 m;QOP 为 ;水车旋转 一圈所需的时间为 T;由已知 T= 4 3 (min)=80(s),单位时间(s)旋转的角度(rad)为 ,= 2 T = 40 rad/s. 为了方便,不妨从P 点位于水车轮与水面交点Q 时开始计时(t=0),在 t 时刻水车转动的角度为, 如图 2 所示,QOP=t= 40 t(rad). 过 P 点向水面作垂线,交水面于 M 点,PM的长度为 P 点的高度 h.过水车中心 O 作 PM
14、的垂线,交 PM 于 N 点,QON 为 . 从图中不难看出: h=PM=PN+NM=Rsin(-)+b. 这是一个由三角函数确定的数学模型. 从图中可以看出:sin= 1.2 1.5 ,所以 53.10.295 rad. 把前面已经确定了的参数 ,R 和 b 代入式,我们就可以得到 h=1.5 sin( 40 t-0.295)+1.2(m). 这就是 P 点距水面的高度 h 关于时间 t 的函数解析式. 因为当 P 点旋转到 53.1时,P点到水面的距离恰好是 1.2(m), 此时 t= 53.1 360 80 11.8(s),故可列表,描点,画出函数在区间11.8,91.8上的简图(如图
15、3): t 11.8 31.8 51.8 71.8 91.8 h=1.5sin( 40 1.2 2.7 1.2 -0.3 1.2 t-0.295)+1 .2 如果雨季河水上涨或旱季河流水量减少,将造成水车中心 O 与水面距离的改变,而使函数 4 解析式中所加参数 b 发生变化.水面上涨时参数 b 减小;水面回落时参数 b 增大.如果水车轮转 速加快,将使周期 T 减小,转速减慢则使周期 T 增大. 点评: :面对实际问题建立数学模型,是一项重要的基本技能.这个过程并不神秘,就像这个例题, “”“”“把问题提供的 条件 逐条地 翻译 成 数学语言”，这个过程是很自然的. 知能训练 1. 发 电
16、厂 发 出 的 电 是 三 相 交 流 电 ， 它 的 三 根 导 线 上 的 电 流 强 度 分 别 是 时 间 t 的 函 数,Ia=Isint,Ib=Isin(t+120),Ic=Isin(t+240).则 Ia+Ib+Ic=_. 答案: :0 2.图 4 是一个单摆的振动图像,据图像回答下列问题: 图 4 (1)单摆振幅多大; (2)振动频率多高; (3)摆球速度首次具有最大负值的时刻和位置; (4)摆球运动的加速度首次具有最大负值的时刻和位置; (5)若当 g=9.86 m/s2,求摆线长. 解: :结合函数模型和图像: (1)单摆振幅是 1 cm; (2)单摆的振动频率为 1.25
17、 Hz; (3)单摆在 0.6 s 通过平衡位置时,首次具有速度的最大负值; (4) 单摆在 0.4 s 时在正向最大位移处,首次具有加速度的最大负值; L g ,可得 L= gT 4 2 2 (5)由单摆振动的周期公式 T=2 =0.16 m. 点评: :解决实际问题的关键是要归纳出数学函数模型,然后按数学模型处理.同时要注意检验,使 所求得的结论符合问题的实际意义. 课堂小结 1.本节课我们学习了三个层次的三角函数模型的应用,即根据图像建立解析式,根据解析式作 出图像,将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.你能概括出建立三角函数模型解 决实际问题的基本步骤吗？ 2.实际问题的背景往
18、往比较复杂,而且需要综合应用多学科的知识才能解决它.因此,在应用数 学知识解决实际问题时,应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系,还要调动相关学科知 识来帮助理解问题. 作业 图 5 表示的是电流 I 与时间 t 的函数关系 I=Asin(x+)(0,| 图像. 2 )在一个周期内的 5 图 5 (1)根据图像写出 I=Asin(x+)的解析式; (2)为了使 I=Asin(x+)中的 t 在任意一段 值,那么正整数 的最小值为多少? 1 100 s 的时间内电流 I 能同时取得最大值和最小 解: :(1)由图知 A=300,第一个零点为( 1 300 1 ,0),第二个零点为( 150 ,
19、0), ( 1 300 )+=0, 1 150 +=. 解得 =100,= 3 .I=300sin(100t+ 3 ). 1 (2)依题意有 T 100 ,即 2 1 100 , 200.故 min=629. 设计感想 1.本教案设计指导思想是:充分唤起学生已有的知识方法,调动起学生相关学科的知识,尽量降 低实例背景的相对难度,加大实际问题的鲜明、活跃程度,以引发学生探求问题的兴趣. 2.应用三角函数模型解决问题,首先要把实际问题抽象为数学问题,确定它的周期,从而建立起 适当三角函数模型.如果学生选择了不同的函数模型,教师应组织学生进行交流,或让学生根据 自己选择的模型进行求解,然后再根据所求
20、结果与实际情况差异进行评价. 3.由于实际问题常常涉及一些复杂数据,因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据,有条 件的要用多媒体进行动态演示,以使学生有更多的时间用于对问题本质的理解. 备课资料 一、备用习题 1.图 8 是周期为 2 的三角函数 y=f(x)的图像,那么 f(x)可写成( ( ) ) 图 8 A.sin(1+x) B.sin(1x) C.sin(x1) D.sin(1x) 2.函数 yx+sin|x|,x,的大致图像是图 9 中的( ) 6 图 9 3.一束光线与玻璃成 45角,穿过折射率为 1.5,厚度为 1 cm 的一块玻璃,那么光线在玻璃内的 行程是多少?(折射率=
21、sin sin ,其中 为入射角, 为折射角) 参考答案: : 1.D 2.C 3.解: :如图 10 所示,=45, 1.5= sin 45 sin ,得 sin= 2 3 ,cos=0.881 9. 而 cos= AD 1 , AB AB AB=1.134(cm), 即光线在玻璃中的行程为 1.134 cm. 图 10 二、驾驭着波峰的数学 如果你是冲浪运动员,你知道有时难以预料何时浪会升起.有时浪在岸边完整地出现,但是 当你进入水中时,它已经消失了,因此你就得等待完整波的到来,有时似乎要好几小时.在另外 一些时候,完整波一个接一个地来到,可有许多个供你选择.不用说,波理论和波活动性是一个
22、 复杂的系统,许多因素影响着和创造着海浪.风、地震、船的尾波,当然还有月亮和太阳所产生 的引起潮汐的万有引力,都扰动着海洋,使海浪在水面上行动.当有多重的扰动或因素互相作用 时,这些波动形式多少有点随机性.19世纪初,对海浪在数学上开展了很多研究.在海上和受控 制的实验室中所作的观测,帮助科学家们获得了有趣的结论.1802 年在捷克斯洛伐克,弗朗 兹格特纳开始提出最早的波理论.在他的观测中,他记录着波中水粒是如何做圆周运动的.位 于波峰(最高点)的水的运动方向与波相同,位于波谷(最低点)的水的运动方向则相反.在水面上, 每一水粒都沿着圆形轨道运动,然后回到原位.圆的直径被发现等于波的高度.水的整个深度中 水粒都在生成圆,但水粒愈深,它的圆愈小.事实上,人们发现在相当于波长(两个相邻峰之间的 水平距离)的 1 9 的深度,圆形轨道的直径大约是水面上水粒的圆形轨道的直径的一半. 因为波浪与这些圆周运动的水粒有关,并且因为正弦曲线和摆线也与转动着的圆有关,这 些数学曲线和它们的方程被用来描述海洋波浪就不足为奇了.但是人们发现,波浪既不是严格 的正弦曲线,也不是任何别的纯粹的数学曲线.水的深度、风的强度和潮汐只是在描述波浪时必 须考察的变量中的几个而已.今天研究波浪时,用到了概率,统计学这些数学工具.人们考察了 大量小波,并依据所收集到的数据提出预测. 7