高中数学第一章三角函数本章复习教案苏教版必修42017082431.wps

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1、第一章 三角函数 本章复习 整体设计 知识网络 1任意角的概念是本章的基础，推广了角，扩大了研究的范围在此基础上，为了计算 中的简单，引入了两种度量制度：角度制与弧度制，但是其本质是一样的其最基本的一个应 用就是简化了弧长与扇形面积公式同时也为定义任意角的三角函数作了前期工作，也就得到 了本章的核心问题任意角的三角函数定义从这个核心出发，分成四条路线走，研究最基 本的比例，就可以得到同角三角函数的基本关系式，同时根据定义就可以推导出诱导公式知 道了核心的本质意义在坐标系里面，可以定义点的坐标，为推导第三章和角公式作了应有的准 备而和角公式的两个特殊方面只是本身的一个推广，由此就得来了复杂多变的

2、三角函数公式， 而这些复杂的公式(第三章的倍角公式，差角公式)的本质又是和角公式抛开比例的式子，应 用弧度制的度量作为基础，就有了三角函数的图象和性质，这是三角与函数结合的产物，既有 函数的特征，因此可以用函数的知识来解，又具有三角的特性，因此还可以用这一特点进行一 些特殊的运算所有的推导可以应用在计算与化简、证明恒等式上 2数学的魅力在于系统、严密，学习的兴趣在于环环相扣本章最为理想的复习方法就 是引导学生打通本章中的这张知识网络图，这是进行具体问题具体分析的理论依据，也是解决 问题最基本的方法教师指导学生步步为营，将其引入数学王国，畅游科学殿堂 三角函数一章知识网络图 三维目标 1通过全章

3、复习，让学生切实掌握三角函数的基本性质，会判定三角函数的奇偶性，确 定单调区间及求周期的方法熟练掌握同角三角函数的基本关系式及六组诱导公式，弄清公式 的推导关系和互相联系，让学生做到记准、用熟 1 2要求学生会用“五点法”作正、余弦函数的简图，掌握应用基本三角变换公式的求值、 化简、证明 3本章的最终目标是让学生熟练掌握三角函数基础知识、基本技能、基本运算能力，以 及数形结合思想、转化与化规思想，激发学生学习兴趣，培养他们善于总结、善于合作、善于 创新以及应用数学解决实际问题的能力 重点难点 教学重点：三角函数的定义，诱导公式，以及三角函数的图象与性质 教学难点：三角恒等变形及三角函数的图象与

4、性质的综合运用 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1 1.(复习导入)了解一下全章的知识网络结构，并回顾思考本章学习了哪些具体内容： 首先，我们给出了三角函数的定义，包括任意角的三角函数的符号，同角三角函数的关系式， 诱导公式又共同学习了正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质接下来，我们又共同 探讨了它们的应用，并能运用上述公式和性质进行三角函数式的化简、求值、证明以及它们的 综合运用由此展开全章的系统复习 思路 2 2.(问题导入)你现在已经会求任意角的三角函数值，会画三角函数的图象，会用三 角函数模型来解释现实生活中具有周期性变换规律的一些现象你是如何学习到这些知识的？ 又是

5、如何提高自己能力的？由此引导学生回顾全章知识的形成过程，进而展开全面复习 推进新课 Error! 我们是怎样推广任意角的？又是怎样得到任意角的三角函数定义的？ 本章学习了哪些同角三角函数的基本关系式？怎样推导的？ 本章都学习了哪些诱导公式？各有什么用途？怎样记忆？ 你是如何得到正弦曲线、余弦曲线和正切曲线的？ 你能从图象上说出三角函数的哪些性质？ 活动：问题，为了使学生了解知识的形成顺序与过程，教师可引导学生回忆从前的学习 情景，让学生感悟数学是在什么样的背景下向前推进的，同时也加强系统数学知识的记忆，居 2 高临下地来掌握全章知识 问题，教师引导学生回忆三角函数定义，回忆同角三角函数的基本关

6、系式的推导，并回 忆这些公式的作用和应用方法技巧利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限 确定符号，也就是要就角所在象限进行分类讨论同角三角函数的基本关系式揭示了同一个角 的三角函数间的相互关系，利用它可以使解题更方便，但要注意公式成立的前提是角对应的三 角函数有意义 sin sin2cos21， tan. cos 问题，教师引导学生回顾的同时，最好能利用多媒体或幻灯片来展示这些公式以前学 习的都是孤立的、零碎的，现在是放在一起记忆提高幻灯片如下： 公式一 公式二 公式三 sin(k2)sin， sin()sin， sin()sin ， cos(k2)cos， cos()cos， c

7、os()cos ， tan(k2)tan， tan()tan tan()tan 其中 kZ Z 公式四 公式五 公式六 sin()sin， sin( )cos， 2 sin( )cos， 2 cos()cos， tan()tan cos( )sin 2 cos( )sin 2 问题，三角函数性质是通过图象来研究的，而且画图、识图、用图也是对学生的基本要 求教师要让学生亲自动手画一画，以加深学生对三角函数性质的进一步理解提升让学生明 了：利用平移正弦线，可以比较精确地画出正弦函数的图象，利用正弦函数的图象和诱导公式， 可以画出余弦函数的图象，可以看出在长度为一个周期的闭区间上有五个点(即函数值最

8、大和 最小的点以及函数值为 0 的点)这五个点在确定正弦函数、余弦函数图象的形状时起着关键 的作用因此，在精确度不太高时，我们常用“五点法”画正弦、余弦函数以及与它们类似的 一些函数特别是函数 yAsin(x)的简图教师同时打出幻灯(如图 1、图 2、图 3)： 3 图 1 图 2 图 3 问题，让学生由图象说性质，教师可引导学生从函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、 最值、周期性、对称性等方面叙述教师要强调，正弦、余弦、正切函数的图象以及它们的主 要性质非常重要，要牢固掌握，但不要死记硬背 讨论结果：略 Error! 例 1 已知角 终边上一点 P 与 x 轴的距离和与 y 轴的距离之比为

9、34(且均不为零)，求 2sincos 的值 活动：本例属于较为简单的题目，目的是要学生熟悉任意角的三角函数定义，也要明确解 题中的一种很重要的方法是回归定义教师引导学生思考距离与坐标的不同、是否需要对点的 坐标进行分类讨论，然后让学生独立完成此题 解：由题意，需对角 终边的位置进行讨论： 4 3 4 若角 终边过点 P(4,3)，则 2sincos2 2； 5 5 3 4 2 若角 终边过点 P(4,3)，则 2sincos2 ； 5 5 5 3 4 若角 终边过点 P(4，3)，则 2sincos2 2； 5 5 3 4 2 若角 终边过点 P(4，3)，则 2sincos2 . 5 5

10、5 点 拨：任意角的三角函数定义不仅是本章的核心，也是整个三角函数的中心问题要指导 学生深刻理解三角函数定义的内涵，它只是一个比值，只与角的大小有关，而与点 P 在角的终 边上的位置无关. 变式训练 1函数 ycos(sinx)的值域是( ) Acos(1)，cos1 B1,1 Ccos1,1 D1，cos1 答案：C 4 3 sincos 2已知 sin(2) ，( ，2)，则 等于( ) 5 2 sincos 1 1 A. B 7 7 C7 D7 答案：A 例 2 已知 sin3cos0，求： 3cossin (1) ；(2)2sin23sincos2 的值 3cossin 活动：教师引导

11、学生观察本题的条件与结论，关键是求 sin 与 cos 的值，由 sin 3cos0 及 sin2cos21 联立方程组即得 sin 与 cos 的值教师进一步点拨：根 据同角三角函数的基本关系，不直接求 sin 与 cos 的值，需作怎样的变形即可？对看出本 题由已知可得 tan3 的同学教师给予鼓励并作进一步探究，对看不出这一步的学生再给 予进一步引导，直至其独立解出此题 3cossin 3tan 33 解：(1) 2 3. 3cossin 3tan 33 (2)2sin2 3sincos 2 4sin2 3sincos 2cos2 cos2(4tan2 1 1 47 3tan2) (4t

12、an23tan2) (49332) . 1tan2 1 32 10 5 点 拨：本题主要考查利用同角三角函数关系式求值对于只含有正弦、余弦函数的齐次式， “在求解时常常转化为只含有正切的式子，这种变形技巧十分重要，也称为 1”的代换，在今 后的学习中经常用到，应要求学生仔细体会并熟悉掌握. 变式训练 1 1已知 是三角形的内角，且 sincos ，求 tan 的值 5 1 12 解：由 sincos 平方整理，得 sincos 0，cos0. 49 (sincos)212sincos ， 25 7 sincos . 5 4 由Error! Error!tan . 3 点 拨：本题主要考查同角三

13、角函数的基本关系式对于三角求值题目，一定要注意角的范 围，有时要根据所给三角函数值的大小，适当缩小所给角的范围，才能求出准确的值教 师要抓住时机就此进一步挖掘，以激起学生的探究兴趣 m3 42m 2已知 sin ，cos ， 0，0)的图象在 y 轴右侧的第一个最高 点(函数取最大值的点)为 M(2,2 2)，与 x 轴正半轴的第一个交点为 N(6,0)，求这个函数的解 析式 活动：本例是一道经典例题，主要考查三角函数模型的应用及训练学生的分析思维能力， 对数形结合的思维要求也较高教师可引导学生展开思考讨论，怎样根据题目中给出的条件找 到思维的切入点题目中虽然没有直接给出图象，实质是已知图象求

14、解析式问题指导学生画 出草图，利用数形结合来深化题意的理解，事实上，学生很容易看出 A 的值如果学生没找出 周期问题，教师可进一步点 拨：题目中告诉的 x 轴的横坐标 2 与 6 表示图象的哪段根据题意， 知道点 M、N 恰是函数 yAsin(x)，xR R(其中 A0，0)在对应于包含 0 的周期的那 段图象的五个关键点中的两个由此可知 A、T，但要注意指导 的求法 6 解：方法一： T 根据题意，可知 624，所以 T16. 4 2 于是 .又 A2 2， T 8 将点 M 的坐标(2,2 2)代入 y2 2sin( x)， 8 得 2 22 2sin( 2)， 8 即 sin( )1.

15、4 所以满足 的 为最小正数解所以 . 4 2 4 从而所求的函数解析式是 y2 2sin( x )，xR R. 8 4 方法二：由题意可得 A2 2，将两个点 M(2,2 2)，N(6,0)的坐标分别代入 y2 2sin(x )并化简， 得Error! 故在长度为一个周期且包含原点的闭区间上， 有Error! 从而所求的函数解析式是 y2 2sin( x )，xR R. 8 4 点拨：由三角函数图象求解析式确定 时，答案可能不只一个，这里可提醒学生注意， 习惯上一般取离 x 轴最近的一个，这样的解析式简洁本例对学生有着很高的训练价值，特别 是数形结合思想、转化与化归思想的运用数形结合是数学中

16、重要的思想方法，对各类函数的 研究都离不开图象，在中学阶段，几乎所有函数的性质都是通过观察图象而得到的. 变式训练 已知函数 yAsin(x)，xR R，A0，0，|0，利用图 4 或图 5，知 2k 0)的最小正周期为 ，则该函数的图象( ) 3 A关于点( ，0)对称 B关于直线 x 对称 3 4 C关于点( ，0)对称 D关于直线 x 对称 4 3 答案：A Error! 教科书复习题 118. Error! 提出问题让学生回顾总结，通过本节复习，系统掌握三角函数有关知识，你对三角函数有 9 什么新的认识？三角函数与以前所学函数有什么异同之处？在灵活应用本章知识进行三角函 数式的化简、求

17、值、证明方面你都有哪些提高？我们都解决了哪些实际问题？教师与学生一起 归纳总结，共同完成本节小结 Error! 已知函数 f(x)sinx 图象的一部分如图 7(1)，则图 7(2)的函数图象所对应的函数解析 式可以为( ) 图 7 1 Ayf(2x ) Byf(2x1) 2 1 1 1 Cyf( x1) Dyf( x ) 2 2 2 答案：B 设计感想 1本章复习课只安排了 1 课时，课堂设计的容量较大，指导思想是充分利用多媒体，放 手让学生根据教师提供的知识网络自己进行归纳总结，教师在知识的交汇处、在思维的提高上 给予指导、点拨建议教师课堂上不要把自己的思路、提前归纳的方法直接告诉学生 2

18、加强学生的学法指导，因为“在不断变动的世界上，没有任何一门或一套课程可供在 可见的未来使用，或可供你终身受用现在需要的最重要的技能是如何学习”因此数学课的 学习过程，不仅是传授知识、技能的过程，更是教会学生如何学习数学的过程也就是说，学 习数学的过程实际上就是学生获取、整合、储存、运用数学知识和获得学习能力的过程在本 章复习课设计中，就体现了学生如何学习的问题 3复习不是简单的重复，不是练习堆积的习题课，而是成为学生再发现、再提高、再创 造的氛围场所，是学生对所学知识居高临下的掌握和学生身心健康成长的愉悦体验 备课资料 一、备用习题 10 1已知集合 A|60k360，kZ Z，B|60k72

19、0，kZ Z C， |60k180，kZ Z，那么集合 A，B，C 之间的关系是( ) AB A C BA B C CB C A DC B A 2若 是第四象限角，则 是( ) A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角 3一扇形的半径与弧长之比是 3，则该扇形所含弓形的面积与该扇形的面积之比是 A(23 3)2 B(63 3)6 C(43 3)4 D(83 3)8 4把函数 y4cos(x )的图象向左平移 m 个单位，所得图象关于 y 轴对称，则 m 的最 3 小值是( ) 2 5 A. B. C. D. 6 3 3 6 M 5如果|x| ，设函数 f(x)cos2xsinx的

20、最大值为 M，最小值为 m，则 的值为 ( 4 m ) 5 A B32 4 5 25 C32 2 D 2 2 6已知函数 yAsin(x)(A0，0)的周期为 1，最大值与最小值之差是 3，且函 1 3 数图象过点( ， )，则函数表达式为( ) 8 4 7 Ay3sin(2x ) By3sin(2x ) 12 12 3 3 Cy sin(2x ) Dy sin(2x ) 2 12 2 12 7函数 f(x)tanx(0)的图象的相邻两支截直线 y 所得线段的长为 ，则 4 4 f( )_. 4 cos 8已知 、(0， )，且 ，求证：对于 x(0，)，有 f(x)( )x 2 2 sin

21、cos ( )x ，知 . 2 2 又由 、(0， )，知 (0， ) 2 2 2 ysinx在(0， )内为增函数，ycosx 在(0， )内为减函数， 2 2 cos cos sinsin( )cos，coscos( )sin.0 1,0 1. 2 2 sin sin cos cos cos cos 又x(0，)，( )x1，( )x1.f(x)( )x( )x2. sin sin sin sin 二、三角函数的拓展 1关于三角函数的发展史 三角函数亦称圆函数，是正弦、余弦、正切、余切、正割、余割等函数的总称在平面直 角坐标系 xOy中，在与 x 轴正向夹角为 的动径上取点 P，P 的坐标

22、是(x，y)，OPr，则正 y x y x 弦函数 sin ，余弦函数 cos ，正切函数 tan ，余切函数 cot ，正割函数 sec r r x y r r ，余割函数 csc . 这 6 种函数在 1631年徐光启等人编译的大测中已齐备正弦最早 x y 被看作圆内圆心角所对的弦长，公元前2 世纪古希腊天文学家希帕霍斯就制造过这种正弦表，公 元 2 世纪托勒密又制造了 090每隔半度的正弦表公元 5 世纪时印度最早引入正弦概 念，还给出正弦函数表，记载于苏利耶历数书(约 400 年)中该书中还出现了正矢函数， 现在已很少使用它了约 510年印度数学家阿那波多考虑了余弦概念，传到欧洲后有多

23、种名称，17 世纪后才统一正切和余切函数是由日影的测量而引起的，9 世纪的阿拉伯计算家哈巴什首次 编制了一个正切、余切表.10 世纪的艾布瓦法又单独编制了第一个正切表哈巴什还首先提 出正割和余割概念，艾布瓦法正式使用到 1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在三 角学准则中收入正弦、余弦、正切、余切、正割、余割 6 种函数，并附有正割表他还首次 用直角三角形的边长之比定义三角函数.1748 年欧拉第一次以函数线与半径的比值定义三角函 数，令圆半径为 1，并创用许多三角函数符号至此现代形式的三角函数开始通行，并不断发 展至今现在的许多教辅资料中，有关三角函数的运算都是 6 种函数的综合运算 2

24、关于三角函数的定义法 三角函数定义是三角函数的核心内容关于三角函数定义法，总的说来就两种：“单位圆 定义法”与“终边定义法”，这两种方法本质上是一致的正因为此，各种数学出版物中，两 12 种定义方法都有采用，采用哪一种定义方法是一个取舍问题，没有对错之分，并不存在商榷的 问题因此，“单位圆上的点毕竟是特殊点，用它定义三角函数有失一般性”的认识是不正确 的由上述三角函数发展史已经表明，任意角的三角函数是因研究圆周运动的需要而产生的， 数学史上，三角函数曾经被称为“圆函数”，所以，采用“单位圆定义法”能更真实地反映三 “”角函数的发展进程在老师们熟悉的 终边定义法 中，给出定义后有如下说明：“根据

25、相似 三角形的知识，对于确定的角 ，这三个比值(如果有的话)都不会随点 P 在 的终边上的位 置的改变而改变等，对于确定的角 ，上面三个比值都是惟一确定的这就是说，正弦、余 弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数”这恰恰说明了“以角 的终边与单 位圆的交点坐标为比值”是不失一般性的另外，用“单位圆定义法”直截了当、简洁易 懂，不需要这样的说明，就更显出其好处了 3关于新课程中的三角函数种类 高中数学课程标准(实验)只要求正弦、余弦和正切三个函数，其目的是削枝强干，是 非常正确的进一步地，三角函数中正弦、余弦函数是“基本三角函数”，其余都是通过这两 个函数的运算(相除、取倒数等)而得到的，或者说是从这两个函数“派生”出来的，因此教师 在教学中没有必要对其他的三角函数再作补充 13