《高中数学第一章推理与证明1.4数学归纳法教案北师大版选修2_220170927342.wps》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第一章推理与证明1.4数学归纳法教案北师大版选修2_220170927342.wps（5页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、数学归纳法 一、教学目标： 1、使学生了解归纳法, 理解数学归纳的原理与实质。 2“”、掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用 数学归纳法 证明简单的与自然数有关的命题。 3、培养学生观察, 分析, 论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经 历知识的构建过程, 体会类比的数学思想。 4、努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴趣和课 堂效率。 5、通过对例题的探究，体会研究数学问题的一种方法(先猜想后证明), 激发学生的学习热情， 使学生初步形成做数学的意识和科学精神。 二、教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。 教学难点：明确数学归
2、纳法的两个步骤的必要性并正确使用。 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 ( (一) )、复习：1、数学归纳法:对于某些与自然数 n 有关的命题常常采用下面的方法来证明它的 正确性：先证明当 n 取第一个值 n0时命题成立；然后假设当 n=k(kN*，kn0)时命题成立， 证明当 n=k+1时命题也成立 这种证明方法就叫做数学归纳法 2、数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数 n0，如果当 n=n0时， 命题成立，再假设当 n=k(kn0，kN N*)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据 这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对
3、所有不小于n0的正整数n0+1， n0+2，命题都成立. 3、用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤： (1)证明：当 n 取第一个值 n0结论正确； (2)假设当 n=k(kN N*，且 kn0)时结论正确，证明当 n=k+1时结论也正确. 由(1)，(2)可知，命题对于从 n0开始的所有正整数 n 都正确 （二）、探究新课 例 1、求证： n3 (n 1)3 (n 2)3 能被 9 整除，n N 。 证明：（1）当 n=1时，13 (11)3 (1 2)3 36 ，36能被 9 整除，命题成立； - 1 - （2）假设 nk(k1)时，命题成立，即 k 3 (k 1)3 (k 2)3
4、 能被 9 整除。 当 nk+1时， ( k 1) (k 3 2) 3 ( k 3) 3 3 k (k 1 k k 3 2 ) ( 2)3 k 3 3 3 3 2 k k k k k ( 1) ( 2) 9( 3 3) 3 3 3 2 3 3 由假设可知，上式的两部分都能被 9 整除。 故 nk+1时，命题也成立。 根据（1）和（2）可知对任意的 n N ，该命题成立。 “证明整除性问题的关键是 凑项”，可采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑出 nk 时 的情形，从而利用归纳假设使问题获证。 1 例 2、证明：凸 n 边形的对角线的条数 f (n) n(n 3), (n 4) 。 2 1
5、证明：（1）当 n=4时， f (4) 4 (4 3) 2 ，四边形有两条对角线，命题成立。 2 （ 2 ） 假 设 n k(k 4) 时 ， 命 题 成 立 ， 即 凸 k 边 形 的 对 角 线 的 条 数 1 f (k) k(k 3), (k 4). 2 当 nk+1时，凸 k+1边形是在 k 边形的基础上增加了一边，增加了一个顶点A ，增加 k1 的对角线条数是顶点A 与不相邻顶点连线再加上原 k 边形的一边 k1 A A 1 ，共增加的对角线条 k 数为：（k+1-3）+1=k-1 1 1 1 1 f (k 1) k(k 3) k 1 (k 2 k 2) (k 1)(k 2) (k
6、1)(k 1) 3 。 2 2 2 2 故 nk+1时，命题也成立。 根据（1）和（2）可知对 n4， n N 公式都成立。 “用数学归纳法证明几何问题的关键是 找项”，即几何元素从 k 个变成 k+1个时，所证的几何 量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析，在实在分析不出来的情况下， 将 n=k+1 和 n=k 分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可， 这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧。 1 例 3、已知数列 1 ， a1 0 ，试猜想 a 满足 a a 的通项公式并用数学归纳法证 n 2 n a n n 明。 - 2 - 解：由 1 a 1
7、 和 a1 0 ，得 n 2 a n 1 1 1 2 a ， 3 2 a ， 2 0 2 1 3 2 2 1 3 1 4 a4 ， 5 a ， 2 4 3 5 2 2 3 4 n 1 归纳上述结果，可得猜想 n ( 1 2 ) 。 a n ， ， n 下面用数学归纳法证明这个猜想。 11 （1）当 n1 时，左边 1 0 a ，右边 0 ，等式成立。 1 k 1 （2）假设当 nk(k1)时，等式成立，即 a 成立。 k k 那么，当 nk+1时， 1 1 k (k 1) 1 a k 。 1 k 2 a k 1 k 1 1 k 2 k 这就是说，当 nk+1时等式成立。 根据（1）和（2），可知猜想a n n 1 对任意正整数 n 都成立。 n 探索性命题的求解一般分三步进行：验证 p，p，p，p，；提出猜想；用数 学归纳法证明。 （三）、小结：使用数学归纳法时需要注意：（1）用数学归纳法证明的对象是与正整数 n 有关 的命题；（2）在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可。 （四）、练习：课本P 练习. 19 （五）、作业：课本P 习题 1-4：2. 19 五、教后反思： - 3 -