《高中数学第三章三角恒等变换3.3几个三角恒等式导学案苏教版必修420170824326.wps》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第三章三角恒等变换3.3几个三角恒等式导学案苏教版必修420170824326.wps（9页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、3.33.3 几个三角恒等式 课堂导学 三点剖析 1.三角函数恒等式应用举例 1 cos sin 【例 1】 运用三角函数变换证明 tan = . 2 sin 1 cos 思路分析：由于角不一致，首先应统一角度，即运用倍角公式设法将 tan 2 函数. 变成角 的三角 sin 2 证明：tan = 2 cos 2 2sin2 1 cos 2 = . sin 2 sin cos 2 2 sin 2 tan = 2 cos 2 2 sin cos sin 2 2 = . 2 1 cos 2 cos 2 1 cos sin tan = 2 sin a 1 cos 温馨提示 成立. 这组公式的结构特征
2、是用 cos 与 sin 表示 2 的正切值，可称为半角公式. 2三角函数变换的应用 【例 2】 将下列各式化简为 Asin(x+)的形式： （1）cosx-sinx； (2)3sinx+ 3 cosx； (3)3sinx-4cosx； (4)asinx+bcosx(ab0). 思路分析：本题主要考查两角和（差）的正余弦公式的恒等变形. 解：（1）cosx-sinx=-(sinx-cosx) = 2 ( 2 2 sinx- 2 2 cosx) 1 = 2 (sinxcos -cosxsin 4 = 2 sin(x- ). 4 4 ) 本题化简结果不唯一，也可这样变换： cosx-sinx= 2
3、 ( 2 2 cosx- 2 2 sinx) = 2 (sinxcos 3 4 +cosxsin 3 4 )= 2 sin(x+ 3 4 ). （2）3sinx+ 3 cosx=2 3 ( 3 2 sinx+ 1 2 cosx) =2 3 (sinxcos +cosxsin ) 6 6 =2 3 sin(x+ ). 6 3 4 (3)3sinx-4cosx=5( sinx cosx) 5 5 3 令 cos= ， 为第一象限角，则 sin= 5 3sinx-4cosx=5(sinxcos-cosxsin) =5sin(x-). （4）asinx+bcosx 4 5 . = a2 b2 ( a
4、a2 b 2 sinx+ b a2 b 2 cosx) = a2 b2 (sinxcos+cosxsin) = a2 b2 sin(x+). 其中 cos= a a2 b 2 ,sin= b a2 b 2 . 温馨提示 形如 asinx+bcosx 的式子均可化成 a2 b2 sin(x+)的形式，这种变换的主要功能 是把 asinx+bcosx 形的三角函数式表示成一个角的一个三角函数，这样做有利于研究 f(x)=asinx+bcosx 的图象和性质，或化简、求最值问题. 3.在解题过程中怎样选择合适的公式 【例 3】已知函数 f(x)=2asinxcosx+2bcos2x,且 f(0)=8
5、，f( 求 a,b的值及 f(x)的周期和最大值. 解：f(0)=2asin0cos0+2bcos20=2b=8,b=4. 6 3 )=6+ 3 2 . 2 又 f( 6 ) =2asin 6 co s 6 +2bcos2 6 = 3 2 a + 3 2 b = 3 2 3 a+6=6+ 3 2 . a=3. f(x)=3sin2x+4cos2x+4=5(sin2x+)+4(其中 cos= 2 f(x)的周期是 T= =. 2 3 5 ,sin= 4 5 ), 当 sin（2x+）=1时，f(x)最大值=9. 温馨提示 当 f(x)的解析式中有待定常数 a，b 时，可根据条件列关于 a，b 的
6、两个条件等式，再通 过解方程组求出 a，b;求 f(x)的周期和最值，通常需把 f(x)化成 Asin（x+）+k 的形式. 本例中（2）问是根据方程根的意义得到两个三角等式，再通过三角变换变出所需要的式子. 各个击破 类题演练 1 1 3 已知 cos= ，且 （0， 5 解：（0， ）， 2 2(0, )， 4 tan 0， 2 2 ），求 tan 2 . tan 2 3 1 1 1 cos 5 = . 1 cos 3 2 1 5 变式提升 1 1 1 求证：（1）sincos= sin（+）+sin(-); 2 (2)sin+sin=2sin cos . 2 2 证明：（1）因为 sin
7、（+）=sincos+cossin, sin(-)=sincos-cossin. 将以上两式的左右两边分别相加，得 sin（+）+sin（-）=2sincos, 即 sincos= 1 2 sin（+）+sin(-). （2）由（1）可得， sin（+）+sin（-）=2sincos（*） 设 +=,-=, 那么 = ,= 2 2 . 把 , 的值代入（*）， 得 3 sin+sin=2sin 温馨提示 2 cos 2 . 本例是积化和差、和差化积公式的证明，所用的方程思想和换元的方法很巧妙，使公式的 证明变得十分简单. 类题演练 2 2 当 y=2cosx-3sinx 取得最大值时，tanx
8、 的值（ ） 3 3 A. B.- C. 13 D.4 2 2 解析：y= 13 sin(-x),y 有最大值时，sin(-x)=1-x=2k+ =2 k + 2 2 +x,又 由 sin= 2 1 3 , cos = 3 13 答案：B 变式提升 2 2 （1）当- x 时，f(x)=sinx+3cosx 的最值. 2 2 解：f(x)=sinx+ 3 cosx=2sin(x+ ). 3 设 t=x+ . 3 5 - x ，- x+ ，即- t 2 2 6 3 6 6 5 原函数化为 y=2sint(- t ). 6 6 画出 y=2sint的图象，观察图象可知 当 t=- ，即 x=- 时
9、， 6 2 ymin=2sin(- )=-1, 6 当 t= ，即 x= 时，ymax=2sin =2. 2 6 2 5 6 . ymin=-1,ymax=2. 1 (2)(2005 江苏高考，10)若 sin( -)= ，则 cos( 6 3 7 1 1 A. B. C. 9 3 3 2 解析：cos( +2)=2cos2( +)-1. 3 3 ( -)+( +)= , 6 3 2 1 cos( +)=sin( -)= . 3 6 3 2 3 +2)等于（ ） 7 9 D. 4 cos( 2 3 +2)=2( 1 3 )2-1= 7 . 9 答案：A 类题演练 3 3 求证：（1）sin3=
10、3sin-4sin3；（2）cos3=4cos3-3cos. 证明：（1）sin3=sin(2+)=sin2cos+cos2sin =2sincos2+(1-2sin2)sin =2sin(1-sin2)+sin-2sin3 =3sin-4sin3. sin3=3sin-4sin3. （2）cos3=cos(2+)=cos2cos-sin2sin =(2cos2-1)cos-2sin2cos =2cos3-cos-2(1-cos2)cos =4cos3-3cos. cos3=4cos3-3cos. 变式提升 3 3 求 sin18的值. 解：sin36=cos54, 2sin18cos18=4cos318-3cos18. 又cos180, 2sin18=4(1-sin218)-3, 4sin218+2sin18-1=0. 解这个关于 sin18的一元二次方程得 sin18= 1 4 5 . sin180,sin18= 5 1 . 4 5