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1、第八章 二维固体力学问题分析,孙 会 2012.4,本章内容,一、平面应力问题（重点，熟悉） 二、四边形等参单元（重点、难点） 三、轴对称问题（了解） 四、ANSYS应用（重点，掌握） 五、结果验证（重点，熟悉）,一、平面应力问题,1、基本概念与相关公式 2、单元刚度矩阵 3、单元载荷矩阵,1、基本概念与相关公式,微元法 材料体内任一点,图8.1 任一点上的应力分量,外力作用,产生内力,产生应力、应变,如何描述材料体内任一点的应力、应变状态？,1、基本概念与相关公式,(1)任一点的应力状态 采用6个独立的应力分量表示，其中XX、YY、ZZ正应力，XY、YZ、XZ剪应力。 三维问题变为平面应力问
2、题：,Z方向没有施加力,备注：在应力分量的表示中，第一个下角标对应应力所在面的法向方向，第二个下角标对应应力的方向。,1、基本概念与相关公式,图8.2 平面应力状态,1、基本概念与相关公式,(2)任一点的应变状态 采用6个独立的应力分量表示，其中 XX、 YY、 ZZ正应变， XY、 YZ、 XZ剪应变。,Z方向没有位移w=0,三维问题变为平面应变问题,1、基本概念与相关公式,(3)应力和应变的关系-虎克定律,E弹性模量； 泊松比； G 弹性剪切模量。,1、基本概念与相关公式,对于平面应力问题，虎克定律变为： 应变和位移的关系：,2、单元刚度矩阵,采用最小总势能法： 对于由n个单元m个节点构成
3、的稳定系统，平衡位置上产生的位移总会使系统的总势能最小：,对应单元刚度矩阵,对应单元载荷矩阵,2、单元刚度矩阵,对于平面应力问题，应变能：,关键：构造应变矩阵的表达形式,2、单元刚度矩阵,以线性三角形单元为例：,等参公式,2、单元刚度矩阵,求关于节点位移的微分：,得到单元刚度矩阵K(e)：,V是单元的体积,3、单元载荷矩阵,对于最小总势能法： 对于由n个单元m个节点构成的稳定系统，平衡位置上产生的位移总会使系统的总势能最小：,对应单元刚度矩阵,对应单元载荷矩阵,关键：获得功的表达形式,3、单元载荷矩阵,集中载荷Q：,3、单元载荷矩阵,分量为px和py的分布载荷所做的功： 如使用三角形单元 表示
4、位移，则分布载荷所做的功：,u和v：x和y方向的位移； A：分布载荷作用范围的面积，其大小为单元厚度t 和分布载荷作用边长的乘积。,3、单元载荷矩阵-推导过程,推导过程：,3、单元载荷矩阵-推导过程,3、单元载荷矩阵-推导过程,3、单元载荷矩阵,沿ki 边： 沿ij 边： 沿jk 边：,二、四边形等参单元,上面针对平面应力问题，采用最小总势能法，以线性三角形单元为例，推导获得了单元刚度矩阵和单元载荷矩阵。 实际上，对于四边形等参单元，其方法类似，只不过过程更加繁琐，这里给出最终结果。,二、四边形等参单元,四边形等参单元的单元刚度矩阵：,te 单元厚度；,三、轴对称问题,轴对称问题：几何形状和载
5、荷关于某个轴对称，可用二维轴对称单元进行分析。 轴对称单元刚度矩阵的推导步骤与平面应力问题类似。差别在于，平面应力问题采用直角坐标系；而轴对称问题使用柱坐标系。 轴对称三角形单元的刚度矩阵：,四、ANSYS应用,设有一支撑书架的钢托架，E29106lb/in2，0.3。该托架上表面承受均布载荷，左端固定。试在给定的载荷和约束下，绘制托架变形后的形状，并确定托架的主应力和von Mises应力。,四、ANSYS应用,图8.6 钢托架示意图,四、ANSYS应用,具体过程软件演示。,五、结果验证,基本原理基于静力平衡条件。 具体操作可取其中一个截面，利用ANSYS计算出该截面上的受力情况，并对该截面进行积分，之后看计算结果是否和施加的外力相等，是否满足静力平衡条件。,课堂总结,推导了平面应力三角形单元的刚度矩阵和载荷矩阵； 四边形等参单元和轴对称单元刚度矩阵； 采用ANSYS软件对二维固体力学问题进行有限元分析的方法和步骤； 平面固体力学问题有限元分析结果验证方法。,作业布置,对所学内容进行回顾、复习。,