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1、单元质量测试(六) 时间：120分钟满分：150分第卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能是()A圆柱 B圆锥 C棱锥 D棱柱答案B解析易知仅圆锥的三视图中一定不会出现正方形，故选B2(2018郑州检测)已知一三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一条直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为()答案C解析由已知条件得直观图如图所示，正视图是直角三角形，中间的线是看不见的线PA形成的投影，应为虚线故选C3已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为2，这个球的表面
2、积为6，则这个正四棱柱的体积为()A1 B2 C3 D4答案B解析S表4R26，R，设正四棱柱底面边长为x，则x2x222(2R)2，x1V正四棱柱2故选B4(2018贵阳模拟)设m，n为两条不同的直线，为两个不同的平面，给出下列命题：若m，m，则；若m，m，则；若m，n，则mn；若m，n，则mn上述命题中，所有真命题的序号是()A B C D答案A解析对于，垂直于同一条直线的两个平面互相平行，所以正确；对于，平行于同一条直线的两个平面的位置关系不确定，所以错误；对于，平行于同一个平面的两条直线的位置关系不确定，所以错误；对于，垂直于同一个平面的两条直线互相平行，所以正确故选A5(2018太原
3、三模)如图是某几何体的三视图，则这个几何体的体积是()A2 B2C4 D4答案A解析由三视图可知，该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成，这个几何体的体积V121()222故选A6(2018江西赣州二模)某几何体的主视图和左视图如图1，它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1，如图2，其中O1A16，O1C12，则该几何体的侧面积为()A48 B64 C96 D128答案C解析由题图2及斜二测画法可知原俯视图为如图所示的平行四边形OABC，设CB与y轴的交点为D，则易知CD2，OD224，CO6OA，俯视图是以6为边长的菱形，由三视图知几何体为一个直四棱柱，其高为4，所以该几何体的侧面积为46496
4、故选C7(2018郑州质检三)已知A，B，C，D四点在半径为的球面上，且ACBD4，ADBC，ABCD，则三棱锥DABC的体积是()A6 B4 C2 D答案C解析如图所示，将三棱锥DABC放在长、宽、高分别为a，b，c的长方体中，则依题意有解得则三棱锥DABC的体积为abc4abc2选C8(2018山西四校联考) 如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出下列五个结论：PD平面AMC；OM平面PCD；OM平面PDA；OM平面PBA；OM平面PBC其中正确的个数是()A1 B2 C3 D4答案C解析矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，所以O为BD的中点
5、在PBD中，M是PB的中点，所以OM是PBD的中位线，OMPD，则PD平面AMC，OM平面PCD，且OM平面PDA因为MPB，所以OM与平面PBA、平面PBC相交故选C9(2018大庆质检一)已知一个圆柱的轴截面是边长为a的正方形在圆柱内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，则圆柱内除了球之外的几何体的体积为()A B C D答案D解析由题意可知，该圆柱底面直径和高都是a，故其体积为V1R2h2a而圆柱体的内切球的直径也为a，故其体积为V2R33，所以圆柱体内除球体以外部分的体积为VV1V2故选D10(2018湖南长沙四校联考)祖暅是南北朝时代的伟大数学家，5世纪末提出体积计算原理，
6、即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等现有以下四个几何体：图是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体，图、图、图分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为()A B C D答案D解析设截面与底面的距离为h，则中截面内圆的半径为h，则截面圆环的面积为(R2h2)；中截面圆的半径为Rh，则截面圆的面积为(Rh)2；中截面圆的半径为R，则截面圆的面积为R2；中截面圆的半径为，则截面圆的面积为(R2h2)所以中截面的面积相等，故其体积相等，故选D11(2018福建莆田质检
7、)已知正方体ABCDA1B1C1D1，平面过直线BD，平面AB1C，平面AB1Cm，平面过直线A1C1，平面AB1C，平面ADD1A1n，则m，n所成的角的余弦值为()A B C D答案D解析如图，由题中条件知，直线m为B1O，直线n为A1D，B1CA1D，B1O与A1D所成的角为CB1O(或其补角)，设正方体的棱长为a，在CB1O中，B1Ca，COa，B1Oa，cosCB1O故选D12(2018太原模拟)三棱锥DABC中，已知CD底面ABC，ABC为正三角形，若AECD，ABCDAE2，则三棱锥DABC与三棱锥EABC的公共部分构成的几何体的体积为()A B C D答案B解析如图所示，设AD
8、CEF，连接DE三棱锥DABC与三棱锥EABC的公共部分为三棱锥FABC由题意AECD，AECD，所以四边形ACDE是平行四边形，取AC的中点M，连接FM，BM，则FM1，BM，由题意可知FM平面ABC所以三棱锥FABC的高是FM又正三角形ABC的面积SABACsin60，所以三棱锥FABC的体积VSFM故选B第卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则_答案解析由水面高度升高r，得圆柱体积增加R2r，恰好是半径为r的实心铁球的体积，因此有r3R2r故14直三
9、棱柱ABCA1B1C1的六个顶点都在球O的球面上若ABBC2，ABC90，AA12，则球O的表面积为_答案16解析由题设可知，直三棱柱可以补成一个球的内接长方体，所以球的直径为长方体的体对角线长，即4，故球O的表面积S4R21615已知某几何体的三视图如图所示，则其体积为_答案8解析由三视图可知该几何体为一个底面半径为1，高为5的圆柱与一个底面半径为1，高为3的圆柱的组合体，其体积为V12(53)816(2018唐山模拟)已知一个几何体由八个面围成，每个面都是正三角形，有四个顶点在同一平面内且为正方形，若该八面体的棱长为2，所有顶点都在球O上，则球O的表面积为_答案8解析依题意，该八面体的各个
10、顶点都在同一球面上，则其中四点所组成的截面在球的大圆面上，因为该八面体的棱长为2，所以这四点组成的正方形的对角线的长为2，故球的半径为，该球的表面积为4()28三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(2018珠海摸底)(本小题满分10分)中秋节即将到来，为了做好中秋节商场促销活动，某商场打算将进行促销活动的礼品盒重新设计方案如下：将一块边长为10的正方形纸片ABCD剪去四个全等的等腰三角形(SEE，SFF，SGG，SHH)，再将剩下的阴影部分折成一个四棱锥形状的包装盒SEFGH，其中A，B，C，D重合于点O，E与E重合，F与F重合，G与G重合，H与H重
11、合(如图所示)(1)求证：平面SEG平面SFH；(2)已知AE，过O作OMSH于点M，求cosEMO的值解(1)证明：因为折叠后A，B，C，D重合于一点O，所以拼接成底面EFGH的四个直角三角形必为全等的等腰直角三角形，所以底面EFGH是正方形，故EGFH因为在原平面图形中，SEESGG，所以SESG，所以EGSO又FHSOO，FH平面SFH，SO平面SFH，故EG平面SFH又因为EG平面SEG，所以平面SEG平面SFH(2)依题意，当AE时，即OERtSHO中，OH，SH，故SO5，所以OM由(1)知EG平面SFH，且OM平面SFH，故EGOM，从而EOOM，故RtEMO中，EM，所以cos
12、EMO18(2018全国卷)(本小题满分12分)如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧C所在平面垂直，M是C上异于C，D的点(1)证明：平面AMD平面BMC；(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC平面PBD？说明理由解(1)证明：由题设知，平面CMD平面ABCD，交线为CD因为BCCD，BC平面ABCD，所以BC平面CMD，故BCDM因为M为C上异于C，D的点，且DC为直径，所以DMCM又BCCMC，所以DM平面BMC而DM平面AMD，故平面AMD平面BMC(2)当P为AM的中点时，MC平面PBD证明如下：连接AC交BD于O因为四边形ABCD为矩形，所以O为AC的中点连接OP，因为P为AM的中
13、点，所以MCOP又MC平面PBD，OP平面PBD，所以MC平面PBD19(2018南昌二模)(本小题满分12分)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，ABCD，ABAD，AB2CD2AD4，侧面PAB是等腰直角三角形，PAPB，平面PAB平面ABCD，点E，F分别是棱AB，PB上的点，平面CEF平面PAD(1)确定点E，F的位置，并说明理由；(2)求三棱锥FDCE的体积解(1)因为平面CEF平面PAD平面CEF平面ABCDCE，平面PAD平面ABCDAD，所以CEAD，又ABDC，所以四边形AECD是平行四边形，所以DCAEAB，即点E是AB的中点因为平面CEF平面PAD，平面CE
14、F平面PABEF，平面PAD平面PABPA所以EFPA，又因为点E是AB的中点，所以点F是PB的中点，综上，E，F分别是AB，PB的中点(2)因为PAPB，AEEB，所以PEAB，又平面PAB平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB，所以PE平面ABCD又F为PB的中点，ABCD，ABAD，所以V三棱锥FDCEV三棱锥PDCESDECPE22220(2018石家庄一模)(本小题满分12分)四棱锥SABCD的底面ABCD为直角梯形，ABCD，ABBC，AB2BC2CD2，SAD为正三角形(1)点M为棱AB上一点，若BC平面SDM，求实数的值；(2)若BCSD，求点B到平面SAD的距离解(1)因为
15、BC平面SDM，BC平面ABCD，平面SDM平面ABCDDM，所以BCDM因为ABDC，所以四边形BCDM为平行四边形，又AB2CD，所以M为AB的中点，因为，所以(2)因为BCSD，BCCD，CDSDD，所以BC平面SCD，又BC平面ABCD，所以平面SCD平面ABCD，在平面SCD内过点S作SECD于点E，连接AE，因为平面SCD平面ABCDCD，所以SE平面ABCD，在RtSEA和RtSED中，因为SASD，所以AEDE，又由题知EDA45，所以AEED，由已知求得AD，所以AEEDSE1连接BD，则V三棱锥SABD211，又求得SAD的面积为，设点B到平面SAD的距离为h，所以由V三棱
16、锥BSADV三棱锥SABDSSADh，解得h，所以点B到平面SAD的距离为21(2018山东青岛统测)(本小题满分12分)如图，圆柱H横放在底面边长为1的正六棱锥PABCDEF的顶点P上，O1和O2分别是圆柱左、右两个底面的圆心，正六棱锥PABCDEF底面中心为O，PO1，M，N分别是圆柱H的底面O1的最高点和最低点，G是圆柱H的底面O2的最低点，P为NG的中点，点M，O1，N，A，O，D，G，P共面，点O1，P，D共线，四边形ADGN为矩形(1)求圆柱H的体积V，并证明：MG平面PCD；(2)作出点O在平面PAB上的正投影K，并加以证明注：正棱锥就是底面是一个正多边形，顶点在底面上的正投影为
17、底面的中心的棱锥解(1)O为正六棱锥PABCDEF底面的中心，PO底面ABCDEF，P为NG的中点，四边形ADGN为矩形，O为AD的中点，PO1，NAPO，NAPO1，从而NA底面ABCDEF，M，N分别是圆柱H的底面O1的最高点和最低点，O1N底面ABCDEF，从而M，O1，N，A四点共线正六棱锥PABCDEF的底面边长为1，AD2，四边形ADGN为矩形，NGAD，且NGAD2，又P为NG中点，NPAD，且NPAD1，在O1AD中，NP为O1AD的中位线，从而N为O1A中点，O1NAN1，圆柱H的体积V1222P为NG的中点，O1为MN的中点，PO1MG，又O1，P，D共线，PDMG，PD平
18、面PCD，MG平面PCD，MG平面PCD(2)取AB的中点Q，连接OQ，PQ，在POQ中，作OKPQ于K，则K为点O在平面PAB上的正投影下面证明：六棱锥PABCDEF为正棱锥，PAPB，从而ABPQ，正六棱锥PABCDEF底面中心为O，PO底面ABCDEF，又AB底面ABCDEF，ABPO，POPQP，AB平面POQ，又OK平面POQ，ABOK，又PQABQ，OK平面PAB，点O在平面PAB上的正投影为K22(2018河北衡水中学九模)(本小题满分12分)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB1，AD2，E，F分别为AD，AA1的中点，Q是BC上一个动点，且BQQC(0)(1)当1时
19、，求证：平面BEF平面A1DQ；(2)是否存在，使得BDFQ？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由解(1)证明：1时，Q为BC的中点，因为E是AD的中点，所以EDBQ，EDBQ，则四边形BEDQ是平行四边形，所以BEQD又BE平面A1DQ，DQ平面A1DQ，所以BE平面A1DQ又F是A1A中点，所以EFA1D，因为EF平面A1DQ，A1D平面A1DQ，所以EF平面A1DQ因为BEEFE，EF平面BEF，BE平面BEF，所以平面BEF平面A1DQ(2)连接AQ，BD，FQ，因为A1A平面ABCD，BD平面ABCD，所以A1ABD若BDFQ，A1A，FQ平面A1AQ，A1AFQF，所以BD平面A1AQ因为AQ平面A1AQ，所以AQBD在矩形ABCD中，由AQBD，得AQBDBA，所以AB2ADBQ又AB1，AD2，所以BQ，QC，则，即14