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1、,二、交错级数及其审敛法,三、绝对收敛与条件收敛,第二节,一、正项级数及其审敛法,常数项级数的审敛法,第十二章,*四、绝对收敛级数的性质,一、正项级数及其审敛法,若,定理 1. 正项级数,收敛,部分和序列,有界 .,若,收敛 ,部分和数列,有界,故,从而,又已知,故有界.,则称,为正项级数 .,单调递增,收敛 ,也收敛.,都有,定理2 (比较审敛法),设,且存在,对一切,有,(1) 若强级数,则弱级数,(2) 若弱级数,则强级数,证:,设对一切,收敛 ,也收敛 ;,发散 ,也发散 .,分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有,是两个正项级数,(常数 k 0 ),因在级数前加、减有限项不改变其敛散
2、性,故不妨,(1) 若强级数,则有,因此对一切,有,由定理 1 可知,则有,(2) 若弱级数,因此,这说明强级数,也发散 .,也收敛 .,发散,收敛,弱级数,例1. 讨论 p 级数,(常数 p 0),的敛散性.,解: 1) 若,因为对一切,而调和级数,由比较审敛法可知 p 级数,发散 .,发散 ,因为当,故,考虑强级数,的部分和,故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .,时,2) 若,调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.,若存在,对一切,证明级数,发散 .,证: 因为,而级数,发散,根据比较审敛法可知,所给级数发散 .,例2.,定理3. (比较审敛法的极限形式),则有,两个级数
3、同时收敛或发散 ;,(2) 当 l = 0,(3) 当 l =,证: 据极限定义,设两正项级数,满足,(1) 当 0 l 时,由定理 2 可知,同时收敛或同时发散 ;,(3) 当l = 时,即,由定理2可知, 若,发散 ,(1) 当0 l 时,(2) 当l = 0时,由定理2 知,收敛 ,若,是两个正项级数,(1) 当 时,两个级数同时收敛或发散 ;,2) 特别取,可得如下结论 :,对正项级数,(2) 当 且 收敛时,(3) 当 且 发散时,也收敛 ;,也发散 .,注:,1) un , vn均为无穷小时, l 的值反映了它们不同阶的比较.,的敛散性.,例3. 判别级数,的敛散性 .,解:,根据
4、比较审敛法的极限形式知,例4. 判别级数,解:,根据比较审敛法的极限形式知,定理4 . 比值审敛法 ( Dalembert 判别法),设,为正项级数, 且,则,(1) 当,(2) 当,证: (1),收敛 ,时, 级数收敛 ;,或,时, 级数发散 .,由比较审敛法可知,因此,所以级数发散.,时,(2) 当,说明: 当,时,级数可能收敛也可能发散.,例如, p 级数,但,级数收敛 ;,级数发散 .,从而,例5. 讨论级数,的敛散性 .,解:,根据定理4可知:,级数收敛 ;,级数发散 ;,对任意给定的正数 ,*定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法),设,为正项,则,证明提示:,即,分别利用上
5、述不等式的左,右部分, 可推出结论正确.,级数, 且,时 , 级数可能收敛也可能发散 .,例如 , p 级数,说明 :,但,级数收敛 ;,级数发散 .,例6. 证明级数,收敛于S ,似代替和 S 时所产生的误差 .,解:,由定理5可知该级数收敛 .,令,则所求误差为,并估计以部分和 Sn 近,二 、交错级数及其审敛法,则各项符号正负相间的级数,称为交错级数 .,定理6 . ( Leibnitz 判别法 ),若交错级数满足条件:,则级数,收敛 , 且其和,其余项满足,证:,是单调递增有界数列,又,故级数收敛于S, 且,故,收敛,收敛,用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:,收敛,上述级
6、数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?,发散,收敛,收敛,三、绝对收敛与条件收敛,定义: 对任意项级数,若,若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散,收敛 ,数,为条件收敛 .,均为绝对收敛.,例如 ：,绝对收敛 ；,则称原级,数,条件收敛 .,则称原级,定理7. 绝对收敛的级数一定收敛 .,证: 设,根据比较审敛法,显然,收敛,收敛,也收敛,且,收敛 ,令,例7. 证明下列级数绝对收敛 :,证: (1),而,收敛 ,收敛,因此,绝对收敛 .,(2) 令,因此,收敛,绝对收敛.,小结,其和分别为,*四、绝对收敛级数的性质,*定理8. 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和.,(P263 定理9
7、),(证明见 P263P266),*定理9. ( 绝对收敛级数的乘法 ),则对所有乘积,按任意顺序排列得到的级数,也绝对收敛,设级数,与,都绝对收敛,其和为,(P265 定理10),说明: 绝对收敛级数有类似有限项和的性质,但条件收敛级数不具有这两条性质.,绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质.,内容小结,2. 判别正项级数敛散性的方法与步骤,必要条件,发 散,满足,比值审敛法,根值审敛法,收 敛,发 散,不定,比较审敛法,用它法判别,积分判别法,部分和极限,3. 任意项级数审敛法,为收敛级数,Leibniz判别法:,则交错级数,收敛,概念:,绝对收敛,条件收敛,思考与练习,设正项级数,收敛,能否推出,收敛 ?,提示:,由比较判敛法可知,收敛 .,注意:,反之不成立.,例如,收敛 ,发散 .,作业 P266 1 (1), (3), (5) ; 2 (2), (3), (4) ; *3 (1), (2) ; 4 (1), (3), (5), (6) ; 5 (2), (3), (5),第三节,备用题,1. 判别级数的敛散性:,解: (1),发散 ,故原级数发散 .,不是 p级数,(2),发散 ,故原级数发散 .,2.,则级数,(A) 发散 ; (B) 绝对收敛;,(C) 条件收敛 ; (D) 收敛性根据条件不能确定.,分析:, (B) 错 ;,又,C,