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1、,第三节,一、 变力沿直线所作的功,二、 液体的侧压力,三、 引力问题,四、 转动惯量 (补充),机动 目录 上页 下页 返回 结束,定积分在物理学上的应用,第六章,一、 变力沿直线所作的功,设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 xa 移动到,力的方向与运动方向平行,求变力所做的功 .,在其上所作的功元,素为,因此变力F(x) 在区间,上所作的功为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.,一个单,求电场力所作的功 .,解:,当单位正电荷距离原点 r 时,由库仑定律电场力为,则功的元素为,所求功为,说明:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到
2、 b 处 (a b) ,在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下,例2.,体,求移动过程中气体压力所,解:,由于气体的膨胀, 把容器中的一个面积为S 的活塞从,点 a 处移动到点 b 处 (如图),作的功 .,建立坐标系如图.,由波义耳马略特定律知压强,p 与体积 V 成反比 , 即,功元素为,故作用在活塞上的,所求功为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,力为,在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气,例3.,试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ?,解: 建立坐标系如图.,在任一小区间,上的一薄层水的重力为,这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为,故所求功为,( KJ ),设水的密度为,机动
3、 目录 上页 下页 返回 结束,(KN),一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m, 底圆半径为3m,面积为 A 的平板,二、液体侧压力,设液体密度为 ,深为 h 处的压强:,当平板与水面平行时,当平板不与水面平行时,所受侧压力问题就需用积分解决 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,平板一侧所受的压力为,小窄条上各点的压强,例4., 的液体 , 求桶的一个端面所受的侧压力.,解: 建立坐标系如图.,所论半圆的,利用对称性 , 侧压力元素,端面所受侧压力为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,方程为,一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为,说明:,当桶内充满液体时,小窄条上的压强为,侧压力元素
4、,故端面所受侧压力为,奇函数,( P350 公式67 ),机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、 引力问题,质量分别为,的质点 , 相距 r ,二者间的引力 :,大小:,方向:,沿两质点的连线,若考虑物体对质点的引力, 则需用积分解决 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.,设有一长度为 l, 线密度为 的均匀细直棒,其中垂线上距 a 单位处有一质量为 m 的质点 M,该棒对质点的引力.,解: 建立坐标系如图.,细棒上小段,对质点的引力大小为,故垂直分力元素为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在,试计算,利用对称性,棒对质点引力的水平分力,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故棒
5、对质点的引力大小为,棒对质点的引力的垂直分力为,说明:,2) 若考虑质点克服引力沿 y 轴从 a 处,1) 当细棒很长时,可视 l 为无穷大 ,此时引力大小为,方向与细棒垂直且指向细棒 .,移到 b (a b) 处时克服引力作的功,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则有,引力大小为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意正负号,3) 当质点位于棒的左端点垂线上时,四、转动惯量 (补充),质量为 m 的质点关于轴 l 的转动惯量为,的质点系,若考虑物体的转动惯量 , 则需用积分解决 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,关于轴 l 的转动惯量为,例6., 求圆盘对通过中心与其垂直的轴的转动
6、惯量 ;, 求圆盘对直径所在轴的转动惯量 .,解: 建立坐标系如图.,设圆盘面密度为 .,小圆环质量,对应于,的小圆环对轴 l 的转动惯量为,故圆盘对轴 l 的转动惯量为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设有一个半径为 R , 质量为 M 的均匀圆盘 ,平行 y 轴的细条,关于 y 轴的转动惯量元素为,细条质量:,故圆盘对y 轴的转动惯量为,机动 目录 上页 下页 返回 结束, 取旋转轴为 y 轴, 建立坐标系如图.,内容小结,(1) 先用微元分析法求出它的微分表达式 dQ,一般微元的几何形状有:,扇、片、壳 等.,(2) 然后用定积分来表示整体量 Q , 并计算之.,1.用定积分求一个分
7、布在某区间上的整体量 Q 的步骤:,2.定积分的物理应用:,变力作功 ,侧压力 ,引力,转动惯量等.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,条、段、环、带、,(99考研),思考与练习,提示: 作 x 轴如图.,1.为清除井底污泥, 用缆绳将抓斗放入井底,泥后提出井口,缆绳每,在提升过程中污泥,以20N /s 的速度从抓斗缝隙中漏掉,现将抓起污泥的抓斗提升到井口,抓斗抓起的污泥重2000N ,提升速度为3m /s ,问,克服重力需作多少焦耳( J ) 功?,已知井深30 m ,抓斗自重400N ,将抓起污泥的抓斗由,机动 目录 上页 下页 返回 结束,抓起污,x 提升 dx 所作的功为,米重50N
8、 ,提升抓斗中的污泥:,井深 30 m, 抓斗自重 400 N, 缆绳每米重50N, 抓斗抓起的污泥重 2000N, 提升速度为3ms, 污泥以 20Ns 的速度从抓斗缝隙中漏掉,克服缆绳重:,抓斗升至 x 处所需时间 :,机动 目录 上页 下页 返回 结束,克服抓斗自重:,2. 设星形线,上每一点处线密,度的大小等于该点到原点距离的立方,提示: 如图.,在点O 处有一单,位质点 ,求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,同理,故星形线在第一象限的弧段对该质点的,习题课 目录 上页 下页 返回 结束,引力大小为,作业: P287 2 , 3 , 5 , 9 , 12,锐角 取多大时, 薄板所受的压力 P 最大 .,备用题,斜边为定长的直角三角形薄板, 垂直放置于,解: 选取坐标系如图.,设斜边长为 l ,水中, 并使一直角边与水面相齐,则其方程为,问斜边与水面交成的,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故得唯一驻点,故此唯一驻点,即为所求.,由实际意义可知最大值存在 ,即,